Страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

8. Найдите значения выражений $2a(a + 2)$ и $3a(a + 1)$ при $a = -3,5$ и сравните их.

$2a(a + 2)$ = .........................

$3a(a + 1)$ = .........................

Значение первого выражения ...................., чем значение второго.

2a(a+2) =

Чтобы найти значение выражения, подставим в него $a = -3,5$. Сначала выполним действие в скобках, а затем умножение:
$2 \cdot (-3,5) \cdot (-3,5 + 2) = -7 \cdot (-1,5) = 10,5$.
Ответ: $10,5$.

3a(a+1) =

Аналогично подставим $a = -3,5$ во второе выражение:
$3 \cdot (-3,5) \cdot (-3,5 + 1) = -10,5 \cdot (-2,5) = 26,25$.
Ответ: $26,25$.

Теперь сравним полученные значения: $10,5$ и $26,25$.
Так как $10,5 < 26,25$, значение первого выражения меньше, чем значение второго.

Значение первого выражения меньше, чем значение второго.

9. Запишите в виде двойного неравенства:

a — неотрицательное число, меньшее 1: $0 \le a < 1$

а) b — отрицательное число, большее -1:

$ -1 < b < 0 $

б) число d больше или равно -4 и меньше 11:

$ -4 \le d < 11 $

в) число c больше 12 и не превосходит 20:

$ 12 < c \le 20 $

а) Условие "b — отрицательное число" означает, что $b < 0$. Условие "b ... большее –1" означает, что $b > -1$ или, что то же самое, $-1 < b$. Объединив эти два неравенства в одно двойное неравенство, мы получим, что число $b$ находится между $-1$ и $0$, не включая концы интервала.
Ответ: $-1 < b < 0$

б) Условие "число d больше или равно –4" записывается в виде неравенства $d \ge -4$. Условие "и меньше 11" записывается как $d < 11$. Соединяя эти два условия, получаем двойное неравенство, в котором $d$ заключено между $-4$ (включительно) и $11$ (не включительно).
Ответ: $-4 \le d < 11$

в) Условие "число с больше 12" означает, что $c > 12$. Фраза "и не превосходит 20" означает, что число $c$ может быть равно 20, но не может быть больше 20. Математически это записывается как $c \le 20$. Объединяя эти два условия в двойное неравенство, получаем, что $c$ находится в интервале от 12 (не включая) до 20 (включительно).
Ответ: $12 < c \le 20$

10. Ученикам предложили указать какое-либо число, заключённое между числами –2,4 и –2,3. Получили такие ответы:

а) $-2,4 < -2,38 < -2,3;$

б) $-2,4 < -2\frac{1}{3} < -2,3;$

в) $-2,4 < -2\frac{1}{7} < -2,3;$

г) $-2,4 < -2\frac{7}{20} < -2,3.$

Один из учеников допустил ошибку. Найдите её.

Ответ: ошибка допущена в задании .........

Чтобы найти ошибку, необходимо проверить каждое из предложенных неравенств. Задача состоит в том, чтобы определить, какое из чисел не попадает в интервал от $-2,4$ до $-2,3$. Для удобства сравнения будем переводить все числа в формат десятичных дробей.

а) Проверяем неравенство $-2,4 < -2,38 < -2,3$.

Для наглядности добавим нули, чтобы уравнять количество знаков после запятой: $-2,40 < -2,38 < -2,30$. Сравним модули этих чисел: $2,40 > 2,38$ и $2,38 > 2,30$. Так как числа отрицательные, знаки неравенства меняются на противоположные: $-2,40 < -2,38$ и $-2,38 < -2,30$. Оба неравенства верны, следовательно, данное утверждение истинно.

б) Проверяем неравенство $-2,4 < -2\frac{1}{3} < -2,3$.

Переведем смешанную дробь в десятичную: $-2\frac{1}{3} = -2,333... = -2,(3)$. Подставим в неравенство: $-2,4 < -2,(3) < -2,3$. Это эквивалентно $-2,400... < -2,333... < -2,300...$. Сравнение модулей $2,400... > 2,333...$ и $2,333... > 2,300...$ показывает, что для отрицательных чисел неравенство верно.

в) Проверяем неравенство $-2,4 < -2\frac{1}{7} < -2,3$.

Переведем смешанную дробь в десятичную: $1 \div 7 \approx 0,1428...$, следовательно, $-2\frac{1}{7} \approx -2,1428...$. Подставим в неравенство: $-2,4 < -2,1428... < -2,3$. Рассмотрим правую часть этого двойного неравенства: $-2,1428... < -2,3$. Сравним модули чисел: $2,1428...$ и $2,3$. Очевидно, что $2,1428... < 2,3$. Для отрицательных чисел знак неравенства должен быть обратным: $-2,1428... > -2,3$. Таким образом, правая часть неравенства неверна, а значит, все утверждение ложно. В этом пункте допущена ошибка.

г) Проверяем неравенство $-2,4 < -2\frac{7}{20} < -2,3$.

Переведем смешанную дробь в десятичную: $-2\frac{7}{20} = -2\frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = -2\frac{35}{100} = -2,35$. Подставим в неравенство: $-2,4 < -2,35 < -2,3$. Это эквивалентно $-2,40 < -2,35 < -2,30$. Сравнение модулей $2,40 > 2,35$ и $2,35 > 2,30$ показывает, что для отрицательных чисел неравенство верно.

Ответ: ошибка допущена в задании в.

11. Укажите три каких-либо числа, заключённых между числами $-0,6$ и $-0,5$, два из которых записаны в виде десятичных дробей, а одно — в виде обыкновенной дроби. Ответ запишите в виде двойных неравенств:

$-0,6 < ......................... < -0,5;$

$-0,6 < ......................... < -0,5;$

$-0,6 < ......................... < -0,5.$

Задача состоит в том, чтобы найти три числа, которые больше $-0,6$ и меньше $-0,5$. Два из этих чисел должны быть представлены в виде десятичных дробей, а одно — в виде обыкновенной дроби.

Первое число (десятичная дробь)

Для нахождения чисел в интервале $(-0,6; -0,5)$ удобно расширить разрядность граничных чисел. Запишем их как $-0,60$ и $-0,50$. Теперь нам нужно найти число $x$, удовлетворяющее неравенству $-0,60 < x < -0,50$. Любое число из этого интервала подойдет. Например, выберем число $-0,53$. Оно очевидно больше $-0,60$ и меньше $-0,50$.

Ответ: $-0,6 < -0,53 < -0,5$

Второе число (десятичная дробь)

Аналогичным образом выберем еще одно число из интервала $(-0,60; -0,50)$. Например, $-0,58$. Проверка показывает, что $-0,60 < -0,58 < -0,50$, следовательно, это число также является решением.

Ответ: $-0,6 < -0,58 < -0,5$

Третье число (обыкновенная дробь)

Чтобы найти обыкновенную дробь, сначала преобразуем границы интервала в дроби:
$-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$
$-0,5 = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

Теперь задача сводится к поиску дроби $y$, для которой выполняется неравенство $-\frac{3}{5} < y < -\frac{1}{2}$. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю, например, к 30:
$-\frac{3}{5} = -\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = -\frac{18}{30}$
$-\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} = -\frac{15}{30}$

Ищем число в интервале $(-\frac{18}{30}; -\frac{15}{30})$. В этом интервале лежат дроби $-\frac{17}{30}$ и $-\frac{16}{30}$. Выберем любую из них, например, $-\frac{17}{30}$.

Ответ: $-0,6 < -\frac{17}{30} < -0,5$

2. Представьте в виде многочлена:

a) $(x^3y^2 - 2x^2y + 5xy^2 - y^3) \cdot 2xy^3 = $

б) $-\frac{1}{3}a^3b(18a - 15b^2 + 6) = $

а) Чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо умножить каждый член многочлена в скобках на одночлен $2xy^3$, используя распределительное свойство умножения.

Выполним умножение поочередно для каждого члена многочлена $(x^3y^2 - 2x^2y + 5xy^2 - y^3)$:

1. Умножим первый член $x^3y^2$ на $2xy^3$:

$x^3y^2 \cdot 2xy^3 = 2 \cdot (x^3 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y^3) = 2x^{3+1}y^{2+3} = 2x^4y^5$

2. Умножим второй член $-2x^2y$ на $2xy^3$:

$-2x^2y \cdot 2xy^3 = -2 \cdot 2 \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3) = -4x^{2+1}y^{1+3} = -4x^3y^4$

3. Умножим третий член $5xy^2$ на $2xy^3$:

$5xy^2 \cdot 2xy^3 = 5 \cdot 2 \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y^3) = 10x^{1+1}y^{2+3} = 10x^2y^5$

4. Умножим четвертый член $-y^3$ на $2xy^3$:

$-y^3 \cdot 2xy^3 = -1 \cdot 2 \cdot x \cdot (y^3 \cdot y^3) = -2xy^{3+3} = -2xy^6$

Теперь запишем сумму полученных произведений. Это и будет искомый многочлен.

$(x^3y^2 - 2x^2y + 5xy^2 - y^3) \cdot 2xy^3 = 2x^4y^5 - 4x^3y^4 + 10x^2y^5 - 2xy^6$

Ответ: $2x^4y^5 - 4x^3y^4 + 10x^2y^5 - 2xy^6$.

б) Чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо умножить одночлен $-\frac{1}{3}a^3b$ на каждый член многочлена в скобках $(18a - 15b^2 + 6)$, используя распределительное свойство умножения.

Выполним умножение поочередно:

1. Умножим $-\frac{1}{3}a^3b$ на $18a$:

$-\frac{1}{3}a^3b \cdot 18a = (-\frac{1}{3} \cdot 18) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot b = -6a^4b$

2. Умножим $-\frac{1}{3}a^3b$ на $-15b^2$:

$-\frac{1}{3}a^3b \cdot (-15b^2) = (-\frac{1}{3} \cdot -15) \cdot a^3 \cdot (b \cdot b^2) = 5a^3b^3$

3. Умножим $-\frac{1}{3}a^3b$ на $6$:

$-\frac{1}{3}a^3b \cdot 6 = (-\frac{1}{3} \cdot 6) \cdot a^3b = -2a^3b$

Теперь запишем сумму полученных произведений. Это и будет искомый многочлен.

$-\frac{1}{3}a^3b(18a - 15b^2 + 6) = -6a^4b + 5a^3b^3 - 2a^3b$

Ответ: $-6a^4b + 5a^3b^3 - 2a^3b$.

3. Упростите выражение и найдите его значение при заданных значениях переменных:

a) $x(3x^2 + x - 4) - 3x(x^2 - 2x + 1)$ при $x = -2$;

б) $a^2(a - 2b) - a(a^2 + 3b)$ при $a = -1, b = 5$.

а) $x(3x^2 + x - 4) - 3x(x^2 - 2x + 1)$ при $x = -2$

Сначала упростим выражение. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на множитель перед ними.

$x(3x^2 + x - 4) = x \cdot 3x^2 + x \cdot x - x \cdot 4 = 3x^3 + x^2 - 4x$

$-3x(x^2 - 2x + 1) = -3x \cdot x^2 - 3x \cdot (-2x) - 3x \cdot 1 = -3x^3 + 6x^2 - 3x$

Теперь сложим полученные выражения:

$(3x^3 + x^2 - 4x) + (-3x^3 + 6x^2 - 3x) = 3x^3 + x^2 - 4x - 3x^3 + 6x^2 - 3x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^3 - 3x^3) + (x^2 + 6x^2) + (-4x - 3x) = 0 + 7x^2 - 7x = 7x^2 - 7x$

Теперь подставим значение $x = -2$ в упрощенное выражение $7x^2 - 7x$:

$7 \cdot (-2)^2 - 7 \cdot (-2) = 7 \cdot 4 - (-14) = 28 + 14 = 42$

Ответ: 42

б) $a^2(a - 2b) - a(a^2 + 3b)$ при $a = -1, b = 5$

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки.

$a^2(a - 2b) = a^2 \cdot a - a^2 \cdot 2b = a^3 - 2a^2b$

$-a(a^2 + 3b) = -a \cdot a^2 - a \cdot 3b = -a^3 - 3ab$

Теперь сложим полученные выражения:

$(a^3 - 2a^2b) + (-a^3 - 3ab) = a^3 - 2a^2b - a^3 - 3ab$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) - 2a^2b - 3ab = 0 - 2a^2b - 3ab = -2a^2b - 3ab$

Теперь подставим значения $a = -1$ и $b = 5$ в упрощенное выражение $-2a^2b - 3ab$:

$-2 \cdot (-1)^2 \cdot 5 - 3 \cdot (-1) \cdot 5 = -2 \cdot 1 \cdot 5 - (-15) = -10 + 15 = 5$

Ответ: 5

4. Докажите, что значение выражения $x^2(2x-4)-(x^3+3x^2-5x+12)-x(x^2-7x+5)$ не зависит от значения переменной x.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной $x$, необходимо это выражение упростить. Если в результате преобразований все члены, содержащие переменную $x$, взаимно уничтожатся и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

Рассмотрим данное выражение:

$x^2(2x - 4) - (x^3 + 3x^2 - 5x + 12) - x(x^2 - 7x + 5)$

1. Раскроем скобки в каждом слагаемом.

Умножим одночлен $x^2$ на многочлен $(2x - 4)$:$x^2(2x - 4) = x^2 \cdot 2x - x^2 \cdot 4 = 2x^3 - 4x^2$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знак каждого слагаемого в скобках на противоположный:$-(x^3 + 3x^2 - 5x + 12) = -x^3 - 3x^2 + 5x - 12$

Умножим одночлен $-x$ на многочлен $(x^2 - 7x + 5)$:$-x(x^2 - 7x + 5) = (-x) \cdot x^2 + (-x) \cdot (-7x) + (-x) \cdot 5 = -x^3 + 7x^2 - 5x$

2. Запишем выражение после раскрытия всех скобок.

$2x^3 - 4x^2 - x^3 - 3x^2 + 5x - 12 - x^3 + 7x^2 - 5x$

3. Приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $x$:

$(2x^3 - x^3 - x^3) + (-4x^2 - 3x^2 + 7x^2) + (5x - 5x) - 12$

Выполним действия в каждой группе:

$(2 - 1 - 1)x^3 = 0 \cdot x^3 = 0$

$(-4 - 3 + 7)x^2 = 0 \cdot x^2 = 0$

$(5 - 5)x = 0 \cdot x = 0$

4. Запишем конечный результат.

После приведения подобных слагаемых выражение принимает вид:

$0 + 0 + 0 - 12 = -12$

Поскольку в результате упрощения мы получили число -12, которое не содержит переменную $x$, значение исходного выражения является постоянным и не зависит от значения переменной $x$.

Ответ: значение выражения равно -12 и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

5. Решите уравнение:

а) $2x - 7(4 - x) = 17;$

б) $0,2(y - 5) = 8,7 - 0,3(y - 1);$

в) $0,3(2x + 1) - (0,4 + 0,2x) + 0,9 = 0.$

а) Исходное уравнение: $2x - 7(4 - x) = 17$.
Сначала раскроем скобки. Для этого умножим $-7$ на каждый член в скобках $(4 - x)$:
$2x - 7 \cdot 4 - 7 \cdot (-x) = 17$
$2x - 28 + 7x = 17$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые значения перенесем в правую часть. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$2x + 7x = 17 + 28$
Приведем подобные слагаемые:
$9x = 45$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:
$x = \frac{45}{9}$
$x = 5$
Ответ: 5

б) Исходное уравнение: $0,2(y - 5) = 8,7 - 0,3(y - 1)$.
Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив обе части уравнения на 10:
$10 \cdot 0,2(y - 5) = 10 \cdot (8,7 - 0,3(y - 1))$
$2(y - 5) = 10 \cdot 8,7 - 10 \cdot 0,3(y - 1)$
$2(y - 5) = 87 - 3(y - 1)$
Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$2y - 10 = 87 - 3y + 3$
Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а числовые значения — в правой. Не забываем менять знаки при переносе.
$2y + 3y = 87 + 3 + 10$
Приведем подобные слагаемые:
$5y = 100$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 5:
$y = \frac{100}{5}$
$y = 20$
Ответ: 20

в) Исходное уравнение: $0,3(2x + 1) - (0,4 + 0,2x) + 0,9 = 0$.
Сначала раскроем скобки. Обратите внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные.
$0,3 \cdot 2x + 0,3 \cdot 1 - 0,4 - 0,2x + 0,9 = 0$
$0,6x + 0,3 - 0,4 - 0,2x + 0,9 = 0$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые значения в левой части уравнения:
$(0,6x - 0,2x) + (0,3 - 0,4 + 0,9) = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$0,4x + 0,8 = 0$
Перенесем числовое значение в правую часть уравнения, изменив его знак:
$0,4x = -0,8$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,4:
$x = \frac{-0,8}{0,4}$
$x = -2$
Ответ: -2