Номер 15, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

1. Числовые выражения. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 15, страница 8.

Условие.

15. Найдите значение выражения:

а) $3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3-1}}}$;

б) $3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 - \frac{1}{3}}}$.

Решение.

Решение 2.

а)

Для вычисления значения данного выражения, представляющего собой цепную дробь, будем производить вычисления последовательно, начиная с самого нижнего яруса.

Исходное выражение:

$$3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - 1}}}$$

1. Выполним действие в самом внутреннем знаменателе:

$$3 - 1 = 2$$

Теперь выражение выглядит так:

$$3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{2}}}$$

2. Вычислим следующий знаменатель:

$$3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

Подставим полученное значение в выражение:

$$3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{\frac{5}{2}}}$$

3. Упростим дробь $\frac{1}{\frac{5}{2}}$, "перевернув" ее:

$$\frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$$

Выражение принимает вид:

$$3 - \frac{1}{3 - \frac{2}{5}}$$.

4. Вычислим оставшийся знаменатель:

$$3 - \frac{2}{5} = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$$

Подставляем результат:

$$3 - \frac{1}{\frac{13}{5}}$$

5. Упрощаем дробь $\frac{1}{\frac{13}{5}}$:

$$\frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}$$

6. Выполняем последнее вычитание:

$$3 - \frac{5}{13} = \frac{3 \cdot 13}{13} - \frac{5}{13} = \frac{39 - 5}{13} = \frac{34}{13}$$

Можно также представить результат в виде смешанного числа: $\frac{34}{13} = 2\frac{8}{13}$.

Ответ: $\frac{34}{13}$.

б)

Аналогично первому пункту, решим второе выражение, начиная с самого нижнего знаменателя.

Исходное выражение:

$$3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 - \frac{1}{3}}}$$

1. Вычислим самый внутренний знаменатель:

$$3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$$

Выражение принимает вид:

$$3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{\frac{8}{3}}}$$

2. Упростим дробь $\frac{1}{\frac{8}{3}}$:

$$\frac{1}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{8}$$

Выражение принимает вид:

$$3 + \frac{1}{3 + \frac{3}{8}}$$.

3. Вычислим оставшийся знаменатель:

$$3 + \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$$

Подставляем результат:

$$3 + \frac{1}{\frac{27}{8}}$$

4. Упрощаем дробь $\frac{1}{\frac{27}{8}}$:

$$\frac{1}{\frac{27}{8}} = \frac{8}{27}$$

5. Выполняем последнее сложение:

$$3 + \frac{8}{27} = \frac{3 \cdot 27}{27} + \frac{8}{27} = \frac{81 + 8}{27} = \frac{89}{27}$$

Можно также представить результат в виде смешанного числа: $\frac{89}{27} = 3\frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{89}{27}$.