Номер 14, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

5. Тождества. Тождественное преобразование выражений. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 14, страница 21.

Условие.

14. Является ли тождеством равенство:

а) $|a^2 + 11| = a^2 + 11;$

б) $|a^2 - 11| = a^2 - 11;$

в) $|x^2 + y^2 + 4| = x^2 + (4 + y^2);$

г) $|5 - a^2| + |5 + a^2| = 10?$

Ответ: а) ............... б) ............... в) ............... г) ...............

Решение.

Решение 2.

а) Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных. Рассмотрим выражение под знаком модуля: $a^2+11$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то выражение $a^2+11$ всегда будет больше или равно 11, то есть $a^2+11 > 0$. По определению модуля, $|X| = X$, если $X \ge 0$. Следовательно, равенство $|a^2+11| = a^2+11$ верно для любого значения $a$. Таким образом, это тождество.
Ответ: да, является.

б) Рассмотрим выражение под знаком модуля: $a^2-11$. Его знак зависит от значения $a$. Равенство $|a^2-11| = a^2-11$ будет верным только при условии, что подмодульное выражение неотрицательно, то есть $a^2-11 \ge 0$. Если же $a^2-11 < 0$ (например, при $a=0$), то равенство не выполняется. Проверим для $a=0$: левая часть $|0^2-11| = |-11| = 11$; правая часть $0^2-11 = -11$. Так как $11 \ne -11$, равенство не является тождеством, поскольку оно неверно для всех значений переменной.
Ответ: нет, не является.

в) Преобразуем правую часть равенства: $x^2 + (4 + y^2) = x^2 + y^2 + 4$. Таким образом, исходное равенство можно переписать как $|x^2 + y^2 + 4| = x^2 + y^2 + 4$. Рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2+y^2+4$. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых действительных чисел $x$ и $y$, их сумма $x^2+y^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $x^2+y^2+4$ всегда положительно ($x^2+y^2+4 \ge 4$). Модуль положительного выражения равен самому выражению, поэтому равенство верно при любых значениях $x$ и $y$.
Ответ: да, является.

г) Рассмотрим равенство $|5 - a^2| + |5 + a^2| = 10$. Выражение $5+a^2$ всегда положительно ($a^2 \ge 0 \implies 5+a^2 \ge 5$). Значит, $|5+a^2|=5+a^2$. Подставим это в исходное равенство: $|5 - a^2| + 5 + a^2 = 10$. Отсюда $|5 - a^2| = 10 - 5 - a^2$, то есть $|5 - a^2| = 5 - a^2$. Это равенство верно только тогда, когда выражение под модулем неотрицательно: $5 - a^2 \ge 0$, что равносильно $a^2 \le 5$. Если же $a^2 > 5$ (например, при $a=3$), равенство неверно. Проверим для $a=3$: левая часть $|5 - 3^2| + |5 + 3^2| = |5 - 9| + |5 + 9| = |-4| + |14| = 4 + 14 = 18$. Правая часть равна 10. Поскольку $18 \ne 10$, равенство не является тождеством.
Ответ: нет, не является.