Номер 11, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

6. Уравнение и его корни. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 11, страница 25.

Условие.

11. Равносильны ли уравнения:

а) $x - 6 = 0$ и $|x| = 6$;

б) $13x = 0$ и $x^2 = 0$?

Решение.

Решение 2.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары уравнений, найдем корни для каждого из них и сравним множества решений.

а) $x - 6 = 0$ и $|x| = 6$

1. Решим первое уравнение $x - 6 = 0$.
Перенесем $-6$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 6$
Множество решений первого уравнения: $\{6\}$.

2. Решим второе уравнение $|x| = 6$.
По определению модуля, это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой равно 6. Этому условию удовлетворяют две точки:
$x_1 = 6$ и $x_2 = -6$
Множество решений второго уравнения: $\{-6, 6\}$.

3. Сравним множества решений.
Множество решений первого уравнения $\{6\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-6, 6\}$, так как второе уравнение имеет дополнительный корень $x = -6$.
Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, уравнения не равносильны.

б) $13x = 0$ и $x^2 = 0$

1. Решим первое уравнение $13x = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $13 \neq 0$, то остается только $x = 0$.
Или, разделим обе части уравнения на 13:
$x = \frac{0}{13}$
$x = 0$
Множество решений первого уравнения: $\{0\}$.

2. Решим второе уравнение $x^2 = 0$.
Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это сам ноль.
$x = 0$
Множество решений второго уравнения: $\{0\}$.

3. Сравним множества решений.
Множества решений обоих уравнений совпадают: $\{0\}$.
Следовательно, уравнения являются равносильными.

Ответ: да, уравнения равносильны.