Номер 6, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

6. Уравнение и его корни. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 6, страница 24.

Условие.

6. Приведите пример уравнения, которое:

а) имеет один корень: ..........................

б) имеет бесконечно много корней: ..............

в) не имеет корней: ..........................

Решение.

Решение 2.

а) имеет один корень:

Уравнение имеет один корень, если в результате его преобразований мы можем однозначно выразить переменную через число. Типичным примером является линейное уравнение вида $ax + b = c$, в котором коэффициент $a$ при переменной не равен нулю. Такое уравнение всегда имеет единственное решение.

Рассмотрим в качестве примера уравнение: $2x + 5 = 11$.

Чтобы найти его корень, выполним следующие шаги:

1. Перенесем число 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
   $2x = 11 - 5$
   $2x = 6$
2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной $x$, то есть на 2:
   $x = \frac{6}{2}$
   $x = 3$

Мы получили, что $x=3$ — это единственное значение, при котором исходное равенство будет верным. Следовательно, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: $2x + 5 = 11$

б) имеет бесконечно много корней:

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством. Это означает, что левая и правая части уравнения равны друг другу при любом значении переменной. При попытке решить такое уравнение мы придем к верному равенству, которое не зависит от переменной, например, $0 = 0$ или $5 = 5$.

Приведем пример такого уравнения: $4(x - 1) = 4x - 4$.

Выполним преобразования:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:
   $4x - 4 = 4x - 4$
2. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
   $4x - 4x = -4 + 4$
   $0 \cdot x = 0$
   $0 = 0$

Полученное равенство $0 = 0$ истинно всегда, независимо от того, какое значение мы подставим вместо $x$. Это означает, что любое число является корнем данного уравнения.

Ответ: $4(x - 1) = 4x - 4$

в) не имеет корней:

Уравнение не имеет корней, если в ходе его решения мы приходим к противоречию — неверному числовому равенству, например, $0 = 7$. Это говорит о том, что не существует ни одного значения переменной, которое могло бы превратить исходное уравнение в верное равенство.

Рассмотрим следующий пример: $3x + 5 = 3x - 2$.

Попытаемся его решить:

1. Соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые — в правой:
   $3x - 3x = -2 - 5$
2. Упростим обе части:
   $0 \cdot x = -7$
   $0 = -7$

Мы получили неверное равенство $0 = -7$. Это противоречие означает, что исходное уравнение не может быть верным ни при каком значении $x$. Следовательно, у него нет корней.

Ответ: $3x + 5 = 3x - 2$