Страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

9. Ремонт школы выполняли три бригады рабочих. В первую из них вошло 25% всех рабочих, во вторую — на 5 человек больше, а в третью — остальные 13 человек. Сколько рабочих выполняли ремонт школы?

Для решения данной задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это общее количество рабочих, выполнявших ремонт школы.

Согласно условию, численность бригад была следующей:
Первая бригада: 25% от общего числа рабочих, что математически выражается как $0.25x$.
Вторая бригада: на 5 человек больше, чем в первой, то есть $(0.25x + 5)$ человек.
Третья бригада: 13 человек.

Сумма рабочих во всех трех бригадах равна общему количеству рабочих $x$. Составим и решим уравнение:

$(0.25x) + (0.25x + 5) + 13 = x$

Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$0.5x + 18 = x$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения оставим в другой. Для этого вычтем $0.5x$ из обеих частей уравнения:

$18 = x - 0.5x$

$18 = 0.5x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.5 (что равносильно умножению на 2):

$x = \frac{18}{0.5}$

$x = 36$

Таким образом, всего в ремонте школы участвовало 36 рабочих.

Проверим правильность решения:
1. В первой бригаде: $0.25 \times 36 = 9$ рабочих.
2. Во второй бригаде: $9 + 5 = 14$ рабочих.
3. В третьей бригаде: 13 рабочих.
Итого: $9 + 14 + 13 = 36$ рабочих.
Все сходится.

Ответ: 36 рабочих.

10. На выполнение домашнего задания Максим затратил 2 ч, причём 30% этого времени ушло на задание по русскому языку, а остальное время — на задания по алгебре и физике. Сколько времени затратил Максим на каждый из этих предметов, если известно, что на алгебру было затрачено на 20 мин больше, чем на физику?

Для решения задачи необходимо выполнить вычисления в несколько шагов.

1. Сначала переведем общее время, затраченное на домашнее задание, из часов в минуты для удобства дальнейших расчетов. В одном часе 60 минут.
   $2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$.

2. Теперь найдем, сколько времени ушло на задание по русскому языку. По условию, это 30% от общего времени.
   $120 \text{ мин} \times \frac{30}{100} = 120 \times 0.3 = 36 \text{ мин}$.

3. Определим оставшееся время, которое было потрачено на задания по алгебре и физике вместе. Для этого вычтем из общего времени время, потраченное на русский язык.
   $120 \text{ мин} - 36 \text{ мин} = 84 \text{ мин}$.

4. Составим уравнение для нахождения времени, затраченного на алгебру и физику. Пусть $x$ — время в минутах, которое Максим потратил на физику. Тогда, согласно условию, на алгебру было затрачено на 20 минут больше, то есть $(x + 20)$ минут. Сумма этого времени равна 84 минутам.
   $x + (x + 20) = 84$
   Теперь решим полученное уравнение:
   $2x + 20 = 84$
   $2x = 84 - 20$
   $2x = 64$
   $x = \frac{64}{2}$
   $x = 32 \text{ мин}$
   Следовательно, на выполнение задания по физике было затрачено 32 минуты.

5. Наконец, найдем время, затраченное на алгебру.
   $32 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 52 \text{ мин}$.

Ответ: на задание по русскому языку Максим затратил 36 минут, на задание по физике — 32 минуты, а на задание по алгебре — 52 минуты.

6. Разложите многочлен на множители и найдите его значение при заданных значениях переменных:

a) $3x + xb^2 - 3b - b^3$ при $x=4, b=-1$;

б) $a^2b + a - ab^2 - b$ при $a=0,5, b=2.$

а)

Сначала разложим многочлен $3x + xb^2 - 3b - b^3$ на множители. Для этого используем метод группировки слагаемых.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x + xb^2) + (-3b - b^3)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — $-b$:

$x(3 + b^2) - b(3 + b^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(3 + b^2)$, который тоже можно вынести за скобки:

$(x - b)(3 + b^2)$

Мы разложили многочлен на множители. Теперь найдем его значение при заданных $x=4$ и $b=-1$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$(4 - (-1))(3 + (-1)^2) = (4 + 1)(3 + 1) = 5 \cdot 4 = 20$

Ответ: $(x - b)(3 + b^2)$; 20.

б)

Разложим на множители многочлен $a^2b + a - ab^2 - b$, используя метод группировки. Переставим слагаемые для удобства:

$a^2b - ab^2 + a - b$

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^2b - ab^2) + (a - b)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $ab$:

$ab(a - b) + 1(a - b)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - b)$:

$(a - b)(ab + 1)$

Мы разложили многочлен на множители. Теперь найдем его значение при $a=0,5$ и $b=2$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$(0,5 - 2)(0,5 \cdot 2 + 1) = (-1,5)(1 + 1) = -1,5 \cdot 2 = -3$

Ответ: $(a - b)(ab + 1)$; -3.

7. Разложите многочлен на множители:

a) $x^3 + x^2 + x + 1 = $

б) $2 - 5y + 2y^2 - 5y^3 = $

в) $4z - 3 - 3z^2 + 4z^3 = $

a) $x^3 + x^2 + x + 1$

Для разложения данного многочлена на множители применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно: первое со вторым и третье с четвертым.

$(x^3 + x^2) + (x + 1)$

Теперь из каждой группы вынесем за скобки общий множитель. В первой группе общим множителем является $x^2$, во второй — 1.

$x^2(x + 1) + 1(x + 1)$

Как видим, оба получившихся слагаемых имеют общий множитель $(x + 1)$. Вынесем его за скобки.

$(x + 1)(x^2 + 1)$

Дальнейшее разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно, так как выражение $x^2+1$ не имеет действительных корней.
Ответ: $(x + 1)(x^2 + 1)$.

б) $2 - 5y + 2y^2 - 5y^3$

Для разложения этого многочлена на множители также используем метод группировки. Для удобства переставим слагаемые, сгруппировав члены с коэффициентом 2 и члены с коэффициентом -5.

$(2 + 2y^2) + (-5y - 5y^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем 2, а из второй — $-5y$.

$2(1 + y^2) - 5y(1 + y^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(1 + y^2)$, который можно вынести за скобки.

$(1 + y^2)(2 - 5y)$

Таким образом, мы разложили многочлен на множители.
Ответ: $(1 + y^2)(2 - 5y)$.

в) $4z - 3 - 3z^2 + 4z^3$

Сначала расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $z$.

$4z^3 - 3z^2 + 4z - 3$

Теперь применим метод группировки, объединив первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое.

$(4z^3 - 3z^2) + (4z - 3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $z^2$, во второй — 1.

$z^2(4z - 3) + 1(4z - 3)$

Общим множителем для обоих слагаемых является выражение $(4z - 3)$. Вынесем его за скобки.

$(4z - 3)(z^2 + 1)$

Многочлен разложен на множители.
Ответ: $(4z - 3)(z^2 + 1)$.

8. Вычислите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

a) $7 \cdot 239 + 11 \cdot 39 - 6 \cdot 239 - 12 \cdot 39 =$

б) $7 \cdot 630 + 6 \cdot 137 - 6 \cdot 630 + 4 \cdot 137 =$

а) Для вычисления значения выражения $7 \cdot 239 + 11 \cdot 39 - 6 \cdot 239 - 12 \cdot 39$ воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения, чтобы сгруппировать слагаемые с общими множителями:
$(7 \cdot 239 - 6 \cdot 239) + (11 \cdot 39 - 12 \cdot 39)$
Далее применим распределительное свойство умножения $a \cdot c \pm b \cdot c = (a \pm b) \cdot c$, вынеся общие множители 239 и 39 за скобки:
$(7 - 6) \cdot 239 + (11 - 12) \cdot 39$
Выполним действия в скобках:
$1 \cdot 239 + (-1) \cdot 39$
Теперь выполним умножение и сложение:
$239 - 39 = 200$
Ответ: 200

б) Для вычисления значения выражения $7 \cdot 630 + 6 \cdot 137 - 6 \cdot 630 + 4 \cdot 137$ поступим аналогичным образом. Сгруппируем слагаемые с общими множителями 630 и 137:
$(7 \cdot 630 - 6 \cdot 630) + (6 \cdot 137 + 4 \cdot 137)$
Вынесем общие множители за скобки, используя распределительное свойство:
$(7 - 6) \cdot 630 + (6 + 4) \cdot 137$
Выполним действия в скобках:
$1 \cdot 630 + 10 \cdot 137$
Теперь выполним умножение и сложение:
$630 + 1370 = 2000$
Ответ: 2000