Страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

15. Верно ли утверждение, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(3n - 5(n + 6)) + 4(n + 9)$ является чётным числом?

Чтобы проверить истинность утверждения, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать его свойства.

Рассмотрим выражение: $(3n - 5(n + 6)) + 4(n + 9)$.

1. Раскроем скобки.

Сначала раскроем внутренние скобки, умножив число перед скобкой на каждый член внутри нее:

$5(n + 6) = 5 \cdot n + 5 \cdot 6 = 5n + 30$

$4(n + 9) = 4 \cdot n + 4 \cdot 9 = 4n + 36$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(3n - (5n + 30)) + (4n + 36)$

Раскроем оставшиеся скобки. Так как перед первой скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$3n - 5n - 30 + 4n + 36$

2. Приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем слагаемые с переменной n и числовые слагаемые:

$(3n - 5n + 4n) + (-30 + 36)$

Выполним вычисления:

$2n + 6$

3. Проанализируем полученное выражение на четность.

Итоговое выражение равно $2n + 6$. По определению, четное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Чтобы доказать, что выражение $2n + 6$ всегда является четным для любого натурального n, можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$2n + 6 = 2(n + 3)$

По условию задачи, n — это любое натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, сумма $n + 3$ также будет целым числом. Произведение любого целого числа на 2 всегда является четным числом.

Таким образом, значение выражения $2(n + 3)$ всегда будет делиться на 2, а значит, является четным числом при любом натуральном n.

Ответ: Да, утверждение верно.

16. Докажите, что:

а) значение выражения $6c+3(4-2(c-5))$ не зависит от c;

б) значение выражения $5a+6+(3a-8(a+4))$ равно $-26$.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $c$, необходимо его упростить. Если в результате упрощения переменная $c$ сократится, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $6c+3(4-2(c-5))$

1. Раскроем внутренние скобки, умножив $-2$ на каждый член в скобках $(c-5)$:

$-2(c-5) = -2 \cdot c - 2 \cdot (-5) = -2c + 10$

Подставим результат в выражение:

$6c+3(4+(-2c+10)) = 6c+3(4-2c+10)$

2. Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$4+10-2c = 14-2c$

Теперь выражение выглядит так:

$6c+3(14-2c)$

3. Раскроем оставшиеся скобки, умножив $3$ на каждый член внутри них:

$6c+3 \cdot 14 - 3 \cdot 2c = 6c+42-6c$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(6c-6c)+42 = 0+42 = 42$

В результате упрощения мы получили число 42. Так как итоговое значение не содержит переменную $c$, оно не зависит от нее, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно 42 и не зависит от $c$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения равно -26, необходимо его упростить. Если в результате упрощения мы получим число -26, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $5a+6+(3a-8(a+4))$

1. Начнем с раскрытия внутренних скобок, умножив $-8$ на $(a+4)$:

$-8(a+4) = -8 \cdot a - 8 \cdot 4 = -8a-32$

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$5a+6+(3a+(-8a-32)) = 5a+6+(3a-8a-32)$

2. Упростим выражение в больших скобках, приведя подобные слагаемые:

$3a-8a-32 = -5a-32$

Теперь выражение имеет вид:

$5a+6+(-5a-32)$

3. Раскроем оставшиеся скобки (так как перед ними стоит знак «+», знаки слагаемых внутри не меняются):

$5a+6-5a-32$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5a-5a) + (6-32) = 0 - 26 = -26$

В результате упрощения мы получили число -26, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно -26.

17. Изделие стоило $a$ р. Цену на него сначала повысили на $20\%$, а затем снизили на $20\%$. Какова окончательная цена изделия?

Решение. После повышения цены на $20\%$ изделие стало стоить .......... р. Один процент от новой цены составляет .......... р., а $20\%$ составляют .......... р. Значит, окончательная цена равна

.......... р.

Решение.

Пусть первоначальная цена изделия составляет $a$ рублей. Решим задачу по шагам.

1. Повышение цены на 20%

Сначала цену повысили на 20%. Чтобы найти новую цену, нужно к первоначальной цене $a$ (которая составляет 100%) прибавить 20% от нее. Новая цена составит $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной.
Для вычисления новой цены ($P_1$) умножим первоначальную цену на 1,2 (что соответствует 120%):
$P_1 = a \times (1 + \frac{20}{100}) = a \times 1,2 = 1,2a$ р.

2. Снижение новой цены на 20%

Затем новую цену $P_1 = 1,2a$ снизили на 20%. Важно, что 20% теперь вычисляются от новой, повышенной цены, а не от первоначальной. Теперь за 100% принимается цена $1,2a$.
Снижение на 20% означает, что от этой цены останется $100\% - 20\% = 80\%$. Вычислим окончательную цену ($P_2$), умножив цену $P_1$ на 0,8:
$P_2 = P_1 \times (1 - \frac{20}{100}) = 1,2a \times 0,8 = 0,96a$ р.

Также можно рассчитать, следуя логике, предложенной в условии задачи:

• После повышения цены на 20% изделие стало стоить $1,2a$ р.
• Один процент от новой цены составляет: $\frac{1,2a}{100} = 0,012a$ р.
• Величина скидки в 20% от новой цены составит: $20 \times 0,012a = 0,24a$ р.
• Значит, окончательная цена равна разности цены после повышения и величины скидки: $1,2a - 0,24a = 0,96a$ р.

Оба способа расчета показывают, что окончательная цена составила 96% от первоначальной.

Ответ: $0,96a$ р.

18. В июле цену на товар снизили на $10\%$, а в августе — ещё на $10\%$. Сколько стал стоить этот товар в августе, если в июне он стоил $a$ р.?

Для решения этой задачи нужно последовательно рассчитать изменение цены.

1. Вычисление цены после июльского снижения
Первоначальная цена товара в июне составляла $a$ рублей. В июле цену снизили на 10%. Снижение на 10% означает, что новая цена составит $100\% - 10\% = 90\%$ от июньской цены. Чтобы найти 90% от числа, нужно умножить это число на 0,9.
Цена в июле: $a \cdot (1 - \frac{10}{100}) = a \cdot (1 - 0,1) = 0,9a$ р.

2. Вычисление цены после августовского снижения
В августе цену снизили еще на 10%, но уже от новой, июльской цены, которая равна $0,9a$ р. Таким образом, мы снова находим 90% от текущей цены.
Цена в августе: $(0,9a) \cdot (1 - \frac{10}{100}) = (0,9a) \cdot 0,9 = 0,81a$ р.

Таким образом, итоговая цена товара в августе составила 0,81 от первоначальной июньской цены.

Ответ: $0,81a$ р.

4. Найдите значение выражения:

a) $bx+x^2$ при $b=-7,6$, $x=-2,4$;

б) $cz^2-z^3$ при $z=1,5$, $c=11,5$;

в) $-y^2-ay$ при $y=87,68$, $a=12,32$.

Ответ: а) .......................... б) .......................... в) ..........................

а) Для нахождения значения выражения $bx + x^2$ при $b = -7,6$ и $x = -2,4$ удобно сначала вынести общий множитель $x$ за скобки. Это упростит вычисления.

$bx + x^2 = x(b + x)$

Теперь подставим заданные значения переменных в преобразованное выражение:

$x(b + x) = -2,4 \cdot (-7,6 + (-2,4)) = -2,4 \cdot (-7,6 - 2,4) = -2,4 \cdot (-10) = 24$.

Ответ: 24

б) Чтобы найти значение выражения $cz^2 - z^3$ при $z = 1,5$ и $c = 11,5$, вынесем общий множитель $z^2$ за скобки:

$cz^2 - z^3 = z^2(c - z)$

Подставим значения $z = 1,5$ и $c = 11,5$ в полученное выражение:

$z^2(c - z) = (1,5)^2 \cdot (11,5 - 1,5) = 2,25 \cdot 10 = 22,5$.

Ответ: 22,5

в) Для вычисления значения выражения $-y^2 - ay$ при $y = 87,68$ и $a = 12,32$ вынесем за скобки общий множитель $-y$:

$-y^2 - ay = -y(y + a)$

Подставим числовые значения $y = 87,68$ и $a = 12,32$:

$-y(y + a) = -87,68 \cdot (87,68 + 12,32) = -87,68 \cdot 100 = -8768$.

Ответ: -8768

5. Решите уравнение:

а) $4x^2 - x = 0;$

б) $y^2 + 16y = 0;$

в) $z^3 - 8z^2 = 0.$

а) $4x^2-x=0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x-1)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два случая:

1) $x_1=0$

2) $4x-1=0$

Решим второе уравнение:

$4x=1$

$x_2 = \frac{1}{4}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1=0$, $x_2=\frac{1}{4}$.

б) $y^2+16y=0$

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y+16)=0$

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:

1) $y_1=0$

2) $y+16=0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$y_2=-16$

Ответ: $y_1=0$, $y_2=-16$.

в) $z^3-8z^2=0$

Это кубическое уравнение. Для его решения вынесем за скобки общий множитель, которым является $z^2$:

$z^2(z-8)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $z^2=0$

Отсюда следует, что $z_1=0$.

2) $z-8=0$

Решая второе уравнение, получаем:

$z_2=8$

Ответ: $z_1=0$, $z_2=8$.

6. Разложите на множители:

$a^{10} + a^8 - a^6 = a^6(a^4 + a^2 - 1)$

a) $b^3 - b^6 + b^9 = \dots $

a) Для того чтобы разложить на множители выражение $b^3 - b^6 + b^9$, необходимо найти общий множитель для всех его членов. Общим множителем является переменная $b$ в наименьшей степени, в которой она присутствует в многочлене. В данном случае наименьшая степень равна 3, поэтому общий множитель — это $b^3$. Вынесем $b^3$ за скобки, разделив на него каждый член исходного выражения:

$b^3 - b^6 + b^9 = b^3 \cdot (\frac{b^3}{b^3} - \frac{b^6}{b^3} + \frac{b^9}{b^3}) = b^3(1 - b^{6-3} + b^{9-3}) = b^3(1 - b^3 + b^6)$.

Ответ: $b^3(1 - b^3 + b^6)$

б) Рассмотрим выражение $-c^{10} + c^{15} - c^5$. Наименьшая степень переменной $c$ в этом многочлене равна 5. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $c^5$. Для удобства можно предварительно переставить члены многочлена в порядке убывания степеней: $c^{15} - c^{10} - c^5$. Теперь выполним вынесение общего множителя:

$c^{15} - c^{10} - c^5 = c^5 \cdot (\frac{c^{15}}{c^5} - \frac{c^{10}}{c^5} - \frac{c^5}{c^5}) = c^5(c^{15-5} - c^{10-5} - 1) = c^5(c^{10} - c^5 - 1)$.

Ответ: $c^5(c^{10} - c^5 - 1)$

в) В выражении $d^7 - d^3 + d^2$ наименьшая степень переменной $d$ — это 2. Значит, общий множитель для всех членов равен $d^2$. Вынесем $d^2$ за скобки, выполнив деление каждого члена многочлена на $d^2$:

$d^7 - d^3 + d^2 = d^2 \cdot (\frac{d^7}{d^2} - \frac{d^3}{d^2} + \frac{d^2}{d^2}) = d^2(d^{7-2} - d^{3-2} + 1) = d^2(d^5 - d + 1)$.

Ответ: $d^2(d^5 - d + 1)$

7. Вынесите за скобки общий множитель и сделайте проверку:

а) $14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4 = $

б) $8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3 = $

а) $14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех членов многочлена.

1. Находим НОД для коэффициентов 14, 21 и 70.
   Разложим числа на простые множители:
   $14 = 2 \cdot 7$
   $21 = 3 \cdot 7$
   $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
   Общий множитель для всех трех чисел - это 7. Таким образом, НОД(14, 21, 70) = 7.
2. Находим общую переменную часть для $x^3$, $x^2y^2$ и $x^4$.
   Переменная $x$ присутствует во всех членах. Выбираем наименьшую степень, в которой она встречается: $x^2$.
   Переменная $y$ есть только во втором члене, поэтому она не является общим множителем.
   Значит, общая переменная часть - это $x^2$.
3. Общий множитель всего выражения — это произведение НОД коэффициентов и общей переменной части: $7x^2$.

Теперь делим каждый член исходного многочлена на найденный общий множитель $7x^2$:

$ \frac{14x^3}{7x^2} = 2x^{3-2} = 2x $

$ \frac{-21x^2y^2}{7x^2} = -3x^{2-2}y^2 = -3y^2 $

$ \frac{70x^4}{7x^2} = 10x^{4-2} = 10x^2 $

Записываем результат, вынеся общий множитель за скобки и поместив в скобки результаты деления:

$ 14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4 = 7x^2(2x - 3y^2 + 10x^2) $

Проверка:

Чтобы выполнить проверку, нужно раскрыть скобки и убедиться, что получилось исходное выражение.

$ 7x^2(2x - 3y^2 + 10x^2) = (7x^2 \cdot 2x) - (7x^2 \cdot 3y^2) + (7x^2 \cdot 10x^2) = 14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4 $

Полученное выражение совпадает с исходным, следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: $7x^2(2x - 3y^2 + 10x^2)$

б) $8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3$

Действуем по тому же алгоритму.

1. Находим НОД для коэффициентов 8, 12 и 16.
   Разложим на множители:
   $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
   $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
   $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
   НОД(8, 12, 16) = $2^2 = 4$.
2. Находим общую переменную часть для $a^3b^4$, $a^2b^2$ и $a^4b^3$.
   Переменная $a$ присутствует во всех членах, наименьшая степень - $a^2$.
   Переменная $b$ также присутствует во всех членах, наименьшая степень - $b^2$.
   Значит, общая переменная часть - это $a^2b^2$.
3. Общий множитель всего выражения: $4a^2b^2$.

Делим каждый член многочлена на $4a^2b^2$:

$ \frac{8a^3b^4}{4a^2b^2} = 2a^{3-2}b^{4-2} = 2ab^2 $

$ \frac{12a^2b^2}{4a^2b^2} = 3a^{2-2}b^{2-2} = 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3 $

$ \frac{-16a^4b^3}{4a^2b^2} = -4a^{4-2}b^{3-2} = -4a^2b $

Записываем итоговое выражение:

$ 8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3 = 4a^2b^2(2ab^2 + 3 - 4a^2b) $

Проверка:

Раскрываем скобки:

$ 4a^2b^2(2ab^2 + 3 - 4a^2b) = (4a^2b^2 \cdot 2ab^2) + (4a^2b^2 \cdot 3) - (4a^2b^2 \cdot 4a^2b) = 8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3 $

Полученное выражение совпадает с исходным, разложение верно.

Ответ: $4a^2b^2(2ab^2 + 3 - 4a^2b)$