Страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

9. В ряду чисел 17, 5, 24, ...., 16, 21, 11 пропущено одно число. Найдите его, если известно, что размах ряда равен 36.

Рассмотрим случаи, когда:

а) пропущено наибольшее число;

б) пропущено наименьшее число.

а) Пусть $x$ — пропущенное число, тогда $x - ...... = 36$.

б) Пусть $x$ — пропущенное число, тогда $...... - x = 36$.

Ответ: а) пропущено число ...... б) пропущено число ......

В данном ряду чисел {17, 5, 24, ..., 16, 21, 11} пропущено одно число. Размах ряда — это разность между наибольшим и наименьшим его элементом. По условию задачи, размах полного ряда равен 36.
Сначала найдем наибольшее и наименьшее числа среди известных членов ряда:
Наибольшее из известных чисел: 24.
Наименьшее из известных чисел: 5.
Пусть пропущенное число — это $x$. Рассмотрим два возможных случая.

а) пропущено наибольшее число;
Если пропущенное число $x$ является наибольшим в ряду, то наименьшим числом в этом ряду будет 5. Тогда разность между наибольшим и наименьшим числом будет $x - 5$.
Составим уравнение согласно условию о размахе ряда:
$x - 5 = 36$
Чтобы найти $x$, перенесем 5 в правую часть уравнения:
$x = 36 + 5$
$x = 41$
Если пропущенное число равно 41, оно будет наибольшим в ряду, а наименьшим останется 5. Размах ряда: $41 - 5 = 36$. Это соответствует условию.
Ответ: пропущено число 41.

б) пропущено наименьшее число.
Если пропущенное число $x$ является наименьшим в ряду, то наибольшим числом в этом ряду будет 24. Тогда разность между наибольшим и наименьшим числом будет $24 - x$.
Составим уравнение согласно условию о размахе ряда:
$24 - x = 36$
Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения:
$-x = 36 - 24$
$-x = 12$
$x = -12$
Если пропущенное число равно -12, оно будет наименьшим в ряду, а наибольшим останется 24. Размах ряда: $24 - (-12) = 24 + 12 = 36$. Это соответствует условию.
Ответ: пропущено число -12.

10. К ряду данных, состоящему из 11 чисел, приписали число 48. Найдите среднее арифметическое нового ряда чисел, если известно, что среднее арифметическое исходного ряда равно 28.

Заполните таблицу:

Составьте уравнение и решите его.

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов, используя определение среднего арифметического.

Среднее арифметическое равно отношению суммы всех чисел в ряду к их количеству. Формула:$Среднее = \frac{Сумма~членов~ряда}{Число~членов~ряда}$

Заполните таблицу:

1. Находим сумму членов исходного ряда («Было»).
Известно, что в исходном ряду было 11 чисел, а их среднее арифметическое равно 28. Чтобы найти сумму этих чисел, нужно умножить их количество на среднее арифметическое.
Сумма (было) = $11 \times 28 = 308$.
Это значение заносим в таблицу в строку «Было» и столбец «Сумма членов ряда».

2. Находим сумму и среднее арифметическое нового ряда («Стало»).
К исходному ряду добавили число 48.
Количество членов нового ряда: $11 + 1 = 12$.
Сумма членов нового ряда: $Сумма (было) + 48 = 308 + 48 = 356$.
Среднее арифметическое нового ряда: $\frac{Сумма (стало)}{Число~членов (стало)} = \frac{356}{12} = 29 \frac{8}{12} = 29 \frac{2}{3}$.
Заносим вычисленные значения в строку «Стало».

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Сумма членов исходного ряда равна 308. После добавления числа 48 количество членов стало 12, их сумма — 356, а новое среднее арифметическое — $29 \frac{2}{3}$.

Составьте уравнение и решите его:

Пусть $x$ — искомое среднее арифметическое нового ряда чисел. Уравнение можно составить, основываясь на определении среднего арифметического для нового ряда.

Новое среднее арифметическое ($x$) равно отношению новой суммы к новому количеству чисел.
Новая сумма — это сумма исходных 11 чисел плюс добавленное число 48. Сумма исходных чисел равна $11 \times 28$.
Новое количество чисел — это $11 + 1$.
Составляем уравнение:

$x = \frac{(11 \times 28) + 48}{11 + 1}$

Теперь решаем его:

1. Вычисляем значения в числителе и знаменателе:
$x = \frac{308 + 48}{12}$

2. Складываем числа в числителе:
$x = \frac{356}{12}$

3. Выполняем деление и упрощаем дробь:
$x = 29 \frac{8}{12} = 29 \frac{2}{3}$

Ответ: $x = 29 \frac{2}{3}$.

9. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $( \dots + 7b)^2 = a^2 + 14ab + \dots \; $

б) $( \dots - x)^2 = \dots - 10ax + x^2 \; $

в) $( \dots + p)^2 = 9a^2 + \dots + \dots \; $

г) $(x - \dots)^2 = \dots - \dots + 16y^2.$

а) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.

В выражении $(... + 7b)^2 = a^2+14ab+...$ обозначим первый пропущенный одночлен в скобках как $A_1$, а пропущенный член в правой части как $B_1$.

Раскроем скобки в левой части по формуле: $(A_1+7b)^2 = A_1^2 + 2 \cdot A_1 \cdot (7b) + (7b)^2 = A_1^2 + 14A_1b + 49b^2$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью тождества $a^2+14ab+B_1$.

Приравнивая соответствующие члены, получаем: $A_1^2 = a^2$, следовательно, $A_1 = a$.

Удвоенное произведение $14A_1b$ при $A_1 = a$ равно $14ab$, что соответствует среднему члену в правой части.

Свободный член $B_1$ должен быть равен $(7b)^2 = 49b^2$.

Таким образом, в скобках пропущен одночлен $a$, а в правой части — $49b^2$.

Ответ: пропущенные одночлены — $a$ и $49b^2$.

б) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.

В выражении $(... - x)^2 = ... - 10ax + x^2$ обозначим первый пропущенный одночлен в скобках как $A_1$, а первый пропущенный член в правой части как $B_1$.

Раскроем скобки в левой части по формуле: $(A_1-x)^2 = A_1^2 - 2 \cdot A_1 \cdot x + x^2$.

Сравним это с правой частью $B_1 - 10ax + x^2$.

Приравнивая средние члены (удвоенное произведение), получаем: $-2A_1x = -10ax$. Отсюда $2A_1 = 10a$, и $A_1 = 5a$.

Первый член в правой части $B_1$ должен быть равен $A_1^2$. Подставив найденное значение $A_1$, получаем $B_1 = (5a)^2 = 25a^2$.

Таким образом, в скобках пропущен одночлен $5a$, а в правой части — $25a^2$.

Ответ: пропущенные одночлены — $5a$ и $25a^2$.

в) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.

В выражении $(... + p)^2 = 9a^2 + ... + ...$ обозначим пропуски последовательно как $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

Раскроем левую часть $(A_1+p)^2$ по формуле: $A_1^2 + 2A_1p + p^2$.

Сравним это с правой частью $9a^2 + B_1 + C_1$.

Приравнивая первые члены, получаем: $A_1^2 = 9a^2$, откуда $A_1 = 3a$.

Теперь, зная $A_1$, найдем остальные члены в правой части. Средний член $B_1$ равен удвоенному произведению $2A_1p = 2 \cdot (3a) \cdot p = 6ap$.

Последний член $C_1$ равен квадрату второго слагаемого в скобках, то есть $p^2$.

Таким образом, пропущенные одночлены: $3a$, $6ap$ и $p^2$.

Ответ: пропущенные одночлены — $3a$, $6ap$ и $p^2$.

г) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.

В выражении $(x - ...)^2 = ... - ... + 16y^2$ обозначим пропуски последовательно как $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

Левая часть $(x-A_1)^2$ раскрывается по формуле как $x^2 - 2xA_1 + A_1^2$.

Сравним это с правой частью $B_1 - C_1 + 16y^2$.

Приравнивая последние члены, получаем: $A_1^2 = 16y^2$, откуда $A_1=4y$.

Теперь найдем пропущенные члены в правой части. Первый член $B_1$ должен быть равен квадрату первого члена в скобках, то есть $x^2$.

Второй пропущенный член $C_1$ соответствует удвоенному произведению $2xA_1$. Подставив $A_1=4y$, получаем $C_1 = 2x(4y) = 8xy$. Знак минус уже стоит в выражении.

Таким образом, пропущенные одночлены: $4y$, $x^2$ и $8xy$.

Ответ: пропущенные одночлены — $4y$, $x^2$ и $8xy$.

10. Решите уравнение:

a) $(x - 12)^2 - x(x + 12) = 36;$

б) $(3x + 5)^2 - 3x(3x - 1) = 8.$

а) $(x - 12)^2 - x(x + 12) = 36$

Для решения этого уравнения раскроем скобки. Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и распределим множитель $-x$ на скобку $(x+12)$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2) - (x \cdot x + x \cdot 12) = 36$

$(x^2 - 24x + 144) - (x^2 + 12x) = 36$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:

$x^2 - 24x + 144 - x^2 - 12x = 36$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются ($x^2 - x^2 = 0$).

$(-24x - 12x) + 144 = 36$

$-36x + 144 = 36$

Перенесем 144 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-36x = 36 - 144$

$-36x = -108$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -36:

$x = \frac{-108}{-36}$

$x = 3$

Ответ: $3$.

б) $(3x + 5)^2 - 3x(3x - 1) = 8$

Для решения этого уравнения также раскроем скобки. Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и распределим множитель $-3x$ на скобку $(3x-1)$:

$((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2) - (3x \cdot 3x - 3x \cdot 1) = 8$

$(9x^2 + 30x + 25) - (9x^2 - 3x) = 8$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:

$9x^2 + 30x + 25 - 9x^2 + 3x = 8$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются ($9x^2 - 9x^2 = 0$).

$(30x + 3x) + 25 = 8$

$33x + 25 = 8$

Перенесем 25 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$33x = 8 - 25$

$33x = -17$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 33:

$x = -\frac{17}{33}$

Ответ: $-\frac{17}{33}$.

11. Докажите, что если из квадрата целого числа, не кратного 3, вычесть 1, то получится число, кратное 3.

11.

Для доказательства данного утверждения необходимо показать, что для любого целого числа $n$, которое не делится на 3, выражение $n^2 - 1$ будет делиться на 3.

Любое целое число при делении на 3 может давать в остатке 0, 1 или 2. Так как по условию число $n$ не кратно 3, остаток от его деления на 3 не может быть равен 0. Следовательно, остаются два возможных случая для числа $n$.

Случай 1: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 1.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.
Подставим это выражение в $n^2 - 1$ и упростим:
$n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1$
Используя формулу квадрата суммы, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:
$(9k^2 + 6k + 1) - 1 = 9k^2 + 6k$
Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки:
$9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)$
Поскольку $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 2k$ также является целым числом. Это означает, что результат $n^2 - 1$ является произведением числа 3 и целого числа, следовательно, он кратен 3.

Случай 2: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 2.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое число.
Подставим это выражение в $n^2 - 1$ и упростим:
$n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1$
Раскроем скобки:
$(9k^2 + 12k + 4) - 1 = 9k^2 + 12k + 3$
Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки:
$9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)$
Поскольку $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 4k + 1$ также является целым числом. Следовательно, результат $n^2 - 1$ кратен 3.

Мы рассмотрели оба возможных случая для целого числа, не кратного 3, и в каждом из них показали, что выражение $n^2 - 1$ кратно 3. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Альтернативный способ доказательства:

Можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Применим её к нашему выражению:
$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$
Числа $(n - 1)$, $n$ и $(n + 1)$ — это три последовательных целых числа. Известно, что среди любых трех последовательных целых чисел одно из них обязательно делится на 3.
По условию задачи, число $n$ не кратно 3.
Это значит, что на 3 должно делиться либо предыдущее число $(n - 1)$, либо следующее за ним число $(n + 1)$.
В любом случае, один из множителей в произведении $(n - 1)(n + 1)$ кратен 3. А если один из множителей делится на число, то и все произведение делится на это число.
Следовательно, $n^2 - 1$ кратно 3.

Ответ: Утверждение доказано.