Номер 12, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

2. Выражения с переменными. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 12, страница 11.

Условие.

12. Укажите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $47-3n$ кратно $5$:

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, значение выражения $47 - 3n$ должно быть кратно 5. Это значит, что остаток от деления этого выражения на 5 равен нулю. Используя аппарат сравнений по модулю, это можно записать следующим образом:

$47 - 3n \equiv 0 \pmod{5}$

Сначала упростим число 47 по модулю 5. Число 47 можно представить в виде $47 = 5 \cdot 9 + 2$. Это означает, что 47 даёт остаток 2 при делении на 5, или $47 \equiv 2 \pmod{5}$.

Подставим это значение в наше исходное сравнение:

$2 - 3n \equiv 0 \pmod{5}$

Перенесём $-3n$ в правую часть сравнения (это эквивалентно прибавлению $3n$ к обеим частям):

$2 \equiv 3n \pmod{5}$

Теперь нам нужно найти такие значения $n$, которые удовлетворяют этому сравнению. Это можно сделать, проверив все возможные остатки от деления $n$ на 5 (от 0 до 4):

• Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 0 = 0 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 1 = 3 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 3 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $3n \equiv 3 \cdot 4 = 12 \equiv 2 \pmod{5}$.

Как видно из проверки, сравнение $3n \equiv 2 \pmod{5}$ выполняется только в том случае, если $n$ при делении на 5 даёт в остатке 4. То есть, $n \equiv 4 \pmod{5}$.

Это означает, что все искомые числа $n$ могут быть представлены в виде:

$n = 5k + 4$, где $k$ – целое число.

По условию задачи, $n$ должно быть натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Это накладывает ограничение на возможные значения $k$:

$5k + 4 \ge 1$
$5k \ge -3$
$k \ge -0.6$

Поскольку $k$ должно быть целым, наименьшее возможное значение для $k$ — это 0. Таким образом, $k$ может быть любым целым неотрицательным числом: $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$.

Примеры таких значений $n$:

• при $k=0$, $n = 5(0) + 4 = 4$. Проверка: $47 - 3(4) = 47 - 12 = 35$, кратно 5.
• при $k=1$, $n = 5(1) + 4 = 9$. Проверка: $47 - 3(9) = 47 - 27 = 20$, кратно 5.
• при $k=2$, $n = 5(2) + 4 = 14$. Проверка: $47 - 3(14) = 47 - 42 = 5$, кратно 5.

Ответ: все натуральные числа $n$, которые при делении на 5 дают в остатке 4. Эти числа можно задать формулой $n = 5k + 4$, где $k$ – любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).