Номер 17, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

2. Выражения с переменными. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 17, страница 12.

Условие.

17. Решая некоторые задачи из геометрии и механики, Архимед вывел формулу

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Пользуясь этой формулой, найдите сумму $1^2 + 2^2 + \dots + 7^2$.

Проверьте ответ, выполнив сложение квадратов чисел от 1 до 7 включительно.

Решение.

Решение 2.

Пользуясь этой формулой, найдите сумму $1^2 + 2^2 + ... + 7^2$.
Для нахождения суммы квадратов чисел от 1 до 7, мы используем данную формулу $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, где $n$ — это последнее число в последовательности.
В нашем случае $n=7$. Подставим это значение в формулу и произведем вычисления:
$S_7 = \frac{7(7+1)(2 \cdot 7+1)}{6}$
$S_7 = \frac{7 \cdot 8 \cdot (14+1)}{6}$
$S_7 = \frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6}$
Вычислим произведение в числителе и разделим на знаменатель:
$S_7 = \frac{840}{6} = 140$.
Можно также предварительно сократить дробь:
$S_7 = \frac{7 \cdot (2 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 5)}{2 \cdot 3} = 7 \cdot 4 \cdot 5 = 140$.
Ответ: 140

Проверьте ответ, выполнив сложение квадратов чисел от 1 до 7 включительно.
Для проверки выполним прямое сложение квадратов чисел от 1 до 7:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49$.
Сложим эти числа. Для удобства можно сгруппировать слагаемые:
$(1 + 49) + (4 + 36) + (9 + 16) + 25 = 50 + 40 + 25 + 25 = 90 + 50 = 140$.
Результат, полученный прямым сложением (140), совпадает с результатом, полученным по формуле (140), что подтверждает правильность решения.
Ответ: 140