Страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Дан график зависимости тормозного пути автомобиля от скорости его движения на сухом асфальте (OA) и на мокром асфальте (OB). На сколько метров тормозной путь на мокром асфальте больше, чем на сухом, при скорости:

a) 40 км/ч;

б) 80 км/ч?

Ответ:

a) б) $s, \text{M}$

$v, \text{км/ч}$

Для решения задачи необходимо определить по графику тормозной путь для каждого типа покрытия (сухого и мокрого асфальта) при заданных скоростях и найти их разницу.

Сначала определим цену деления осей графика:
Ось скорости $v$ (горизонтальная): между отметками 0 и 20 км/ч одно большое деление. Между отметками 20 км/ч и 60 км/ч два больших деления. Значит, цена одного деления составляет $(60 - 20) / 2 = 20$ км/ч.
Ось тормозного пути $s$ (вертикальная): между отметками 0 и 20 м одно большое деление. Между отметками 20 м и 60 м два больших деления. Значит, цена одного деления составляет $(60 - 20) / 2 = 20$ м.

а) При скорости $v = 40$ км/ч.

Находим на оси скорости отметку 40 км/ч (это второе деление от начала координат). Проводим от этой точки вертикальную линию до пересечения с графиками ОА (сухой асфальт) и ОВ (мокрый асфальт).

1. Для сухого асфальта (кривая ОА), точка пересечения находится на уровне первого деления по оси пути $s$. Тормозной путь $s_{сух} = 1 \cdot 20 = 20$ м.

2. Для мокрого асфальта (кривая ОВ), точка пересечения находится на уровне второго деления по оси пути $s$. Тормозной путь $s_{мокр} = 2 \cdot 20 = 40$ м.

3. Находим разницу: тормозной путь на мокром асфальте больше, чем на сухом, на величину $\Delta s = s_{мокр} - s_{сух} = 40$ м $- 20$ м $= 20$ м.

Ответ: 20 м.

б) При скорости $v = 80$ км/ч.

Находим на оси скорости отметку 80 км/ч (это четвертое деление от начала координат). Проводим от этой точки вертикальную линию до пересечения с графиками ОА и ОВ.

1. Для сухого асфальта (кривая ОА), точка пересечения находится на уровне четвертого деления по оси пути $s$. Тормозной путь $s_{сух} = 4 \cdot 20 = 80$ м.

2. Для мокрого асфальта (кривая ОВ), точка пересечения находится на уровне седьмого деления по оси пути $s$ (соответствует отметке 140 м). Тормозной путь $s_{мокр} = 7 \cdot 20 = 140$ м.

3. Находим разницу: тормозной путь на мокром асфальте больше, чем на сухом, на величину $\Delta s = s_{мокр} - s_{сух} = 140$ м $- 80$ м $= 60$ м.

Ответ: 60 м.

13. Точка $M(1; -2)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$. Найдите значение k, если:

а) $f(x) = kx - 1;$

б) $f(x) = 3x - k.$

Поскольку точка $M(1; -2)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$, ее координаты удовлетворяют уравнению функции. Это означает, что при $x=1$ значение функции $y$ равно $-2$, то есть $f(1) = -2$. Подставим эти значения в каждое из заданных уравнений, чтобы найти $k$.

а)

Для функции $f(x) = kx - 1$ подставляем $x=1$ и $f(x)=-2$:
$-2 = k \cdot 1 - 1$
$-2 = k - 1$
Выражаем $k$:
$k = -2 + 1$
$k = -1$
Ответ: $-1$.

б)

Для функции $f(x) = 3x - k$ подставляем $x=1$ и $f(x)=-2$:
$-2 = 3 \cdot 1 - k$
$-2 = 3 - k$
Выражаем $k$:
$k = 3 - (-2)$
$k = 3 + 2$
$k = 5$
Ответ: $5$.

14. На рисунке изображён график изменения температуры воздуха $T \text{ }^{\circ}\text{С}$ в течение суток. Заполните таблицу:

Время суток, $t \text{ ч}$ 2 4 7 12 18 20 24

Температура, $T \text{ }^{\circ}\text{С}$ -4 -2 3

$T, \text{ }^{\circ}\text{С}$

$t, \text{ ч}$

Для того чтобы заполнить пустые ячейки в таблице, необходимо для каждого значения времени $t$ (верхняя строка) найти на графике соответствующее значение температуры $T$ (вертикальная ось).

Время суток, $t = 4$ ч
Найдём на горизонтальной оси (оси времени) значение $t = 4$ ч. От этой точки опустимся по вертикальной линии до пересечения с графиком. Затем от точки пересечения проведём горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью (осью температуры). Точка пересечения находится на середине отрезка между $-3$ и $-4$, что соответствует значению $-3.5$. Следовательно, в 4 часа температура была $-3.5^\circ\text{C}$.
Ответ: -3.5

Время суток, $t = 12$ ч
Найдём на горизонтальной оси значение $t = 12$ ч. От этой точки поднимемся по вертикальной линии до пересечения с графиком. От точки пересечения проведём горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью. Линия указывает на значение $2$. Следовательно, в 12 часов температура была $2^\circ\text{C}$.
Ответ: 2

Время суток, $t = 20$ ч
Найдём на горизонтальной оси значение $t = 20$ ч. От этой точки поднимемся по вертикальной линии до пересечения с графиком. От точки пересечения проведём горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью. Линия указывает на значение $1$. Следовательно, в 20 часов температура была $1^\circ\text{C}$.
Ответ: 1

Время суток, $t = 24$ ч
Найдём на горизонтальной оси значение $t = 24$ ч. От этой точки опустимся по вертикальной линии до пересечения с графиком. От точки пересечения проведём горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью. Линия указывает на значение $-1$. Следовательно, в 24 часа температура была $-1^\circ\text{C}$.
Ответ: -1

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Примечание: Некоторые из исходно заполненных значений в таблице (например, температура в 7:00 и 18:00) не соответствуют приведённому графику. Согласно графику, в 7 часов температура составляет $0^\circ\text{C}$ (а не $-2^\circ\text{C}$), а в 18 часов — $2^\circ\text{C}$ (а не $3^\circ\text{C}$). Пустые ячейки были заполнены на основании данных, считанных непосредственно с графика.

2. Представьте в виде многочлена:

$(\frac{1}{5}x^2 + \frac{1}{3}y)(\frac{1}{25}x^4 - \frac{1}{15}x^2y + \frac{1}{9}y^2) = (\frac{1}{5}x^2)^3 + (\frac{1}{3}y)^3 = \frac{1}{125}x^6 + \frac{1}{27}y^3$

а) $(\frac{1}{7}m^6 - \frac{7}{9}n)(\frac{1}{49}m^{12} + \frac{1}{9}m^6n + \frac{49}{81}n^2) = ...$

б) $(0,4a^6 + 0,5b^8)(0,16a^{12} + 0,25b^{16} - 0,2a^6b^8) = ...$

а) Чтобы представить выражение $(\frac{1}{7}m^6 - \frac{7}{9}n)(\frac{1}{49}m^{12} + \frac{1}{9}m^6n + \frac{49}{81}n^2)$ в виде многочлена, необходимо распознать в нем формулу сокращенного умножения, а именно формулу разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.
В данном случае в качестве $x$ выступает $\frac{1}{7}m^6$, а в качестве $y$ — $\frac{7}{9}n$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка выражению $x^2+xy+y^2$:
$x^2 = (\frac{1}{7}m^6)^2 = \frac{1}{49}m^{12}$
$xy = (\frac{1}{7}m^6)(\frac{7}{9}n) = \frac{7}{63}m^6n = \frac{1}{9}m^6n$
$y^2 = (\frac{7}{9}n)^2 = \frac{49}{81}n^2$
Поскольку все члены во второй скобке совпадают, мы можем применить формулу разности кубов.
Результатом будет $x^3 - y^3$:
$(\frac{1}{7}m^6)^3 - (\frac{7}{9}n)^3 = \frac{1^3}{7^3}(m^6)^3 - \frac{7^3}{9^3}n^3 = \frac{1}{343}m^{18} - \frac{343}{729}n^3$.
Ответ: $\frac{1}{343}m^{18} - \frac{343}{729}n^3$.

б) Рассмотрим выражение $(0,4a^6 + 0,5b^8)(0,16a^{12} + 0,25b^{16} - 0,2a^6b^8)$. Для наглядности переставим слагаемые во второй скобке: $(0,4a^6 + 0,5b^8)(0,16a^{12} - 0,2a^6b^8 + 0,25b^{16})$.
Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$.
Здесь $x = 0,4a^6$ и $y = 0,5b^8$.
Проверим, является ли вторая скобка неполным квадратом разности этих выражений:
$x^2 = (0,4a^6)^2 = 0,16a^{12}$
$xy = (0,4a^6)(0,5b^8) = 0,2a^6b^8$
$y^2 = (0,5b^8)^2 = 0,25b^{16}$
Все члены совпадают с формулой $x^2-xy+y^2$. Таким образом, мы можем применить формулу суммы кубов.
Результатом будет $x^3 + y^3$:
$(0,4a^6)^3 + (0,5b^8)^3 = 0,4^3(a^6)^3 + 0,5^3(b^8)^3 = 0,064a^{18} + 0,125b^{24}$.
Ответ: $0,064a^{18} + 0,125b^{24}$.

3. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

а) $x^3 - 8 = $

б) $8a^3 + 1 = $

в) $0,001x^3 - y^3 = $

а) $x^3 - 8$
Чтобы разложить это выражение на множители, его необходимо представить в виде разности кубов. Мы знаем, что $8 = 2^3$. Таким образом, выражение можно переписать в следующем виде: $x^3 - 2^3$.
Теперь применим формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае $a = x$ и $b = 2$. Подставив эти значения в формулу, получаем:
$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Ответ: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

б) $8a^3 + 1$
Представим данное выражение в виде суммы кубов. Слагаемое $8a^3$ можно записать как $(2a)^3$, так как $2^3a^3 = 8a^3$. Число $1$ можно представить как $1^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(2a)^3 + 1^3$.
Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае первый член $a$ равен $2a$, а второй член $b$ равен $1$. Подставляем в формулу:
$(2a)^3 + 1^3 = (2a + 1)((2a)^2 - (2a) \cdot 1 + 1^2) = (2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.
Ответ: $(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.

в) $0.001x^3 - y^3$
Представим выражение в виде разности кубов. Коэффициент $0.001$ является кубом числа $0.1$, так как $0.1^3 = 0.001$. Следовательно, слагаемое $0.001x^3$ можно записать как $(0.1x)^3$. Выражение принимает вид $(0.1x)^3 - y^3$.
Снова применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Здесь $a = 0.1x$ и $b = y$. Подставим эти значения:
$(0.1x)^3 - y^3 = (0.1x - y)((0.1x)^2 + (0.1x) \cdot y + y^2) = (0.1x - y)(0.01x^2 + 0.1xy + y^2)$.
Ответ: $(0.1x - y)(0.01x^2 + 0.1xy + y^2)$.

4. Разложите на множители:

а) $8m^3 - n^3 = $

б) $a^3 + 27b^3 = $

в) $\frac{1}{8}m^3 + \frac{1}{27}n^3 = $

а) Чтобы разложить на множители выражение $8m^3 - n^3$, необходимо применить формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде куба:

$8m^3 = 2^3 \cdot m^3 = (2m)^3$

$n^3 = (n)^3$

Теперь подставим в формулу $x = 2m$ и $y = n$:

$8m^3 - n^3 = (2m)^3 - n^3 = (2m - n)((2m)^2 + (2m)(n) + n^2)$

Упростим полученное выражение:

$(2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$

Ответ: $(2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$.

б) Для разложения выражения $a^3 + 27b^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$a^3 = (a)^3$

$27b^3 = 3^3 \cdot b^3 = (3b)^3$

Подставим в формулу $x = a$ и $y = 3b$:

$a^3 + 27b^3 = a^3 + (3b)^3 = (a + 3b)(a^2 - a(3b) + (3b)^2)$

Упростим выражение:

$(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$

Ответ: $(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$.

в) Для разложения выражения $\frac{1}{8}m^3 + \frac{1}{27}n^3$ также применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$\frac{1}{8}m^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot m^3 = (\frac{1}{2}m)^3$

$\frac{1}{27}n^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot n^3 = (\frac{1}{3}n)^3$

Подставим в формулу $x = \frac{1}{2}m$ и $y = \frac{1}{3}n$:

$\frac{1}{8}m^3 + \frac{1}{27}n^3 = (\frac{1}{2}m)^3 + (\frac{1}{3}n)^3 = (\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)((\frac{1}{2}m)^2 - (\frac{1}{2}m)(\frac{1}{3}n) + (\frac{1}{3}n)^2)$

Упростим полученное выражение:

$(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)(\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{6}mn + \frac{1}{9}n^2)$

Ответ: $(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)(\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{6}mn + \frac{1}{9}n^2)$.

5. Найдите значение дроби:

а) $\frac{9^3 - 7^3}{0,4} =$

б) $\frac{15^3 + 12^3}{162} =$

а) $\frac{9^3 - 7^3}{0,4}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Применим эту формулу к числителю дроби, где $a=9$ и $b=7$:

$9^3 - 7^3 = (9-7)(9^2 + 9 \cdot 7 + 7^2) = 2 \cdot (81 + 63 + 49) = 2 \cdot 193 = 386$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{386}{0,4}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{386 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{3860}{4} = 965$.

Ответ: 965

б) $\frac{15^3 + 12^3}{162}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Применим эту формулу к числителю дроби, где $a=15$ и $b=12$:

$15^3 + 12^3 = (15+12)(15^2 - 15 \cdot 12 + 12^2) = 27 \cdot (225 - 180 + 144) = 27 \cdot (45 + 144) = 27 \cdot 189$.

Теперь подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{27 \cdot 189}{162}$

Заметим, что знаменатель $162$ можно представить как $6 \cdot 27$. Это позволяет сократить дробь:

$\frac{27 \cdot 189}{6 \cdot 27} = \frac{189}{6}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{189}{6} = 31,5$.

Ответ: 31,5