Страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Площадь прямоугольника с основанием 12 см и высотой $a$ см равна $S$ см². Задайте формулой зависимость $S$ от $a$:

$S = 12a$

Выберите три каких-либо значения аргумента и вычислите соответствующие значения функции:

если $a = $ ........................ то $S = $ ........................

если $a = $ ........................ то $S = $ ........................

если $a = $ ........................ то $S = $ ........................

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его основания на высоту. По условию задачи, основание равно 12 см, а высота равна $a$ см. Следовательно, зависимость площади $S$ от высоты $a$ задается следующей формулой:
$S = 12 \cdot a$.
Ответ: $S = 12a$.

Выберем три произвольных значения аргумента $a$ и вычислим соответствующие значения функции $S$.

если a = 3, то подставляем это значение в формулу и вычисляем площадь: $S = 12 \cdot 3 = 36$ (см²).
Ответ: то S = 36.

если a = 5, то подставляем это значение в формулу и вычисляем площадь: $S = 12 \cdot 5 = 60$ (см²).
Ответ: то S = 60.

если a = 10,5, то подставляем это значение в формулу и вычисляем площадь: $S = 12 \cdot 10,5 = 126$ (см²).
Ответ: то S = 126.

5. Время $t$ ч движения автобуса от пункта А до пункта В, удалённого на расстояние 180 км, зависит от скорости движения. Для указанных значений скорости $v$ км/ч вычислите соответствующее время движения:

если $v=40$, то $t=$ ......................

если $v=50$, то $t=$ ......................

если $v=60$, то $t=$ ......................

Для того чтобы вычислить время движения автобуса $t$, необходимо использовать формулу, связывающую расстояние $S$, скорость $v$ и время $t$:$t = S/v$Из условия задачи известно, что расстояние от пункта А до пункта Б составляет $S = 180$ км.

если v=40, то t=
Подставляем известные значения в формулу, чтобы найти время при скорости $v = 40$ км/ч:
$t = 180 / 40 = 4,5$ ч.
Ответ: 4,5

если v=50, то t=
Подставляем известные значения в формулу, чтобы найти время при скорости $v = 50$ км/ч:
$t = 180 / 50 = 3,6$ ч.
Ответ: 3,6

если v=60, то t=
Подставляем известные значения в формулу, чтобы найти время при скорости $v = 60$ км/ч:
$t = 180 / 60 = 3$ ч.
Ответ: 3

6. Основание прямоугольника равно 6 см, его высота равна $x$ см, а периметр — $P$ см. Из данных формул выберите ту, которая задаёт зависимость $P$ от $x$.

1. $P=6x$

2. $P=6+x$

3. $P=2\cdot(6+x)$

4. $P=2\cdot6+x$

Для каждого из указанных значений аргумента вычислите по этой формуле соответствующее ему значение функции:

если $x=3$, то $P=$ ..................... если $x=4,5$, то $P=$ .....................

если $x=12$, то $P=$ .....................

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ — основание (длина), а $b$ — высота (ширина). Согласно условию задачи, основание прямоугольника равно 6 см ($a = 6$), а его высота равна $x$ см ($b = x$). Подставив эти значения в общую формулу, получим формулу зависимости периметра $P$ от высоты $x$ для данного прямоугольника: $P = 2 \cdot (6 + x)$.

Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с формулой под номером 3.

Теперь вычислим по этой формуле значения функции $P$ для каждого из указанных значений аргумента $x$.

если x=3, то P=
Подставляем в формулу $x=3$:
$P = 2 \cdot (6 + 3) = 2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: 18.

если x=4,5, то P=
Подставляем в формулу $x=4,5$:
$P = 2 \cdot (6 + 4,5) = 2 \cdot 10,5 = 21$.
Ответ: 21.

если x=12, то P=
Подставляем в формулу $x=12$:
$P = 2 \cdot (6 + 12) = 2 \cdot 18 = 36$.
Ответ: 36.

7. Каждому натуральному числу $m$ поставили в соответствие остаток $r$ от деления этого числа на $5$. Для указанных значений $m$ найдите соответствующие значения $r$:

если $m = 348$, то $r = 3$

если $m = 207$, то $r=$

если $m = 125$, то $r=$

если $m = 1$, то $r=$

В данной задаче каждому натуральному числу $m$ ставится в соответствие остаток $r$ от его деления на 5. Это означает, что для каждого $m$ нам нужно найти такое целое число $r$, что $m = 5 \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное, и выполняется условие $0 \le r < 5$.

Для нахождения остатка от деления на 5 существует простое правило: остаток от деления числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5.

если m = 207, то r =
Найдем остаток от деления 207 на 5. Последняя цифра этого числа — 7. Разделим 7 на 5 с остатком: $7 = 5 \cdot 1 + 2$. Остаток равен 2. Значит, $r=2$.
Проверка: $207 = 205 + 2 = 5 \cdot 41 + 2$.
Ответ: 2

если m = 125, то r =
Найдем остаток от деления 125 на 5. Последняя цифра этого числа — 5. Любое число, оканчивающееся на 5, делится на 5 без остатка. $125 \div 5 = 25$. Это можно записать как $125 = 5 \cdot 25 + 0$. Остаток равен 0. Значит, $r=0$.
Ответ: 0

если m = 1, то r =
Найдем остаток от деления 1 на 5. Так как делимое (1) меньше делителя (5), то неполное частное будет равно 0, а остаток будет равен самому делимому, то есть 1. Запись деления с остатком выглядит так: $1 = 5 \cdot 0 + 1$. Значит, $r=1$.
Ответ: 1

1. Представьте произведение в виде многочлена, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:

$(6y - 5)(6y + 5) = (6y)^2 - 5^2 = 36y^2 - 25$

a) $(8p - 3m^2)(8p + 3m^2) = $

б) $(12 + x^3)(12 - x^3) = $

в) $(y^8 + 5x^4)(5x^4 - y^8) = $

г) $(7a^5 + 2a^2)(2a^2 - 7a^5) = $

а) Для того чтобы представить произведение $(8p - 3m^2)(8p + 3m^2)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = 8p$ и $b = 3m^2$.

Подставим наши значения в формулу: $(8p)^2 - (3m^2)^2 = 8^2 \cdot p^2 - 3^2 \cdot (m^2)^2 = 64p^2 - 9m^4$.

Ответ: $64p^2 - 9m^4$.

б) В выражении $(12 + x^3)(12 - x^3)$ применим ту же формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = 12$ и $b = x^3$.

Выполним вычисления: $12^2 - (x^3)^2 = 144 - x^{3 \cdot 2} = 144 - x^6$.

Ответ: $144 - x^6$.

в) Выражение $(y^8 + 5x^4)(5x^4 - y^8)$ можно привести к стандартному виду формулы, поменяв местами слагаемые в первой скобке (от перемены мест слагаемых сумма не меняется): $(5x^4 + y^8)(5x^4 - y^8)$.

Теперь это соответствует формуле $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = 5x^4$ и $b = y^8$. Подставим значения: $(5x^4)^2 - (y^8)^2 = 5^2 \cdot (x^4)^2 - (y^8)^2 = 25x^{4 \cdot 2} - y^{8 \cdot 2} = 25x^8 - y^{16}$.

Ответ: $25x^8 - y^{16}$.

г) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем выражение $(7a^5 + 2a^2)(2a^2 - 7a^5)$, поменяв местами слагаемые в первой скобке: $(2a^2 + 7a^5)(2a^2 - 7a^5)$.

Применяем формулу разности квадратов, где $a = 2a^2$ и $b = 7a^5$: $(2a^2)^2 - (7a^5)^2 = 2^2 \cdot (a^2)^2 - 7^2 \cdot (a^5)^2 = 4a^{2 \cdot 2} - 49a^{5 \cdot 2} = 4a^4 - 49a^{10}$.

Ответ: $4a^4 - 49a^{10}$.

2. Выполните умножение:

a) $5x(x - 4)(x + 4) = \ldots$

б) $-4y(y - 2)(2 + y) = \ldots$

в) $y^2(y^3 - 5)(y^3 + 5) = \ldots$

г) $-p^3(4 - p^2)(p^2 + 4) = \ldots$

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращённого умножения — разностью квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Сначала умножим скобки $(x - 4)(x + 4)$. Здесь $a = x$, а $b = 4$.
$(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.
Теперь подставим это выражение обратно в исходное и умножим на $5x$:
$5x(x^2 - 16) = 5x \cdot x^2 - 5x \cdot 16 = 5x^3 - 80x$.
Ответ: $5x^3 - 80x$.

б) В данном выражении также можно применить формулу разности квадратов. Для этого поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(2 + y) = (y + 2)$.
Теперь выражение имеет вид: $-4y(y - 2)(y + 2)$.
Применим формулу разности квадратов к $(y - 2)(y + 2)$, где $a = y$, а $b = 2$:
$(y - 2)(y + 2) = y^2 - 2^2 = y^2 - 4$.
Умножим полученный результат на $-4y$:
$-4y(y^2 - 4) = -4y \cdot y^2 - (-4y) \cdot 4 = -4y^3 + 16y$.
Ответ: $-4y^3 + 16y$.

в) Снова используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В этом случае $a = y^3$, а $b = 5$.
$(y^3 - 5)(y^3 + 5) = (y^3)^2 - 5^2 = y^{3 \cdot 2} - 25 = y^6 - 25$.
Далее, умножим полученное выражение на $y^2$:
$y^2(y^6 - 25) = y^2 \cdot y^6 - y^2 \cdot 25 = y^{2+6} - 25y^2 = y^8 - 25y^2$.
Ответ: $y^8 - 25y^2$.

г) Для удобства применения формулы разности квадратов переставим множители: $-p^3(4 - p^2)(4 + p^2)$.
Применим формулу к выражению $(4 - p^2)(4 + p^2)$, где $a = 4$, а $b = p^2$:
$(4 - p^2)(4 + p^2) = 4^2 - (p^2)^2 = 16 - p^{2 \cdot 2} = 16 - p^4$.
Теперь умножим результат на $-p^3$:
$-p^3(16 - p^4) = -p^3 \cdot 16 - (-p^3) \cdot p^4 = -16p^3 + p^{3+4} = -16p^3 + p^7$.
Для стандартной записи многочлена расположим члены по убыванию степеней: $p^7 - 16p^3$.
Ответ: $p^7 - 16p^3$.

3. Длина прямоугольника на 7 см больше стороны квадрата, а ширина — на 7 см меньше стороны квадрата. Требуется сравнить площадь прямоугольника с площадью квадрата. Выберите верное утверждение:

1. Площади квадрата и прямоугольника равны

2. Площадь прямоугольника на 49 $ \text{см}^2 $ меньше площади квадрата

3. Площадь прямоугольника на 49 $ \text{см}^2 $ больше площади квадрата

4. Сравнить площади квадрата и прямоугольника нельзя, так как неизвестна длина стороны квадрата

Для решения этой задачи давайте обозначим длину стороны квадрата переменной $a$. Поскольку все стороны квадрата равны, его площадь, обозначим ее $S_{кв}$, вычисляется по формуле:

$S_{кв} = a \times a = a^2$

Теперь определим размеры прямоугольника, исходя из условия задачи.

• Длина прямоугольника на 7 см больше стороны квадрата, следовательно, она равна $(a + 7)$ см.
• Ширина прямоугольника на 7 см меньше стороны квадрата, следовательно, она равна $(a - 7)$ см.

Площадь прямоугольника, обозначим ее $S_{пр}$, равна произведению его длины на ширину:

$S_{пр} = (a + 7) \times (a - 7)$

Это выражение является формулой разности квадратов, которая выглядит так: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$. Применим эту формулу к нашему выражению, где $x=a$ и $y=7$:

$S_{пр} = a^2 - 7^2 = a^2 - 49$

Теперь у нас есть выражения для обеих площадей:

• Площадь квадрата: $S_{кв} = a^2$
• Площадь прямоугольника: $S_{пр} = a^2 - 49$

Сравнивая эти два значения, мы видим, что площадь прямоугольника ровно на 49 см² меньше площади квадрата. Это сравнение не зависит от конкретного значения стороны квадрата $a$ (при условии, что $a > 7$, чтобы ширина прямоугольника была положительным числом).

Таким образом, верным является утверждение под номером 2.

Ответ: 2. Площадь прямоугольника на 49 см² меньше площади квадрата