Номер 15, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

5. Тождества. Тождественное преобразование выражений. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 15, страница 22.

Условие.

15. Верно ли утверждение, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(3n - 5(n + 6)) + 4(n + 9)$ является чётным числом?

Решение.

Решение 2.

Чтобы проверить истинность утверждения, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать его свойства.

Рассмотрим выражение: $(3n - 5(n + 6)) + 4(n + 9)$.

1. Раскроем скобки.

Сначала раскроем внутренние скобки, умножив число перед скобкой на каждый член внутри нее:

$5(n + 6) = 5 \cdot n + 5 \cdot 6 = 5n + 30$

$4(n + 9) = 4 \cdot n + 4 \cdot 9 = 4n + 36$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(3n - (5n + 30)) + (4n + 36)$

Раскроем оставшиеся скобки. Так как перед первой скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$3n - 5n - 30 + 4n + 36$

2. Приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем слагаемые с переменной n и числовые слагаемые:

$(3n - 5n + 4n) + (-30 + 36)$

Выполним вычисления:

$2n + 6$

3. Проанализируем полученное выражение на четность.

Итоговое выражение равно $2n + 6$. По определению, четное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Чтобы доказать, что выражение $2n + 6$ всегда является четным для любого натурального n, можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$2n + 6 = 2(n + 3)$

По условию задачи, n — это любое натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, сумма $n + 3$ также будет целым числом. Произведение любого целого числа на 2 всегда является четным числом.

Таким образом, значение выражения $2(n + 3)$ всегда будет делиться на 2, а значит, является четным числом при любом натуральном n.

Ответ: Да, утверждение верно.