Страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

6. Упростите выражение:

a) $(12 - 3a) + (5a - 1) = 12 - 3a + 5a - 1 =$

б) $(6p - 4) - (2 - p) =$

а)

Для того чтобы упростить выражение $(12 - 3a) + (5a - 1)$, необходимо сначала раскрыть скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри нее не меняются. Выражение в задании уже содержит этот шаг:

$(12 - 3a) + (5a - 1) = 12 - 3a + 5a - 1$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и числовые слагаемые:

$(5a - 3a) + (12 - 1)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$5a - 3a = 2a$

$12 - 1 = 11$

Таким образом, итоговое упрощенное выражение выглядит так:

$2a + 11$

Ответ: $11 + 2a$

б)

Для того чтобы упростить выражение $(6p - 4) - (2 - p)$, необходимо сначала раскрыть скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при раскрытии знаки всех слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные:

$(6p - 4) - (2 - p) = 6p - 4 - 2 + p$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $p$ и числовые слагаемые:

$(6p + p) + (-4 - 2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$6p + p = 7p$

$-4 - 2 = -6$

Таким образом, итоговое упрощенное выражение выглядит так:

$7p - 6$

Ответ: $7p - 6$

7. Упростите выражение $(5p - 1) - (p + 4) + (7p - 3)$ и найдите его значение при $p=0,7$.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала упростить данное алгебраическое выражение, а затем подставить в него указанное значение переменной и вычислить результат.

1. Упрощение выражения
Исходное выражение: $(5p - 1) - (p + 4) + (7p - 3)$.
Первым шагом раскрываем скобки. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки всех слагаемых внутри скобки меняются на противоположные. Если перед скобкой стоит знак «+» (или знака нет), знаки слагаемых остаются прежними.

$5p - 1 - (p) - (4) + 7p - 3 = 5p - 1 - p - 4 + 7p - 3$

Далее, приведем подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены, содержащие переменную $p$, и числовые члены (константы).

$(5p - p + 7p) + (-1 - 4 - 3)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$5p - p + 7p = (5 - 1 + 7)p = 11p$

$-1 - 4 - 3 = -8$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так: $11p - 8$.

2. Нахождение значения выражения
Теперь подставим значение $p = 0,7$ в полученное упрощенное выражение $11p - 8$.

$11 \cdot (0,7) - 8$

Выполним сначала операцию умножения, а затем вычитание:

$11 \cdot 0,7 = 7,7$

$7,7 - 8 = -0,3$

Ответ: $-0,3$

8. Андрей нашёл $n$ грибов. Игорь нашёл на 3 гриба меньше, а Денис — вдвое больше того, что нашли Андрей и Игорь вместе. Сколько грибов нашли три мальчика?

Для решения задачи последовательно найдём, сколько грибов нашёл каждый мальчик, а затем сложим эти значения.

1. Андрей нашёл $n$ грибов. Это дано в условии задачи.

2. Игорь нашёл на 3 гриба меньше, чем Андрей. Чтобы найти количество грибов Игоря, нужно из количества грибов Андрея вычесть 3.
Количество грибов Игоря: $n - 3$.

3. Денис нашёл вдвое больше, чем Андрей и Игорь вместе. Сначала найдём, сколько грибов нашли Андрей и Игорь вместе, сложив их количество.
Андрей и Игорь вместе: $n + (n - 3) = 2n - 3$.
Теперь найдём количество грибов Дениса, умножив эту сумму на 2.
Количество грибов Дениса: $2 \times (2n - 3) = 4n - 6$.

4. Чтобы найти, сколько грибов нашли три мальчика вместе, нужно сложить количество грибов каждого из них.
Общее количество = (грибы Андрея) + (грибы Игоря) + (грибы Дениса)
Общее количество = $n + (n - 3) + (4n - 6)$.
Упростим выражение, сложив подобные слагаемые:
$n + n + 4n - 3 - 6 = 6n - 9$.

Ответ: Три мальчика вместе нашли $6n - 9$ грибов.

9. Зависит ли от $a$ значение выражения $12(a-8)-3(6+4a)$?

$12(a-8)-3(6+4a) = \dots$

Чтобы выяснить, зависит ли значение выражения $12(a-8)-3(6+4a)$ от переменной a, необходимо упростить это выражение. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

Выполним упрощение по шагам. Сначала раскроем скобки, используя распределительный закон умножения:

$12(a-8) - 3(6+4a) = (12 \cdot a - 12 \cdot 8) - (3 \cdot 6 + 3 \cdot 4a)$

Выполним умножение:

$= 12a - 96 - (18 + 12a)$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$= 12a - 96 - 18 - 12a$

Далее сгруппируем и приведём подобные слагаемые — члены с переменной a и числовые члены (константы):

$= (12a - 12a) + (-96 - 18)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$12a - 12a = 0$

$-96 - 18 = -114$

Таким образом, итоговое значение выражения:

$0 - 114 = -114$

В результате упрощения мы получили число $-114$. Переменная a в итоговом выражении отсутствует. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной a и всегда будет постоянным.

Ответ: Значение выражения не зависит от a. Упрощенное выражение равно $-114$.

10. Покажите с помощью стрелок, какие из выражений тождественно равны выражению $3a - 2b$.

$3a - (a + b)$

$3(a - b) + b$

$2(a - b) + a$

$3a - 2b$

$5(a + b) - 2a$

$3(a + b) - 5b$

$b - 3(b - a)$

Чтобы определить, какие из предложенных выражений тождественно равны выражению $3a - 2b$, необходимо упростить каждое из них путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

3a – (a + b)

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:

$3a - (a + b) = 3a - a - b$

Приведем подобные слагаемые:

$(3a - a) - b = 2a - b$

Полученное выражение $2a - b$ не равно $3a - 2b$.

Ответ: не является тождественно равным.

3(a – b) + b

Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения $c(x - y) = cx - cy$:

$3(a - b) + b = 3a - 3b + b$

Приведем подобные слагаемые для переменной b:

$3a + (-3b + b) = 3a - 2b$

Полученное выражение $3a - 2b$ тождественно равно исходному.

Ответ: является тождественно равным.

2(a – b) + a

Раскроем скобки, используя распределительный закон:

$2(a - b) + a = 2a - 2b + a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для переменной a:

$(2a + a) - 2b = 3a - 2b$

Полученное выражение $3a - 2b$ тождественно равно исходному.

Ответ: является тождественно равным.

5(a + b) – 2a

Раскроем скобки:

$5(a + b) - 2a = 5a + 5b - 2a$

Приведем подобные слагаемые:

$(5a - 2a) + 5b = 3a + 5b$

Полученное выражение $3a + 5b$ не равно $3a - 2b$.

Ответ: не является тождественно равным.

3(a + b) – 5b

Раскроем скобки:

$3(a + b) - 5b = 3a + 3b - 5b$

Приведем подобные слагаемые для переменной b:

$3a + (3b - 5b) = 3a - 2b$

Полученное выражение $3a - 2b$ тождественно равно исходному.

Ответ: является тождественно равным.

b – 3(b – a)

Раскроем скобки. При умножении $-3$ на скобку $(b - a)$ нужно умножить $-3$ на каждый член в скобке:

$b - 3(b - a) = b - 3 \cdot b - 3 \cdot (-a) = b - 3b + 3a$

Приведем подобные слагаемые и переставим их для удобства:

$3a + (b - 3b) = 3a - 2b$

Полученное выражение $3a - 2b$ тождественно равно исходному.

Ответ: является тождественно равным.

16. Расстояние между населёнными пунктами А и В равно $650 \text{ км}$. От пункта А отправился автобус со скоростью $40 \text{ км/ч}$. Через $30 \text{ мин}$ из пункта В навстречу ему вышел другой автобус, скорость которого на $10\%$ больше. Через какое время после отправления первого автобуса они встретятся?

1. Определение скорости второго автобуса

Пусть $v_1$ — скорость первого автобуса, а $v_2$ — скорость второго. По условию, $v_1 = 40$ км/ч. Скорость второго автобуса на 10% больше, следовательно:
$v_2 = v_1 + 0.1 \times v_1 = 1.1 \times v_1$
$v_2 = 1.1 \times 40 \text{ км/ч} = 44 \text{ км/ч}$

2. Расчет расстояния, которое проехал первый автобус до выезда второго

Первый автобус выехал на 30 минут раньше второго. Переведем это время в часы:
$t_{задержки} = 30 \text{ мин} = 0.5 \text{ ч}$
За это время первый автобус проехал расстояние $S_1$:
$S_1 = v_1 \times t_{задержки} = 40 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 20 \text{ км}$

3. Определение оставшегося расстояния и скорости сближения

Когда второй автобус начал движение из пункта $B$, расстояние между автобусами уже было не 650 км, а меньше на то расстояние, которое успел проехать первый автобус.
$S_{ост} = 650 \text{ км} - S_1 = 650 \text{ км} - 20 \text{ км} = 630 \text{ км}$
Автобусы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Найдем скорость сближения $v_{сбл}$:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 40 \text{ км/ч} + 44 \text{ км/ч} = 84 \text{ км/ч}$

4. Расчет времени совместного движения до встречи

Теперь найдем время $t_{совм}$, через которое автобусы встретятся, двигаясь вместе по оставшемуся маршруту:
$t_{совм} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{630 \text{ км}}{84 \text{ км/ч}} = 7.5 \text{ ч}$
$7.5$ часа — это 7 часов и 30 минут.

5. Расчет общего времени с момента отправления первого автобуса

Чтобы найти общее время от момента отправления первого автобуса, нужно сложить время, которое он ехал один, и время их совместного движения:
$T_{общ} = t_{задержки} + t_{совм} = 0.5 \text{ ч} + 7.5 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

Ответ: автобусы встретятся через 8 часов после отправления первого автобуса.

17. В 3,8 кг сиропа добавили 200 г сахарного песка, после чего концентрация раствора увеличилась на 4,5%. Сколько сахарного песка было в сиропе первоначально? Решите задачу, заполнив предварительно таблицу:

Заполнение таблицы:

Решение:

1. Определим исходные данные и введем переменную.

Пусть $x$ г — это первоначальная масса сахарного песка в сиропе. Масса исходного сиропа (раствора) составляет 3,8 кг. Переведем массу раствора в граммы, так как масса добавленного сахара дана в граммах:

$3,8 \text{ кг} = 3,8 \cdot 1000 \text{ г} = 3800 \text{ г}$.

Концентрация вещества в растворе — это отношение массы вещества к массе всего раствора. Первоначальная концентрация сахара в сиропе (в долях) была:

$C_1 = \frac{x}{3800}$

2. Определим параметры раствора после добавления сахара.

В сироп добавили 200 г сахарного песка. Новая масса сахара в растворе стала равна:

$x + 200 \text{ г}$.

Масса всего раствора также увеличилась на массу добавленного сахара:

$3800 + 200 = 4000 \text{ г}$.

Новая концентрация сахара в сиропе (в долях) стала равна:

$C_2 = \frac{x + 200}{4000}$

3. Составим уравнение на основе условия задачи.

По условию, концентрация раствора увеличилась на 4,5%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 4,5 процентных пункта. Для использования в уравнении переведем проценты в доли:

$4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разность концентраций к этой величине:

$C_2 - C_1 = 0,045$

$\frac{x + 200}{4000} - \frac{x}{3800} = 0,045$

4. Решим полученное уравнение.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4000 и 3800. $НОК(4000, 3800) = НОК(400 \cdot 10, 380 \cdot 10) = 10 \cdot НОК(400, 380) = 10 \cdot 20 \cdot НОК(20, 19) = 200 \cdot 20 \cdot 19 = 76000$.

$76000 \cdot \left(\frac{x + 200}{4000} - \frac{x}{3800}\right) = 76000 \cdot 0,045$

$19 \cdot (x + 200) - 20 \cdot x = 3420$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$19x + 3800 - 20x = 3420$

$-x + 3800 = 3420$

$-x = 3420 - 3800$

$-x = -380$

$x = 380$

Следовательно, в сиропе первоначально было 380 г сахарного песка.

Ответ: в сиропе первоначально было 380 г сахарного песка.