Страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

7. В доме имеются однокомнатные, двухкомнатные и трёхкомнатные квартиры, причём двухкомнатных квартир вдвое больше, чем однокомнатных, и на 12 больше, чем трёхкомнатных. Определите число квартир каждого вида, если известно, что всего в доме 108 квартир.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество однокомнатных квартир.

Из условия известно, что двухкомнатных квартир вдвое больше, чем однокомнатных. Следовательно, их число можно выразить как $2x$.

Также сказано, что двухкомнатных квартир на 12 больше, чем трёхкомнатных. Это значит, что количество трёхкомнатных квартир на 12 меньше, чем двухкомнатных. Их число можно выразить как $(2x - 12)$.

Общее количество квартир в доме — 108. Сложим количество квартир каждого вида и приравняем к общему числу, чтобы составить уравнение:

$x + 2x + (2x - 12) = 108$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые:

$x + 2x + 2x - 12 = 108$

$5x - 12 = 108$

2. Перенесём число -12 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x = 108 + 12$

$5x = 120$

3. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{120}{5}$

$x = 24$

Таким образом, в доме 24 однокомнатные квартиры.

Теперь, зная $x$, найдём количество двухкомнатных и трёхкомнатных квартир:

Число двухкомнатных квартир:
$2x = 2 \cdot 24 = 48$ квартир.

Число трёхкомнатных квартир:
$2x - 12 = 48 - 12 = 36$ квартир.

Проверим полученный результат: $24 + 48 + 36 = 108$. Общее число квартир совпадает с условием задачи.

Ответ: в доме 24 однокомнатные квартиры, 48 двухкомнатных квартир и 36 трёхкомнатных квартир.

8. В походе приняли участие три группы туристов. В первую из них вошла $\frac{1}{3}$ всех участников похода, во вторую — на 2 человека меньше, а в третью — остальные 32 участника. Сколько всего туристов участвовало в походе?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество туристов, которые приняли участие в походе.

Согласно условию, мы можем выразить количество участников в каждой из трех групп:

• В первой группе была $\frac{1}{3}$ всех участников. Значит, ее численность составляет $\frac{1}{3}x$ человек.
• Во второй группе было на 2 человека меньше, чем в первой. Следовательно, ее численность — $(\frac{1}{3}x - 2)$ человек.
• В третьей группе было 32 участника.

Сумма туристов во всех трех группах равна общему количеству туристов. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$\frac{1}{3}x + (\frac{1}{3}x - 2) + 32 = x$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сгруппировав подобные члены:

$(\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x) + (32 - 2) = x$

$\frac{2}{3}x + 30 = x$

Далее, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения:

$30 = x - \frac{2}{3}x$

Выполним вычитание в правой части:

$30 = \frac{1}{3}x$

Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на 3:

$x = 30 \cdot 3$

$x = 90$

Таким образом, всего в походе участвовало 90 туристов.

Проверим наше решение:

• Первая группа: $\frac{1}{3} \cdot 90 = 30$ туристов.
• Вторая группа: $30 - 2 = 28$ туристов.
• Третья группа: 32 туриста.

Сумма всех участников: $30 + 28 + 32 = 90$ туристов. Решение верное.

Ответ: 90 туристов.

4. Припишите к данному выражению такой двучлен, чтобы полученный многочлен можно было разложить на множители способом группировки, и выполните разложение на множители:

а) $cx+dx+ac$

б) $y^2-ay+ad$

в) $ab-b-ay$

г) $x^2-ab+bx$

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, как правило, требуется четное количество слагаемых (чаще всего четыре). Исходные выражения содержат по три слагаемых. Добавление двучлена (выражения из двух слагаемых) привело бы к пяти слагаемым, что не подходит для стандартного метода группировки. Поэтому будем решать задачу в предположении, что нужно приписать одночлен, чтобы получить многочлен из четырех слагаемых, который можно разложить на множители.

а) Дано выражение $cx + dx + ac$.
Сгруппируем первые два члена: $cx + dx = x(c+d)$. Чтобы группировка была успешной, вторая пара слагаемых также должна содержать множитель $(c+d)$. У нас есть член $ac$. Если вторым членом в паре будет $ad$, то получим $ac+ad = a(c+d)$. Значит, нужно добавить одночлен $ad$.
Полученный многочлен: $cx + dx + ac + ad$.
Выполним разложение на множители:
$(cx + dx) + (ac + ad) = x(c+d) + a(c+d) = (x+a)(c+d)$.
Ответ: нужно приписать $ad$; разложение: $(x+a)(c+d)$.

б) Дано выражение $y^2 - ay + ad$.
Чтобы подобрать четвертый член для группировки, рассмотрим первые два: $y^2 - ay = y(y-a)$. Вторая пара слагаемых должна иметь общий множитель $(y-a)$. У нас есть слагаемое $ad$. Чтобы получить множитель $(y-a)$ из пары $(ad + ?)$, нужно, чтобы эта пара была равна $k(y-a) = ky - ka$. Сравнивая $-ka$ с $ad$, находим, что $k=-d$. Тогда недостающий член $? = ky = -dy$.
Добавим одночлен $-dy$ и выполним разложение:
$y^2 - ay + ad - dy = (y^2 - ay) + (ad - dy) = y(y-a) + d(a-y) = y(y-a) - d(y-a) = (y-d)(y-a)$.
Ответ: нужно приписать $-dy$; разложение: $(y-d)(y-a)$.

в) Дано выражение $ab - b - ay$.
Сгруппируем первые два члена: $ab - b = b(a-1)$. Вторая пара слагаемых должна также содержать множитель $(a-1)$. У нас есть член $-ay$. Нам нужно выражение вида $k(a-1) = ka - k$. Сравнивая $ka$ с $-ay$, получаем $k=-y$. Тогда недостающий член должен быть $-k = -(-y) = y$.
Получаем многочлен $ab - b - ay + y$.
Разложим его на множители:
$ab - b - ay + y = (ab - b) + (-ay + y) = b(a-1) - y(a-1) = (b-y)(a-1)$.
Ответ: нужно приписать $y$; разложение: $(b-y)(a-1)$.

г) Дано выражение $x^2 - ab + bx$.
Переставим члены для удобства: $x^2 + bx - ab$. Сгруппируем первые два: $x^2 + bx = x(x+b)$. Вторая пара слагаемых должна также содержать множитель $(x+b)$. У нас есть член $-ab$. Нам нужно выражение вида $k(x+b) = kx + kb$. Сравнивая $kb$ с $-ab$, получаем $k=-a$. Тогда недостающий член должен быть $kx = -ax$.
Получаем многочлен $x^2 + bx - ab - ax$.
Разложим его на множители, перегруппировав слагаемые:
$x^2 - ax + bx - ab = (x^2 - ax) + (bx - ab) = x(x-a) + b(x-a) = (x+b)(x-a)$.
Ответ: нужно приписать $-ax$; разложение: $(x+b)(x-a)$.

5. Представьте многочлен в виде произведения двучленов, сгруппировав попарно его члены двумя способами:

$6ax - 10ay + 3bx - 5by = (6ax - 10ay) + (3bx - 5by) = $
$= 2a (3x - 5y) + b (3x - 5y) = (3x - 5y) (2a + b);$
$6ax - 10ay + 3bx - 5by = (6ax + 3bx) - (10ay + 5by) = $
$= 3x (2a + b) - 5y (2a + b) = (2a + b) (3x - 5y)$

a) $5a - 5b + ax - bx =$ .................

...................

$5a - 5b + ax - bx =$ .................

...................

б) $2bd + 8b^2 - 4bc - cd =$ .................

...................

$2bd + 8b^2 - 4bc - cd =$ .................

...................

а)

Первый способ: Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый. В каждой группе вынесем общий множитель за скобки.
$5a - 5b + ax - bx = (5a - 5b) + (ax - bx) = 5(a - b) + x(a - b)$
Далее вынесем за скобки общий множитель $(a - b)$.
$(a - b)(5 + x)$

Второй способ: Сгруппируем первый и третий члены, а также второй и четвертый. Обратите внимание на знак при вынесении за скобки.
$5a - 5b + ax - bx = (5a + ax) + (-5b - bx) = a(5 + x) - b(5 + x)$
Далее вынесем за скобки общий множитель $(5 + x)$.
$(5 + x)(a - b)$
Ответ: $(a - b)(5 + x)$

б)

Первый способ: Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый. В каждой группе вынесем общий множитель за скобки.
$2bd + 8b^2 - 4bc - cd = (2bd + 8b^2) - (4bc + cd) = 2b(d + 4b) - c(4b + d)$
Далее вынесем за скобки общий множитель $(d + 4b)$.
$(d + 4b)(2b - c)$

Второй способ: Сгруппируем первый и четвертый члены, а также второй и третий.
$2bd + 8b^2 - 4bc - cd = (2bd - cd) + (8b^2 - 4bc) = d(2b - c) + 4b(2b - c)$
Далее вынесем за скобки общий множитель $(2b - c)$.
$(2b - c)(d + 4b)$
Ответ: $(2b - c)(d + 4b)$