Номер 8, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

6. Уравнение и его корни. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 8, страница 24.

Условие.

8. При каких значениях b уравнение $|x-4|=b-2$:

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим уравнение $|x - 4| = b - 2$.

Левая часть этого уравнения, $|x - 4|$, является модулем, значение которого по определению всегда неотрицательно, то есть $|x - 4| \ge 0$ для любого значения $x$.

Следовательно, количество решений уравнения зависит от значения выражения в правой части, $b - 2$.

а) имеет один корень

Уравнение вида $|f(x)| = C$ имеет ровно один корень только в том случае, если $C = 0$. В нашем случае правая часть $b-2$ должна быть равна нулю.

Составим и решим уравнение относительно $b$:

$b - 2 = 0$

$b = 2$

При $b=2$ исходное уравнение принимает вид $|x - 4| = 0$. Это уравнение равносильно $x - 4 = 0$, откуда мы получаем единственный корень $x = 4$.

Ответ: при $b = 2$.

б) имеет два корня

Уравнение будет иметь два различных корня, если его правая часть будет строго положительной. То есть $b - 2 > 0$.

Решим это неравенство:

$b - 2 > 0$

$b > 2$

Если $b > 2$, то $b-2$ — положительное число, и уравнение $|x - 4| = b - 2$ распадается на два независимых уравнения:

$x - 4 = b - 2$ или $x - 4 = -(b - 2)$

Решая их, получаем два различных корня:

$x_1 = b - 2 + 4 = b + 2$

$x_2 = -b + 2 + 4 = 6 - b$

Ответ: при $b > 2$.

в) не имеет корней

Уравнение не будет иметь действительных корней, если его правая часть будет отрицательной. Это связано с тем, что левая часть (модуль) не может быть отрицательным числом.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$b - 2 < 0$

$b < 2$

При $b < 2$ левая часть уравнения $|x - 4|$ неотрицательна, а правая часть $b - 2$ отрицательна. Равенство между ними невозможно, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: при $b < 2$.