Номер 11, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

5. Тождества. Тождественное преобразование выражений. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 11, страница 21.

Условие.

11. Ученикам было предложено составить формулу для нахождения площади S фигуры, изображённой на рисунке 1, а. Один из учеников достроил фигуру до квадрата (рис. 1, б) и получил формулу $S=a^2-b^2$. Другой ученик разбил фигуру на два прямоугольника (рис. 1, в) и получил формулу $S=a(a-b)+b(a-b)$. Докажите, что выражения, записанные в правой части каждой из полученных формул, тождественно равны.

a) б) в) Рис. 1

Решение 2.

В задаче представлены два способа вычисления площади $S$ фигуры. Первый способ (рис. 1, б) заключается в достраивании фигуры до большого квадрата со стороной $a$ и вычитании площади маленького квадрата со стороной $b$. Формула для площади в этом случае:

$S = a^2 - b^2$

Второй способ (рис. 1, в) заключается в разбиении фигуры на два прямоугольника. В задаче приведена формула, соответствующая разбиению фигуры на прямоугольник со сторонами $a$ и $a-b$ и прямоугольник со сторонами $b$ и $a-b$. Сумма их площадей дает общую площадь фигуры:

$S = a(a-b) + b(a-b)$

Чтобы доказать, что выражения в правых частях формул тождественно равны, необходимо показать, что $a^2 - b^2 = a(a-b) + b(a-b)$. Для этого преобразуем второе выражение, используя распределительный закон умножения (раскроем скобки).

Рассмотрим выражение $a(a-b) + b(a-b)$.

1. Раскроем первую скобку: $a(a-b) = a \cdot a - a \cdot b = a^2 - ab$.

2. Раскроем вторую скобку: $b(a-b) = b \cdot a - b \cdot b = ab - b^2$.

3. Сложим полученные результаты:

$a(a-b) + b(a-b) = (a^2 - ab) + (ab - b^2)$

4. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 + (-ab + ab) - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы преобразовали выражение $a(a-b) + b(a-b)$ и получили $a^2 - b^2$, что и является первым выражением. Это доказывает, что оба ученика получили тождественно равные формулы для площади фигуры.

Ответ: Преобразовав выражение $a(a-b) + b(a-b)$ путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, мы получили выражение $a^2 - b^2$. Так как в результате тождественных преобразований одного выражения мы получили второе, то эти выражения тождественно равны.