Страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

8. Подчеркните те из приведённых выражений, которые не имеют смысла:

$\frac{15}{12,6 - 34}$,

$\frac{8}{3 \cdot 0,4 - 1,2}$,

$\frac{7,6 - 3,8 \cdot 2}{6,3 - 7}$

$\frac{2,7 + 1,3}{-7,2 + 3,6 \cdot 2}$,

$\frac{17,1 - 27,1}{-6,18 + 3 \cdot 2,06}$,

$\frac{-12,3 + 4,1 \cdot 3}{7,26 - 2 \cdot 3,13}$.

Математическое выражение в виде дроби не имеет смысла, если его знаменатель равен нулю, так как деление на ноль является неопределенной операцией. Чтобы определить, какие из приведенных выражений не имеют смысла, необходимо вычислить значение знаменателя для каждого из них.

$\frac{15}{12,6 - 34}$

Вычислим значение знаменателя: $12,6 - 34 = -21,4$.
Поскольку знаменатель не равен нулю ($-21,4 \neq 0$), выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

$\frac{8}{3 \cdot 0,4 - 1,2}$

Вычислим значение знаменателя, соблюдая порядок действий. Сначала умножение, затем вычитание:
$3 \cdot 0,4 = 1,2$
$1,2 - 1,2 = 0$
Поскольку знаменатель равен нулю, деление на ноль невозможно.

Ответ: выражение не имеет смысла.

$\frac{7,6 - 3,8 \cdot 2}{6,3 - 7}$

Вычислим значение знаменателя: $6,3 - 7 = -0,7$.
Поскольку знаменатель не равен нулю ($-0,7 \neq 0$), выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

$\frac{2,7 + 1,3}{-7,2 + 3,6 \cdot 2}$

Вычислим значение знаменателя, соблюдая порядок действий. Сначала умножение, затем сложение:
$3,6 \cdot 2 = 7,2$
$-7,2 + 7,2 = 0$
Поскольку знаменатель равен нулю, выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла.

$\frac{17,1 - 27,1}{-6,18 + 3 \cdot 2,06}$

Вычислим значение знаменателя, соблюдая порядок действий. Сначала умножение, затем сложение:
$3 \cdot 2,06 = 6,18$
$-6,18 + 6,18 = 0$
Поскольку знаменатель равен нулю, выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла.

$\frac{-12,3 + 4,1 \cdot 3}{7,26 - 2 \cdot 3,13}$

Вычислим значение знаменателя, соблюдая порядок действий. Сначала умножение, затем вычитание:
$2 \cdot 3,13 = 6,26$
$7,26 - 6,26 = 1$
Поскольку знаменатель не равен нулю ($1 \neq 0$), выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

9. Мастер может выполнить задание за 6 ч, а его ученик — за 8 ч. За какое время выполнят они это задание, работая совместно?

Решение. За 1 ч мастер выполняет $1/6$ часть задания, а его ученик

$1/8$ часть задания. Работая совместно, они выполнят за 1 ч $1/6 + 1/8$,

т. е. $7/24$ часть задания. Значит, всё задание они выполнят

за $24/7$ ч.

Решение.

Это задача на совместную работу. Чтобы найти общее время, необходимо сначала определить производительность каждого работника (какую часть работы он выполняет за 1 час), затем найти их общую производительность и после этого вычислить время, необходимое для выполнения всей работы.

1. Определение производительности каждого работника.
Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Примем всю работу за 1.
Мастер выполняет всю работу за 6 часов, значит его производительность составляет $\frac{1}{6}$ часть задания в час.
Ученик выполняет всю работу за 8 часов, его производительность — $\frac{1}{8}$ часть задания в час.

2. Нахождение совместной производительности.
Когда мастер и ученик работают вместе, их производительности складываются.
Совместная производительность = $\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 8 — это 24.
$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 4}{24} + \frac{1 \cdot 3}{24} = \frac{4+3}{24} = \frac{7}{24}$
Таким образом, работая вместе, за 1 час они выполняют $\frac{7}{24}$ часть всего задания.

3. Расчет общего времени выполнения задания.
Чтобы найти время ($t$), за которое будет выполнена вся работа (1), нужно разделить работу на совместную производительность:
$t = \frac{1}{\frac{7}{24}} = 1 \cdot \frac{24}{7} = \frac{24}{7}$ часа.

4. Преобразование результата.
Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:
$\frac{24}{7} = 3 \frac{3}{7}$ часа.

Ответ: работая совместно, мастер и ученик выполнят задание за $3 \frac{3}{7}$ часа.

10. Чему равна сумма всех целых чисел от -142 до 144?

Чтобы найти сумму всех целых чисел от -142 до 144, мы должны вычислить значение следующего выражения:
$S = -142 + (-141) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 141 + 142 + 143 + 144$

Эту задачу можно решить несколькими способами.

1. Метод попарного сложения
Заметим, что в этом ряду чисел для каждого отрицательного числа от -142 до -1 есть соответствующее ему положительное число от 1 до 142. Сумма каждой такой пары противоположных чисел равна нулю:
$-142 + 142 = 0$
$-141 + 141 = 0$
...
$-1 + 1 = 0$
Таким образом, сумма всех целых чисел от -142 до 142 включительно равна 0.
$S = (-142 + \dots + 142) + 143 + 144 = 0 + 143 + 144$
Теперь остается сложить только те числа, которые не имеют противоположной пары в данном диапазоне:
$S = 143 + 144 = 287$

2. Формула суммы арифметической прогрессии
Последовательность целых чисел от -142 до 144 представляет собой арифметическую прогрессию.
Ее параметры:
- Первый член прогрессии: $a_1 = -142$
- Последний член прогрессии: $a_n = 144$
- Разность прогрессии: $d = 1$
Сначала найдем количество членов в этой прогрессии ($n$) по формуле: $n = a_n - a_1 + 1$.
$n = 144 - (-142) + 1 = 144 + 142 + 1 = 287$.
Теперь используем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Подставим наши значения в формулу:
$S_{287} = \frac{(-142 + 144) \cdot 287}{2} = \frac{2 \cdot 287}{2} = 287$.

Ответ: 287

11. Чему равно произведение всех целых чисел от $-176$ до $184$?

Для того чтобы найти произведение всех целых чисел от $-176$ до $184$, необходимо рассмотреть последовательность этих чисел.

Данная последовательность включает все целые числа, начиная с $-176$ и заканчивая $184$. Запишем часть этой последовательности, чтобы наглядно увидеть ее состав:
$-176, -175, \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots, 183, 184$.

Как видно из последовательности, в этом диапазоне целых чисел присутствует число $0$.

Произведение всех этих чисел можно представить в виде математического выражения:
$P = (-176) \times (-175) \times \dots \times (-1) \times 0 \times 1 \times \dots \times 183 \times 184$

Согласно одному из фундаментальных свойств умножения, произведение любого числа (или любого количества чисел) на ноль всегда равно нулю. То есть, для любого числа $a$ справедливо равенство $a \times 0 = 0$.

Поскольку в нашем выражении один из множителей равен $0$, результат всего произведения будет равен нулю. Вычислять произведение остальных чисел не требуется, так как наличие множителя $0$ немедленно обнуляет весь результат.

Ответ: $0$

12. В стакане содержится 180 г сладкого чая, а в кружке — 240 г. Известно, что в стакан положили 30 г сахарного песка, а в кружку — 50 г. Вера любит сладкий чай. Что ей выбрать — стакан или кружку?

Решение. Концентрация раствора сахара в стакане равна

$\frac{30}{180} \cdot 100\% = \frac{1}{6} \cdot 100\% = 16\frac{2}{3}\%$

Концентрация раствора сахара в кружке равна

Для того чтобы помочь Вере выбрать, необходимо определить, какой чай слаще. Сладость чая зависит от концентрации (массовой доли) сахара в растворе. Чем выше концентрация, тем слаще чай. Концентрацию можно вычислить по формуле:
$C = \frac{m_{растворенного\_вещества}}{m_{раствора}} \cdot 100\%$

Концентрация раствора сахара в стакане равна
В стакане содержится 180 г сладкого чая (это масса всего раствора), в который добавили 30 г сахара (это масса растворенного вещества).
$C_{стакан} = \frac{30}{180} \cdot 100\% = \frac{1}{6} \cdot 100\% = \frac{100}{6}\% = \frac{50}{3}\% = 16\frac{2}{3}\%$

Концентрация раствора сахара в кружке равна
В кружке содержится 240 г сладкого чая (масса раствора), в который добавили 50 г сахара (масса растворенного вещества).
$C_{кружка} = \frac{50}{240} \cdot 100\% = \frac{5}{24} \cdot 100\% = \frac{500}{24}\% = \frac{125}{6}\% = 20\frac{5}{6}\%$

Теперь необходимо сравнить полученные концентрации сахара.
Концентрация в стакане: $16\frac{2}{3}\%$.
Концентрация в кружке: $20\frac{5}{6}\%$.
Сравнивая целые части, видим, что $20 > 16$, следовательно, $20\frac{5}{6}\% > 16\frac{2}{3}\%$.
Таким образом, чай в кружке является более сладким. Поскольку Вера любит сладкий чай, ей стоит выбрать кружку.
Ответ: Вере следует выбрать кружку.

14. В многочлене $x^m y^n - xy^2 - x^2 y^4 - xy + 5$ замените показатели степени $m$ и $n$ натуральными числами так, чтобы получился многочлен: а) седьмой степени; б) третьей степени.

Укажите все возможные ответы:

а) $m=1, n=6;$

б)

а)

Степень многочлена определяется наибольшей из степеней его членов (одночленов). Дан многочлен $P(x, y) = x^m y^n - xy^2 - x^2y^4 - xy + 5$.

Найдем степени его членов:

• Степень члена $x^m y^n$ равна $m+n$.
• Степень члена $-xy^2$ (т.е. $-x^1y^2$) равна $1+2=3$.
• Степень члена $-x^2y^4$ равна $2+4=6$.
• Степень члена $-xy$ (т.е. $-x^1y^1$) равна $1+1=2$.
• Степень члена $5$ (свободный член) равна $0$.

Таким образом, степень всего многочлена равна наибольшему из этих значений: $\text{Степень}(P) = \max(m+n, 6, 3, 2, 0) = \max(m+n, 6)$.

Чтобы степень многочлена была равна 7, необходимо, чтобы $\max(m+n, 6) = 7$. Это возможно только в том случае, если степень члена $x^m y^n$ будет равна 7, так как это единственная степень, зависящая от $m$ и $n$, и она должна быть больше 6.

Следовательно, мы получаем уравнение: $m+n=7$.

По условию, $m$ и $n$ — натуральные числа, то есть $m \geq 1$ и $n \geq 1$. Перечислим все возможные пары $(m, n)$, удовлетворяющие этому уравнению:

• $m=1, n=6$
• $m=2, n=5$
• $m=3, n=4$
• $m=4, n=3$
• $m=5, n=2$
• $m=6, n=1$

Ответ: $m=1, n=6$; $m=2, n=5$; $m=3, n=4$; $m=4, n=3$; $m=5, n=2$; $m=6, n=1$.

б)

Чтобы степень многочлена стала равной 3, необходимо, чтобы наивысшая степень его членов была равна 3. В исходном многочлене $P(x, y) = x^m y^n - xy^2 - x^2y^4 - xy + 5$ есть член $-x^2y^4$, степень которого равна 6. Это означает, что для получения многочлена третьей степени этот член должен быть сокращен.

Сократить член $-x^2y^4$ можно с помощью члена $x^m y^n$. Для этого их буквенные части должны быть одинаковыми, а коэффициенты — противоположными по знаку, чтобы в сумме они дали ноль. Коэффициент у $x^m y^n$ равен $1$, а у $-x^2y^4$ равен $-1$. Значит, для их взаимного уничтожения нужно, чтобы их буквенные части совпадали: $x^m y^n$ и $x^2 y^4$.

Отсюда следует, что показатели степеней должны быть равны: $m=2$ и $n=4$. Оба числа являются натуральными, что соответствует условию задачи.

Проверим, какая степень будет у многочлена при этих значениях $m$ и $n$:

$P(x, y) = x^2 y^4 - xy^2 - x^2y^4 - xy + 5$

После сокращения подобных членов ($x^2 y^4$ и $-x^2y^4$) получаем:

$P(x, y) = -xy^2 - xy + 5$

Найдем степени оставшихся членов:

• Степень $-xy^2$ равна $1+2=3$.
• Степень $-xy$ равна $1+1=2$.
• Степень $5$ равна $0$.

Наибольшая из этих степеней равна 3. Следовательно, степень полученного многочлена действительно равна 3. Это единственная возможная пара натуральных чисел $m$ и $n$, удовлетворяющая условию.

Ответ: $m=2, n=4$.

15. Найдите значение многочлена, представив его предварительно в стандартном виде:

а) $2xy - 3x - 4x + 2y$ при $x = -10$, $y = -3$;

б) $4ab^3 - a^2b^2 + ab^3 - a^3b + 5a^3b$ при $a = -1$, $b = 1$.

а) $2xy - 3x - 4x + 2y$ при $x = -10, y = -3$;

Сначала приведем многочлен к стандартному виду. Для этого необходимо найти и сложить подобные члены (одночлены). В данном выражении подобными являются $-3x$ и $-4x$.

$2xy - 3x - 4x + 2y = 2xy + (-3 - 4)x + 2y = 2xy - 7x + 2y$

Теперь, когда многочлен представлен в стандартном виде, подставим в него заданные значения переменных $x = -10$ и $y = -3$.

$2 \cdot (-10) \cdot (-3) - 7 \cdot (-10) + 2 \cdot (-3)$

Выполним вычисления по порядку:

$2 \cdot (-10) \cdot (-3) = 60$

$-7 \cdot (-10) = 70$

$2 \cdot (-3) = -6$

Теперь сложим полученные результаты:

$60 + 70 - 6 = 130 - 6 = 124$

Ответ: $124$

б) $4ab^3 - a^2b^2 + ab^3 - a^3b + 5a^3b$ при $a = -1, b = 1$.

Сначала приведем многочлен к стандартному виду, сгруппировав и сложив подобные члены.

Подобные члены с переменными $ab^3$: $4ab^3$ и $ab^3$.

$4ab^3 + ab^3 = (4+1)ab^3 = 5ab^3$

Подобные члены с переменными $a^3b$: $-a^3b$ и $5a^3b$.

$-a^3b + 5a^3b = (-1+5)a^3b = 4a^3b$

Член $-a^2b^2$ не имеет подобных.

Запишем многочлен в стандартном виде, объединив результаты:

$5ab^3 - a^2b^2 + 4a^3b$

Теперь подставим значения $a = -1$ и $b = 1$ в полученное выражение:

$5 \cdot (-1) \cdot (1)^3 - (-1)^2 \cdot (1)^2 + 4 \cdot (-1)^3 \cdot (1)$

Вычислим значения степеней:

$(1)^3 = 1$; $(-1)^2 = 1$; $(1)^2 = 1$; $(-1)^3 = -1$.

Подставим эти значения обратно в выражение:

$5 \cdot (-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 = -5 - 1 - 4$

Выполним сложение:

$-5 - 1 - 4 = -10$

Ответ: $-10$

16. В многочлене $2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 1$ замените $x$ на:

а) $-x$;

б) $-2a$.

Для решения задачи необходимо в исходном многочлене $2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 1$ последовательно заменить переменную $x$ на указанные выражения.

а) Заменим в многочлене переменную $x$ на $-x$.

Подставим $-x$ вместо каждого вхождения $x$ в исходное выражение:

$2(-x)^4 - 3(-x)^3 + (-x)^2 - 5(-x) + 1$

Далее, упростим полученное выражение, учитывая правила возведения в степень. При возведении отрицательного выражения в четную степень (4 и 2) результат будет положительным, а при возведении в нечетную степень (3) — отрицательным.

$(-x)^4 = x^4$

$(-x)^3 = -x^3$

$(-x)^2 = x^2$

Подставим эти результаты обратно в многочлен:

$2(x^4) - 3(-x^3) + (x^2) - 5(-x) + 1$

Теперь выполним умножение:

$2x^4 + 3x^3 + x^2 + 5x + 1$

Ответ: $2x^4 + 3x^3 + x^2 + 5x + 1$.

б) Заменим в многочлене переменную $x$ на $-2a$.

Подставим $-2a$ вместо каждого вхождения $x$ в исходное выражение:

$2(-2a)^4 - 3(-2a)^3 + (-2a)^2 - 5(-2a) + 1$

Упростим полученное выражение, возводя в степень каждый член:

$(-2a)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 = 16a^4$

$(-2a)^3 = (-2)^3 \cdot a^3 = -8a^3$

$(-2a)^2 = (-2)^2 \cdot a^2 = 4a^2$

Подставим эти результаты обратно в многочлен:

$2(16a^4) - 3(-8a^3) + (4a^2) - 5(-2a) + 1$

Теперь выполним умножение коэффициентов:

$32a^4 - (-24a^3) + 4a^2 - (-10a) + 1$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$32a^4 + 24a^3 + 4a^2 + 10a + 1$

Ответ: $32a^4 + 24a^3 + 4a^2 + 10a + 1$.

17. Представьте многочлен в стандартном виде и найдите его числовое значение при заданных значениях переменных:

a) $x \cdot 8xy - yx - y \cdot 7x^2 + 5xy^2$ при $x=\frac{1}{2}$, $y=-2;$

б) $5c^2d - d \cdot 8c^3 + 9c \cdot cd^2 + 4c^3d$ при $c=-1$, $d=\frac{1}{3}.$

а) Сначала представим многочлен в стандартном виде. Для этого выполним умножение в каждом члене и приведем подобные слагаемые.
Исходный многочлен: $x \cdot 8xy - yx - y \cdot 7x^2 + 5xy^2$
Упростим каждый член:
$x \cdot 8xy = 8x^2y$
$yx = xy$
$y \cdot 7x^2 = 7x^2y$
Получаем выражение: $8x^2y - xy - 7x^2y + 5xy^2$
Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными являются $8x^2y$ и $-7x^2y$.
$(8x^2y - 7x^2y) - xy + 5xy^2 = x^2y - xy + 5xy^2$
Стандартный вид многочлена: $x^2y - xy + 5xy^2$.
Теперь найдем его числовое значение при $x=\frac{1}{2}$ и $y=-2$.
Подставим значения в упрощенный многочлен:
$(\frac{1}{2})^2 \cdot (-2) - (\frac{1}{2}) \cdot (-2) + 5 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot (-2) - (-\frac{2}{2}) + 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4$
$= -\frac{2}{4} - (-1) + \frac{20}{2} = -\frac{1}{2} + 1 + 10 = -\frac{1}{2} + 11 = 10\frac{1}{2} = 10.5$
Ответ: $10.5$

б) Сначала представим многочлен в стандартном виде.
Исходный многочлен: $5c^2d - d \cdot 8c^3 + 9c \cdot cd^2 + 4c^3d$
Упростим каждый член:
$d \cdot 8c^3 = 8c^3d$
$9c \cdot cd^2 = 9c^2d^2$
Получаем выражение: $5c^2d - 8c^3d + 9c^2d^2 + 4c^3d$
Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными являются $-8c^3d$ и $4c^3d$.
$5c^2d + (-8c^3d + 4c^3d) + 9c^2d^2 = 5c^2d - 4c^3d + 9c^2d^2$
Стандартный вид многочлена (запишем в порядке убывания степеней $c$): $-4c^3d + 5c^2d + 9c^2d^2$.
Теперь найдем его числовое значение при $c=-1$ и $d=\frac{1}{3}$.
Подставим значения в упрощенный многочлен:
$-4(-1)^3(\frac{1}{3}) + 5(-1)^2(\frac{1}{3}) + 9(-1)^2(\frac{1}{3})^2$
$= -4(-1)(\frac{1}{3}) + 5(1)(\frac{1}{3}) + 9(1)(\frac{1}{9}) = 4 \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{1}{3} + \frac{9}{9}$
$= \frac{4}{3} + \frac{5}{3} + 1 = \frac{4+5}{3} + 1 = \frac{9}{3} + 1 = 3 + 1 = 4$
Ответ: $4$