Страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

14. Функция задана формулой $y=|x-2|+6$. Заполните таблицу:

$y=|-5-2|+6=|-7|+6=7+6=13$

Чтобы заполнить таблицу, нужно для каждого значения x из верхней строки вычислить соответствующее значение y, подставив x в формулу функции $y = |x - 2| + 6$.

Для x = -5 (это значение уже вычислено в примере):

$y = |-5 - 2| + 6 = |-7| + 6 = 7 + 6 = 13$
Ответ: 13

Для x = -3,5:

$y = |-3,5 - 2| + 6 = |-5,5| + 6 = 5,5 + 6 = 11,5$
Ответ: 11,5

Для x = -1:

$y = |-1 - 2| + 6 = |-3| + 6 = 3 + 6 = 9$
Ответ: 9

Для x = 0:

$y = |0 - 2| + 6 = |-2| + 6 = 2 + 6 = 8$
Ответ: 8

Для x = 4:

$y = |4 - 2| + 6 = |2| + 6 = 2 + 6 = 8$
Ответ: 8

Для x = 8:

$y = |8 - 2| + 6 = |6| + 6 = 6 + 6 = 12$
Ответ: 12

Внесем полученные значения в таблицу:

15. В таблице указаны значения аргумента и соответствующие значения функции:

Из данных формул выберите ту, которая задаёт эту функцию.

1. $y=3x+7$

2. $y=x^2-1$

3. $y=|x|-1$

4. $y=x^3-2$

Для того чтобы выбрать правильную формулу, нужно подставить значения аргумента $x$ из таблицы в каждую из предложенных формул и проверить, совпадают ли полученные значения функции $y$ с соответствующими значениями в таблице. Правильная формула должна быть верна для всех пар значений.

1. $y = 3x + 7$

Проверим первую точку из таблицы: $(x=-2, y=1)$.
Подставляем $x=-2$: $y = 3 \cdot (-2) + 7 = -6 + 7 = 1$. Значение совпадает.
Проверим вторую точку: $(x=-1, y=0)$.
Подставляем $x=-1$: $y = 3 \cdot (-1) + 7 = -3 + 7 = 4$.
Полученное значение $y=4$ не совпадает со значением в таблице $y=0$. Следовательно, эта формула не подходит.
Ответ: не подходит.

2. $y = x^2 - 1$

Проверим первую точку: $(x=-2, y=1)$.
Подставляем $x=-2$: $y = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
Полученное значение $y=3$ не совпадает со значением в таблице $y=1$. Следовательно, эта формула не подходит.
Ответ: не подходит.

3. $y = |x| - 1$

Проверим последовательно все точки из таблицы:
- При $x=-2$: $y = |-2| - 1 = 2 - 1 = 1$. Совпадает.
- При $x=-1$: $y = |-1| - 1 = 1 - 1 = 0$. Совпадает.
- При $x=0$: $y = |0| - 1 = 0 - 1 = -1$. Совпадает.
- При $x=1$: $y = |1| - 1 = 1 - 1 = 0$. Совпадает.
- При $x=3$: $y = |3| - 1 = 3 - 1 = 2$. Совпадает.
- При $x=5$: $y = |5| - 1 = 5 - 1 = 4$. Совпадает.
Все значения, полученные по формуле, совпадают со значениями в таблице. Следовательно, это искомая формула.
Ответ: подходит.

4. $y = x^3 - 2$

Проверим первую точку: $(x=-2, y=1)$.
Подставляем $x=-2$: $y = (-2)^3 - 2 = -8 - 2 = -10$.
Полученное значение $y=-10$ не совпадает со значением в таблице $y=1$. Следовательно, эта формула не подходит.
Ответ: не подходит.

Таким образом, единственная формула, которая задаёт данную функцию, это $y = |x| - 1$.

16. Функция задана формулой $y = 4x + a$. Заполните таблицу, вы-числив предварительно значение $a$:

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо сначала вычислить значение параметра a для функции, заданной формулой $y = 4x + a$.

Из таблицы известно, что при $x = 5$ значение функции $y = 23$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти a:

$23 = 4 \cdot 5 + a$

$23 = 20 + a$

$a = 23 - 20$

$a = 3$

Теперь, когда известно значение $a$, формула функции принимает вид: $y = 4x + 3$. Используя эту формулу, вычислим все недостающие значения.

При x = -6,1:

Подставляем $x = -6,1$ в формулу $y = 4x + 3$:

$y = 4 \cdot (-6,1) + 3 = -24,4 + 3 = -21,4$

Ответ: -21,4.

При y = 0,6:

Подставляем $y = 0,6$ в формулу и находим x:

$0,6 = 4x + 3$

$4x = 0,6 - 3$

$4x = -2,4$

$x = \frac{-2,4}{4} = -0,6$

Ответ: -0,6.

При x = 0:

Подставляем $x = 0$ в формулу:

$y = 4 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$

Ответ: 3.

При x = 1,2:

Подставляем $x = 1,2$ в формулу:

$y = 4 \cdot 1,2 + 3 = 4,8 + 3 = 7,8$

Ответ: 7,8.

При x = 4,3:

Подставляем $x = 4,3$ в формулу:

$y = 4 \cdot 4,3 + 3 = 17,2 + 3 = 20,2$

Ответ: 20,2.

При y = 27:

Подставляем $y = 27$ в формулу и находим x:

$27 = 4x + 3$

$4x = 27 - 3$

$4x = 24$

$x = \frac{24}{4} = 6$

Ответ: 6.

Заполненная таблица:

4. Разложите на множители:

a) $16a^4 - b^4 = (4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2) = $

б) $\frac{1}{81}x^4 - 0.01y^4 = $

Исходное выражение $16a^4 - b^4$ представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $(4a^2)^2 - (b^2)^2$.

Для разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x = 4a^2$ и $y = b^2$.

$16a^4 - b^4 = (4a^2)^2 - (b^2)^2 = (4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$

Теперь обратим внимание на первый множитель $(4a^2 - b^2)$. Он также является разностью квадратов: $(2a)^2 - b^2$. Применим ту же формулу еще раз, где $x = 2a$ и $y = b$:

$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$

Второй множитель, $(4a^2 + b^2)$, является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Объединив полученные результаты, мы получаем окончательное разложение исходного выражения:

$(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2)$

Ответ: $(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2)$

Рассмотрим выражение $\frac{1}{81}x^4 - 0,01y^4$.

Для удобства преобразуем десятичную дробь $0,01$ в обыкновенную: $0,01 = \frac{1}{100}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{1}{81}x^4 - \frac{1}{100}y^4$.

Это выражение является разностью квадратов. Представим каждый его член в виде квадрата:

$\frac{1}{81}x^4 = (\frac{1}{9}x^2)^2$

$\frac{1}{100}y^4 = (\frac{1}{10}y^2)^2$

Таким образом, мы получили выражение $(\frac{1}{9}x^2)^2 - (\frac{1}{10}y^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = \frac{1}{9}x^2$ и $B = \frac{1}{10}y^2$:

$(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{10}y^2)(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{10}y^2)$

Рассмотрим полученные множители. Второй множитель $(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{10}y^2)$ — это сумма квадратов, которая не раскладывается на множители. Первый множитель $(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{10}y^2)$ является разностью выражений $(\frac{1}{3}x)^2$ и $(\frac{y}{\sqrt{10}})^2$. Поскольку $\sqrt{10}$ является иррациональным числом, дальнейшее разложение на множители с рациональными коэффициентами невозможно. Поэтому полученное выражение является окончательным ответом.

Ответ: $(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{10}y^2)(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{10}y^2)$

5. Зная, что площадь круга вычисляется по формуле $S=\pi R^2$, где $R$ — радиус круга, $\pi \approx 3,14$, найдите площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов $R$ и $r$, если известно, что $R=22,5$ см, $r=12,5$ см.

Решение.

Решение.

Площадь кольца ($S_{кольца}$) вычисляется как разность площадей большего круга, ограниченного окружностью радиуса $R$, и меньшего круга, ограниченного окружностью радиуса $r$.

Площадь большего круга ($S_R$) вычисляется по формуле $S_R = \pi R^2$.
Площадь меньшего круга ($S_r$) вычисляется по формуле $S_r = \pi r^2$.

Таким образом, формула для нахождения площади кольца имеет вид:
$S_{кольца} = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2$

Для удобства вычислений вынесем общий множитель $\pi$ за скобки:
$S_{кольца} = \pi (R^2 - r^2)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, чтобы еще больше упростить вычисления:
$S_{кольца} = \pi (R-r)(R+r)$

Подставим в полученную формулу значения из условия задачи: $R = 22,5$ см, $r = 12,5$ см и $\pi \approx 3,14$.
$S_{кольца} \approx 3,14 \cdot (22,5 - 12,5) \cdot (22,5 + 12,5)$

Сначала выполним действия в скобках:
$R - r = 22,5 - 12,5 = 10$ см
$R + r = 22,5 + 12,5 = 35$ см

Теперь подставим эти результаты в формулу и найдем площадь:
$S_{кольца} \approx 3,14 \cdot 10 \cdot 35 = 3,14 \cdot 350 = 1099$ см².

Ответ: $1099$ см².

6. Докажите, что при любом натуральном n:

a) значение выражения $(n+13)^2 - (n-12)^2$ кратно 25;

б) значение выражения $(4n+1)^2 - (4n-3)^2$ кратно 8.

а) Для того чтобы доказать, что значение выражения $(n+13)^2 - (n-12)^2$ кратно 25 при любом натуральном $n$, мы воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к данному выражению, где $a = n+13$ и $b = n-12$:

$(n+13)^2 - (n-12)^2 = ((n+13) - (n-12)) \cdot ((n+13) + (n-12))$

Теперь упростим каждый из множителей в правой части равенства:

Первый множитель: $(n+13) - (n-12) = n + 13 - n + 12 = 25$.

Второй множитель: $(n+13) + (n-12) = n + 13 + n - 12 = 2n + 1$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$25 \cdot (2n+1)$

Поскольку $n$ — это любое натуральное число, то $2n+1$ является целым числом. Произведение числа 25 на любое целое число всегда будет делиться на 25 без остатка. Следовательно, значение выражения кратно 25.

Ответ: Значение выражения равно $25(2n+1)$, поэтому оно кратно 25 при любом натуральном $n$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(4n+1)^2 - (4n-3)^2$ кратно 8, мы снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В этом случае $a = 4n+1$ и $b = 4n-3$. Применим формулу:

$(4n+1)^2 - (4n-3)^2 = ((4n+1) - (4n-3)) \cdot ((4n+1) + (4n-3))$

Упростим каждый из множителей:

Первый множитель: $(4n+1) - (4n-3) = 4n + 1 - 4n + 3 = 4$.

Второй множитель: $(4n+1) + (4n-3) = 4n + 1 + 4n - 3 = 8n - 2$.

Теперь наше выражение имеет вид:

$4 \cdot (8n - 2)$

Вынесем общий множитель 2 из второго выражения в скобках:

$4 \cdot 2(4n - 1) = 8(4n - 1)$

Так как $n$ — натуральное число, то $4n-1$ также является целым числом. Произведение числа 8 на любое целое число всегда кратно 8. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно $8(4n-1)$, поэтому оно кратно 8 при любом натуральном $n$.