Страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Каждому месяцу года поставили в соответствие число дней в этом месяце. Укажите все месяцы года, для которых соответствующее число дней меньше 31.

1. Чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить количество дней в каждом месяце года. Условие задачи — найти все месяцы, в которых число дней меньше 31.

Вспомним количество дней для каждого из 12 месяцев:

• Январь: 31 день
• Февраль: 28 дней (в високосный год — 29 дней)
• Март: 31 день
• Апрель: 30 дней
• Май: 31 день
• Июнь: 30 дней
• Июль: 31 день
• Август: 31 день
• Сентябрь: 30 дней
• Октябрь: 31 день
• Ноябрь: 30 дней
• Декабрь: 31 день

Теперь выберем те месяцы, где количество дней строго меньше 31, то есть 30, 29 или 28 дней.

• Февраль: 28 или 29 дней. Оба числа меньше 31. $28 < 31$ и $29 < 31$. Этот месяц подходит.
• Апрель: 30 дней. $30 < 31$. Этот месяц подходит.
• Июнь: 30 дней. $30 < 31$. Этот месяц подходит.
• Сентябрь: 30 дней. $30 < 31$. Этот месяц подходит.
• Ноябрь: 30 дней. $30 < 31$. Этот месяц подходит.

Все остальные месяцы (Январь, Март, Май, Июль, Август, Октябрь, Декабрь) содержат 31 день и не удовлетворяют условию.

Ответ: Февраль, Апрель, Июнь, Сентябрь, Ноябрь.

2. Значение функции равно удвоенному значению аргумента. Для указанных значений аргумента вычислите соответствующие значения функции:

если $x=7$, то $y= \ldots$

если $x=-1,6$, то $y= \ldots$

если $x=4\frac{2}{3}$, то $y= \ldots$

По условию задачи, значение функции ($y$) равно удвоенному значению аргумента ($x$). Это означает, что зависимость между ними можно выразить следующей формулой: $y = 2x$.
Теперь вычислим значения функции для каждого заданного аргумента.

если x=7, то y=
Подставляем в формулу $x=7$:
$y = 2 \cdot 7 = 14$
Ответ: 14

если x=-1,6, то y=
Подставляем в формулу $x=-1,6$:
$y = 2 \cdot (-1,6) = -3,2$
Ответ: -3,2

если x=4 2/3, то y=
Сначала представим смешанное число $4\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби для удобства вычислений:
$x = 4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
Теперь подставляем это значение в формулу и вычисляем:
$y = 2 \cdot \frac{14}{3} = \frac{28}{3}$
Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:
$y = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$
Ответ: $9\frac{1}{3}$

если x=0, то y=
Подставляем в формулу $x=0$:
$y = 2 \cdot 0 = 0$
Ответ: 0

3. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Путь $s$ км, пройденный автомобилем за $t$ ч, зависит от времени движения.

Задайте формулой зависимость $s$ от $t$:

$s = 60t$

Для указанных значений аргумента найдите соответствующие значения функции:

если $t = 2$, то $s = $

если $t = 3$, то $s = $

если $t = 4,5$, то $s = $

Задайте формулой зависимость s от t:

Зависимость пройденного пути $s$ (в километрах) от времени движения $t$ (в часах) при постоянной скорости $v$ выражается формулой $s = v \cdot t$.
По условию, скорость автомобиля $v = 60$ км/ч. Подставим это значение в общую формулу, чтобы получить зависимость $s$ от $t$ для данного случая:
$s = 60 \cdot t$
Ответ: $s = 60t$.

Для указанных значений аргумента найдите соответствующие значения функции:

если t = 2, то s =
Чтобы найти путь, пройденный за 2 часа, подставим значение $t=2$ в выведенную формулу:
$s = 60 \cdot 2 = 120$ км.
Ответ: 120.

если t = 3, то s =
Чтобы найти путь, пройденный за 3 часа, подставим значение $t=3$ в формулу:
$s = 60 \cdot 3 = 180$ км.
Ответ: 180.

если t = 4,5, то s =
Чтобы найти путь, пройденный за 4,5 часа, подставим значение $t=4,5$ в формулу:
$s = 60 \cdot 4,5 = 270$ км.
Ответ: 270.

10. Докажите, что если $a + b = 8$, то $a(a + 6) + b(b + 6) + 2ab = 112$.

Для доказательства данного утверждения необходимо преобразовать левую часть выражения $a(a+6) + b(b+6) + 2ab$, используя предоставленное условие $a+b=8$.

Шаг 1: Раскрытие скобок

Первым делом раскроем скобки в левой части равенства:

$a(a+6) + b(b+6) + 2ab = a^2 + 6a + b^2 + 6b + 2ab$

Шаг 2: Группировка слагаемых

Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить знакомые алгебраические конструкции:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (6a + 6b)$

Шаг 3: Упрощение выражения

Первая группа слагаемых $(a^2 + 2ab + b^2)$ является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом суммы: $(a+b)^2$. Во второй группе $(6a + 6b)$ можно вынести за скобки общий множитель 6. В результате выражение принимает вид:

$(a+b)^2 + 6(a+b)$

Шаг 4: Подстановка и вычисление

Теперь подставим в полученное выражение значение из условия задачи, то есть $a+b=8$:

$(8)^2 + 6(8)$

Выполним арифметические действия:

$64 + 48 = 112$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили 112, что равно значению в правой части. Это доказывает истинность исходного утверждения.

Ответ: что и требовалось доказать.

11. Выделите квадрат двучлена из трёхчлена:

$a^2 + 8a + 27 = a^2 + 8a + 64 - 64 + 27 = (a + 8)^2 - 37$

а) $p^2 - 16p + 65 = $

б) $9a^2 + 12ab + 16b^2 = $

в) $225p^2 - 30p + 2 = $

Метод выделения полного квадрата заключается в преобразовании трёхчлена к виду $(x \pm y)^2 + c$, используя формулы сокращённого умножения: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

а) $p^2 - 16p + 65$

Для выделения квадрата двучлена из данного трёхчлена, мы будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении $p^2 - 16p + 65$, первый член $p^2$ соответствует $x^2$, значит $x=p$.

Удвоенное произведение $2xy$ соответствует члену $16p$. Таким образом, $2 \cdot p \cdot y = 16p$. Отсюда находим $y$: $y = \frac{16p}{2p} = 8$.

Чтобы получить полный квадрат, нам нужен член $y^2$, который равен $8^2 = 64$.

Представим исходный трёхчлен, добавив и вычтя 64, чтобы не изменить его значение:

$p^2 - 16p + 65 = p^2 - 16p + 64 - 64 + 65$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

$(p^2 - 16p + 64) - 64 + 65$

Выражение в скобках является квадратом разности $(p-8)^2$. Выполним оставшиеся вычисления:

$(p-8)^2 + 1$

Ответ: $(p-8)^2 + 1$

б) $9a^2 + 12ab + 16b^2$

В этом случае мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $9a^2$ можно представить как $(3a)^2$. Значит, $x=3a$.

Второй член, $12ab$, является удвоенным произведением $2xy$. Подставим $x=3a$: $2 \cdot (3a) \cdot y = 12ab$, что даёт $6ay = 12ab$. Отсюда находим $y = \frac{12ab}{6a} = 2b$.

Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Добавим и вычтем $4b^2$ в исходном выражении:

$9a^2 + 12ab + 16b^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2 - 4b^2 + 16b^2$

Сгруппируем первые три члена:

$(9a^2 + 12ab + 4b^2) - 4b^2 + 16b^2$

Выражение в скобках является квадратом суммы $(3a+2b)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(3a+2b)^2 + 12b^2$

Ответ: $(3a+2b)^2 + 12b^2$

в) $225p^2 - 30p + 2$

Здесь мы снова используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $225p^2$ равен $(15p)^2$. Значит, $x=15p$.

Второй член $30p$ является удвоенным произведением $2xy$. Следовательно, $2 \cdot (15p) \cdot y = 30p$, что даёт $30py = 30p$. Отсюда $y = \frac{30p}{30p} = 1$.

Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 1^2 = 1$.

Добавим и вычтем 1 в исходном выражении:

$225p^2 - 30p + 2 = 225p^2 - 30p + 1 - 1 + 2$

Сгруппируем первые три члена:

$(225p^2 - 30p + 1) - 1 + 2$

Выражение в скобках является квадратом разности $(15p-1)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(15p-1)^2 + 1$

Ответ: $(15p-1)^2 + 1$

12. Верно ли, что при любом значении переменной:

а) трёхчлен $4p - 4p^2 - 8$ принимает отрицательное значение;

б) трёхчлен $9m^2 + 100 - 60m$ принимает положительное значение?

а)

Чтобы определить, верно ли, что трёхчлен $4p - 4p^2 - 8$ принимает отрицательное значение при любом значении переменной $p$, преобразуем данное выражение.

Рассмотрим выражение $-4p^2 + 4p - 8$. Это квадратичная функция относительно $p$. Для анализа её знака выделим полный квадрат.

Вынесем за скобки коэффициент при $p^2$, равный $-4$:
$-4p^2 + 4p - 8 = -4(p^2 - p + 2)$.

Теперь выделим полный квадрат в выражении $p^2 - p + 2$. Для этого представим $-p$ как $-2 \cdot p \cdot \frac{1}{2}$ и добавим и вычтем $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:
$p^2 - p + 2 = (p^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 2 = (p - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$.

Подставим полученное выражение обратно:
$-4(p^2 - p + 2) = -4 \left( (p - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} \right) = -4(p - \frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{7}{4} = -4(p - \frac{1}{2})^2 - 7$.

Проанализируем знак полученного выражения $-4(p - \frac{1}{2})^2 - 7$.

Выражение $(p - \frac{1}{2})^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(p - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ при любом $p$.

При умножении на $-4$ получаем, что $-4(p - \frac{1}{2})^2$ всегда неположительно, то есть $-4(p - \frac{1}{2})^2 \le 0$.

Вычитая из неположительного числа 7, мы получим число, которое всегда меньше или равно $-7$. То есть, $-4(p - \frac{1}{2})^2 - 7 \le -7$.

Поскольку максимальное значение выражения равно $-7$ (которое является отрицательным числом), то при всех значениях $p$ выражение $4p - 4p^2 - 8$ принимает отрицательное значение.
Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б)

Чтобы определить, верно ли, что трёхчлен $9m^2 + 100 - 60m$ принимает положительное значение при любом значении переменной $m$, преобразуем данное выражение.

Расположим члены в порядке убывания степеней: $9m^2 - 60m + 100$.

Заметим, что это выражение является полным квадратом разности. Используем формулу сокращённого умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a^2 = 9m^2 = (3m)^2$, а $b^2 = 100 = 10^2$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (3m) \cdot 10 = 60m$.

Таким образом, выражение можно свернуть в полный квадрат:
$9m^2 - 60m + 100 = (3m - 10)^2$.

Проанализируем знак полученного выражения $(3m - 10)^2$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $(3m - 10)^2 \ge 0$ при любом значении $m$.

Однако, вопрос ставится о том, всегда ли значение выражения положительно (то есть строго больше нуля). Выражение равно нулю, если $3m - 10 = 0$. Это происходит при $3m = 10$, или $m = \frac{10}{3}$.

Поскольку существует значение переменной $m = \frac{10}{3}$, при котором трёхчлен равен нулю, а не положительному числу, то утверждение, что он принимает положительное значение при любом значении переменной, неверно.

Ответ: нет, неверно.

13. Известно, что $a+b=p$ и $ab=q$. Выразите через $p$ и $q$:

a) $a^2 + b^2$:

б) $(a-b)^2$:

а) $a^2+b^2$:

Чтобы выразить $a^2+b^2$ через $p$ и $q$, мы можем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Из этой формулы выразим искомую сумму квадратов:

$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

По условию задачи нам известно, что $a+b=p$ и $ab=q$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$a^2+b^2 = p^2 - 2q$

Ответ: $p^2 - 2q$

б) $(a-b)^2$:

Для нахождения $(a-b)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Это выражение можно преобразовать, чтобы использовать известные нам величины. Свяжем квадрат разности с квадратом суммы. Для этого прибавим и вычтем $2ab$:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab$

Заметим, что выражение в скобках является квадратом суммы: $(a^2 + 2ab + b^2) = (a+b)^2$. Тогда получаем:

$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$

Теперь подставим известные значения $a+b=p$ и $ab=q$:

$(a-b)^2 = p^2 - 4q$

Ответ: $p^2 - 4q$