Страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

8. Скорость звука в воздухе $v$ (в метрах в секунду) может быть найдена по формуле $v=331+0,6t$, где $t$ — температура воздуха (в градусах Цельсия). Вычислите $v$, если:

$t=-10, v=$

$t=0, v=$

$t=20, v=$

Для вычисления скорости звука $v$ при различных значениях температуры $t$, необходимо подставить каждое значение $t$ в данную формулу $v = 331 + 0,6t$.

t = -10, v =
Подставляем значение температуры $t = -10$ в формулу:
$v = 331 + 0,6 \cdot (-10)$
Сначала выполняем умножение:
$0,6 \cdot (-10) = -6$
Теперь выполняем сложение:
$v = 331 - 6 = 325$
Таким образом, при температуре -10 градусов Цельсия скорость звука составляет 325 м/с.
Ответ: 325.

t = 0, v =
Подставляем значение температуры $t = 0$ в формулу:
$v = 331 + 0,6 \cdot 0$
Выполняем умножение:
$0,6 \cdot 0 = 0$
Теперь выполняем сложение:
$v = 331 + 0 = 331$
Таким образом, при температуре 0 градусов Цельсия скорость звука составляет 331 м/с.
Ответ: 331.

t = 20, v =
Подставляем значение температуры $t = 20$ в формулу:
$v = 331 + 0,6 \cdot 20$
Выполняем умножение:
$0,6 \cdot 20 = 12$
Теперь выполняем сложение:
$v = 331 + 12 = 343$
Таким образом, при температуре 20 градусов Цельсия скорость звука составляет 343 м/с.
Ответ: 343.

9. Тетрадь стоит $a$ р., а блокнот — $b$ р., причём $b > a$. Запишите, что означает выражение:

а) $5a + b$ —

б) $b - a$ —

в) $13a - b$ —

а) $5a + b$
В данном выражении $a$ — это стоимость одной тетради. Следовательно, $5a$ — это стоимость пяти тетрадей. $b$ — это стоимость одного блокнота. Сумма $5a + b$ представляет собой общую стоимость покупки, состоящей из пяти тетрадей и одного блокнота.
Ответ: стоимость пяти тетрадей и одного блокнота.

б) $b - a$
В этом выражении из стоимости блокнота ($b$) вычитается стоимость тетради ($a$). Поскольку по условию $b > a$, то есть блокнот дороже тетради, результат этого вычитания показывает, на сколько рублей стоимость блокнота превышает стоимость тетради.
Ответ: на сколько рублей блокнот дороже тетради.

в) $13a - b$
Здесь $13a$ — это общая стоимость тринадцати тетрадей, а $b$ — стоимость одного блокнота. Выражение $13a - b$ представляет собой разность между стоимостью тринадцати тетрадей и стоимостью одного блокнота. Это может означать, например, на сколько рублей 13 тетрадей дороже одного блокнота (если $13a > b$).
Ответ: на сколько рублей стоимость тринадцати тетрадей больше стоимости одного блокнота.

10. Запишите формулу числа, кратного 11: $11k$

Выпишите все трёхзначные числа, кратные 11 и не превосходящие 200:

Запишите формулу числа, кратного 11:

Число, кратное 11, — это любое число, которое делится на 11 нацело (без остатка). Чтобы записать общую формулу для такого числа, мы можем представить его как произведение числа 11 на некоторое целое число.

Пусть $A$ — это число, кратное 11, а $k$ — любое целое число (например, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). Тогда формула для числа, кратного 11, имеет вид:

$A = 11 \cdot k$

В этой формуле, подставляя вместо $k$ разные целые числа, мы будем получать все возможные числа, кратные 11.

Ответ: $A = 11k$, где $k$ — целое число.

Выпишите все трёхзначные числа, кратные 11 и не превосходящие 200:

Для решения этой задачи нам необходимо найти числа, которые удовлетворяют одновременно трём условиям:

1. Число является трёхзначным, то есть оно больше или равно 100 и меньше или равно 999.
2. Число кратно 11, то есть его можно представить в виде $11k$.
3. Число не превосходит 200, то есть оно меньше или равно 200.

Из первого и третьего условий следует, что мы ищем числа в диапазоне от 100 до 200 включительно. Запишем это в виде двойного неравенства, используя формулу для чисел, кратных 11:

$100 \le 11k \le 200$

Теперь найдём, каким целым значениям может быть равен коэффициент $k$. для этого разделим все части неравенства на 11:

$\frac{100}{11} \le k \le \frac{200}{11}$

Выполним деление, чтобы получить числовые значения:

$9.0909... \le k \le 18.1818...$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, то оно может принимать значения от 10 до 18 включительно. То есть, $k \in \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\}$.

Теперь вычислим сами числа, умножая каждое значение $k$ на 11:

• $k=10 \implies 11 \cdot 10 = 110$
• $k=11 \implies 11 \cdot 11 = 121$
• $k=12 \implies 11 \cdot 12 = 132$
• $k=13 \implies 11 \cdot 13 = 143$
• $k=14 \implies 11 \cdot 14 = 154$
• $k=15 \implies 11 \cdot 15 = 165$
• $k=16 \implies 11 \cdot 16 = 176$
• $k=17 \implies 11 \cdot 17 = 187$
• $k=18 \implies 11 \cdot 18 = 198$

Если взять следующее значение $k=19$, то число будет $11 \cdot 19 = 209$, что уже больше 200 и не удовлетворяет условию. Предыдущее значение $k=9$ дает $11 \cdot 9 = 99$, что является двузначным числом. Следовательно, мы нашли все подходящие числа.

Ответ: 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198.

11. Используя таблицу квадратов натуральных чисел, найдите значение выражения $n^2-36$ при указанных значениях $n$:

если $n=6,5$, то $n^2-36=42,25-36=6,25$

если $n=7,1$, то $n^2-36=$ ..................

если $n=-8,2$, то $n^2-36=$ ..................

если n = 7,1, то n² − 36 =

Чтобы найти значение выражения, нужно подставить $n = 7,1$ в формулу $n^2 - 36$.

1. Выполним подстановку:

$(7,1)^2 - 36$

2. Возведем в квадрат число 7,1:

$(7,1)^2 = 7,1 \times 7,1 = 50,41$

3. Выполним вычитание:

$50,41 - 36 = 14,41$

Ответ: $14,41$

если n = −8,2, то n² − 36 =

Чтобы найти значение выражения, нужно подставить $n = -8,2$ в формулу $n^2 - 36$.

1. Выполним подстановку:

$(-8,2)^2 - 36$

2. Возведем в квадрат число -8,2. Квадрат отрицательного числа является положительным, поэтому $(-8,2)^2 = (8,2)^2$:

$(-8,2)^2 = 8,2 \times 8,2 = 67,24$

3. Выполним вычитание:

$67,24 - 36 = 31,24$

Ответ: $31,24$

12. Укажите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $47-3n$ кратно $5$:

По условию задачи, значение выражения $47 - 3n$ должно быть кратно 5. Это значит, что остаток от деления этого выражения на 5 равен нулю. Используя аппарат сравнений по модулю, это можно записать следующим образом:

$47 - 3n \equiv 0 \pmod{5}$

Сначала упростим число 47 по модулю 5. Число 47 можно представить в виде $47 = 5 \cdot 9 + 2$. Это означает, что 47 даёт остаток 2 при делении на 5, или $47 \equiv 2 \pmod{5}$.

Подставим это значение в наше исходное сравнение:

$2 - 3n \equiv 0 \pmod{5}$

Перенесём $-3n$ в правую часть сравнения (это эквивалентно прибавлению $3n$ к обеим частям):

$2 \equiv 3n \pmod{5}$

Теперь нам нужно найти такие значения $n$, которые удовлетворяют этому сравнению. Это можно сделать, проверив все возможные остатки от деления $n$ на 5 (от 0 до 4):

• Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 0 = 0 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 1 = 3 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 3 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 4 = 12 \equiv 2 \pmod{5}$.

Как видно из проверки, сравнение $3n \equiv 2 \pmod{5}$ выполняется только в том случае, если $n$ при делении на 5 даёт в остатке 4. То есть, $n \equiv 4 \pmod{5}$.

Это означает, что все искомые числа $n$ могут быть представлены в виде:

$n = 5k + 4$, где $k$ – целое число.

По условию задачи, $n$ должно быть натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Это накладывает ограничение на возможные значения $k$:

$5k + 4 \ge 1$
$5k \ge -3$
$k \ge -0.6$

Поскольку $k$ должно быть целым, наименьшее возможное значение для $k$ — это 0. Таким образом, $k$ может быть любым целым неотрицательным числом: $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$.

Примеры таких значений $n$:

• при $k=0$, $n = 5(0) + 4 = 4$. Проверка: $47 - 3(4) = 47 - 12 = 35$, кратно 5.
• при $k=1$, $n = 5(1) + 4 = 9$. Проверка: $47 - 3(9) = 47 - 27 = 20$, кратно 5.
• при $k=2$, $n = 5(2) + 4 = 14$. Проверка: $47 - 3(14) = 47 - 42 = 5$, кратно 5.

Ответ: все натуральные числа $n$, которые при делении на 5 дают в остатке 4. Эти числа можно задать формулой $n = 5k + 4$, где $k$ – любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

12. Пусть $A = x^3 - 3xy + y^3$; $B = 2x^3 - y^3$; $C = x^3 + 2xy$. Упростите выражение:

а) $A - B + C = $

б) $-A - B + C = $

Даны многочлены:

$A = x^3 - 3xy + y^3$

$B = 2x^3 - y^3$

$C = x^3 + 2xy$

а) A – B + C =

Чтобы упростить выражение, подставим вместо A, B и C их значения и выполним действия с многочленами.

$A - B + C = (x^3 - 3xy + y^3) - (2x^3 - y^3) + (x^3 + 2xy)$

Раскроем скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$x^3 - 3xy + y^3 - 2x^3 + y^3 + x^3 + 2xy$

Теперь сгруппируем и приведём подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью).

$(x^3 - 2x^3 + x^3) + (-3xy + 2xy) + (y^3 + y^3)$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов у подобных слагаемых.

$(1 - 2 + 1)x^3 + (-3 + 2)xy + (1 + 1)y^3 = 0 \cdot x^3 - 1 \cdot xy + 2 \cdot y^3 = -xy + 2y^3$

Ответ: $2y^3 - xy$

б) –A – B + C =

Аналогично первому пункту, подставим значения многочленов в выражение.

$-A - B + C = -(x^3 - 3xy + y^3) - (2x^3 - y^3) + (x^3 + 2xy)$

Раскроем скобки, меняя знаки там, где это необходимо.

$-x^3 + 3xy - y^3 - 2x^3 + y^3 + x^3 + 2xy$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые.

$(-x^3 - 2x^3 + x^3) + (3xy + 2xy) + (-y^3 + y^3)$

Выполним вычисления.

$(-1 - 2 + 1)x^3 + (3 + 2)xy + (-1 + 1)y^3 = -2x^3 + 5xy + 0 \cdot y^3 = -2x^3 + 5xy$

Ответ: $-2x^3 + 5xy$

13. С первого участка собрали $a$ кг моркови, со второго — на 8% меньше, а с третьего — на 30 кг меньше, чем с первых двух. Сколько моркови собрали с трёх участков?

Решение.

Со второго участка собрали .............. кг моркови,

с первого и второго участков вместе .............. кг,

с третьего участка ............... кг, со всех трёх

участков собрали ................. кг моркови.

Ответ:

...................

Для решения задачи необходимо последовательно найти количество моркови, собранное с каждого участка, а затем вычислить их общую сумму, выразив все через переменную $a$.

Со второго участка собрали

По условию, с первого участка собрали $a$ кг моркови. Со второго участка собрали на 8% меньше. Чтобы найти количество моркови со второго участка, нужно сначала найти 8% от $a$, а затем вычесть это значение из $a$.

1. Находим 8% от $a$: $a \times \frac{8}{100} = 0,08a$ кг.

2. Вычитаем полученное значение из $a$: $a - 0,08a = (1 - 0,08)a = 0,92a$ кг.
Таким образом, со второго участка собрали $0,92a$ кг моркови.

с первого и второго участков вместе

Чтобы найти общее количество моркови с первых двух участков, нужно сложить количество, собранное с каждого из них:

$a + 0,92a = 1,92a$ кг.

с третьего участка

С третьего участка собрали на 30 кг меньше, чем с первых двух участков вместе. Для этого необходимо из суммы моркови с первых двух участков ($1,92a$ кг) вычесть 30 кг:

$1,92a - 30$ кг.

со всех трёх участков собрали

Чтобы найти общее количество моркови со всех трёх участков, нужно сложить урожай с первых двух участков и урожай с третьего участка:

$(1,92a) + (1,92a - 30) = 1,92a + 1,92a - 30 = 3,84a - 30$ кг.

Ответ: $(3,84a - 30)$ кг.

14. Докажите, что:

а) сумма трёх последовательных нечётных чисел делится на 3;

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.

а) сумма трёх последовательных нечётных чисел делится на 3;

Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Возьмём три последовательных нечётных числа. Они отличаются друг от друга на 2. Удобно представить их в следующем виде: Первое число: $2k-1$ Второе число: $(2k-1)+2 = 2k+1$ Третье число: $(2k+1)+2 = 2k+3$

Найдём их сумму: $S = (2k - 1) + (2k + 1) + (2k + 3)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $S = 2k - 1 + 2k + 1 + 2k + 3 = (2k + 2k + 2k) + (-1 + 1 + 3) = 6k + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $S = 3(2k + 1)$

Так как $k$ — целое число, то $2k+1$ также является целым числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 3 на целое число, следовательно, она всегда делится на 3 без остатка.

Ответ: Доказано.

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.

Возьмём четыре последовательных нечётных числа. Пусть первое из них равно $2k+1$, где $k$ — целое число. Тогда следующие три числа будут $2k+3$, $2k+5$ и $2k+7$.

Найдём их сумму: $S = (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) + (2k + 7)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $S = (2k + 2k + 2k + 2k) + (1 + 3 + 5 + 7) = 8k + 16$

Вынесем общий множитель 8 за скобки: $S = 8(k + 2)$

Так как $k$ — целое число, то $k+2$ также является целым числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 8 на целое число, следовательно, она всегда делится на 8 без остатка.

Ответ: Доказано.