Номер 10, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

1. Числовые выражения. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 10, страница 7.

Условие.

10. Чему равна сумма всех целых чисел от -142 до 144?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти сумму всех целых чисел от -142 до 144, мы должны вычислить значение следующего выражения:
$S = -142 + (-141) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 141 + 142 + 143 + 144$

Эту задачу можно решить несколькими способами.

1. Метод попарного сложения
Заметим, что в этом ряду чисел для каждого отрицательного числа от -142 до -1 есть соответствующее ему положительное число от 1 до 142. Сумма каждой такой пары противоположных чисел равна нулю:
$-142 + 142 = 0$
$-141 + 141 = 0$
...
$-1 + 1 = 0$
Таким образом, сумма всех целых чисел от -142 до 142 включительно равна 0.
$S = (-142 + \dots + 142) + 143 + 144 = 0 + 143 + 144$
Теперь остается сложить только те числа, которые не имеют противоположной пары в данном диапазоне:
$S = 143 + 144 = 287$

2. Формула суммы арифметической прогрессии
Последовательность целых чисел от -142 до 144 представляет собой арифметическую прогрессию.
Ее параметры:
- Первый член прогрессии: $a_1 = -142$
- Последний член прогрессии: $a_n = 144$
- Разность прогрессии: $d = 1$
Сначала найдем количество членов в этой прогрессии ($n$) по формуле: $n = a_n - a_1 + 1$.
$n = 144 - (-142) + 1 = 144 + 142 + 1 = 287$.
Теперь используем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Подставим наши значения в формулу:
$S_{287} = \frac{(-142 + 144) \cdot 287}{2} = \frac{2 \cdot 287}{2} = 287$.

Ответ: 287