Страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

15. На рисунке изображён график изменения объёма газа V (в литрах) в зависимости от изменения соответствующего давления p (в атмосферах).

Найдите по графику:

а) значения V при $p = 2; 4; 8; 12$;

б) значения p при $V = 3; 4; 8; 20$.

Ответ: а) ....................

б) ....................

На графике показана зависимость объема газа $V$ от давления $p$. Для нахождения значений по графику сначала определим цену деления каждой оси.

По горизонтальной оси (давление $p$ в атмосферах, атм) 5 больших клеток соответствуют 5 единицам (от 0 до 5, от 5 до 10 и т.д.). Каждая большая клетка разделена на 5 маленьких клеток. Таким образом, одна маленькая клетка по оси $p$ соответствует $5 \text{ атм} / 5 = 1$ атм.

По вертикальной оси (объем $V$ в литрах, л) 5 больших клеток соответствуют 5 единицам (от 0 до 5, от 5 до 10 и т.д.). Каждая большая клетка разделена на 5 маленьких клеток. Таким образом, одна маленькая клетка по оси $V$ соответствует $5 \text{ л} / 5 = 1$ л.

График является гиперболой, что соответствует обратно пропорциональной зависимости, описываемой уравнением $p \cdot V = k$, где $k$ - константа. Найдем эту константу по точке на графике с легко читаемыми координатами, например, $p=4$ атм и $V=10$ л.
$k = p \cdot V = 4 \cdot 10 = 40$.
Таким образом, зависимость описывается формулой $p \cdot V = 40$. Эту формулу можно использовать для проверки точности считывания данных с графика.

а) значения V при p = 2; 4; 8; 12;
- При $p = 2$ атм: находим значение 2 на горизонтальной оси, движемся вверх до пересечения с графиком, затем горизонтально влево до пересечения с вертикальной осью. Получаем $V = 20$ л. Проверка по формуле: $V = 40 / 2 = 20$.
- При $p = 4$ атм: аналогично, для $p = 4$ атм находим по графику $V = 10$ л. Проверка по формуле: $V = 40 / 4 = 10$.
- При $p = 8$ атм: для $p = 8$ атм находим по графику $V = 5$ л. Проверка по формуле: $V = 40 / 8 = 5$.
- При $p = 12$ атм: для $p = 12$ атм точка на графике лежит между значениями $V=3$ и $V=4$. Для точного значения используем формулу: $V = 40 / 12 = 10 / 3 \approx 3.33$ л.
Ответ: при $p=2$ атм, $V=20$ л; при $p=4$ атм, $V=10$ л; при $p=8$ атм, $V=5$ л; при $p=12$ атм, $V \approx 3,3$ л.

б) значения p при V = 3; 4; 8; 20.
- При $V = 3$ л: находим значение 3 на вертикальной оси, движемся вправо до пересечения с графиком, затем вертикально вниз до пересечения с горизонтальной осью. Точка лежит между $p=13$ и $p=14$. По формуле: $p = 40 / 3 \approx 13.33$ атм.
- При $V = 4$ л: для $V=4$ л находим по графику $p = 10$ атм. Проверка по формуле: $p = 40 / 4 = 10$.
- При $V = 8$ л: для $V=8$ л находим по графику $p = 5$ атм. Проверка по формуле: $p = 40 / 8 = 5$.
- При $V = 20$ л: для $V=20$ л находим по графику $p = 2$ атм. Проверка по формуле: $p = 40 / 20 = 2$.
Ответ: при $V=3$ л, $p \approx 13,3$ атм; при $V=4$ л, $p=10$ атм; при $V=8$ л, $p=5$ атм; при $V=20$ л, $p=2$ атм.

16. Дан график движения группы туристов, отправившихся с тур- базы в город. Сначала туристы шли по просёлочной дороге до остановки автобуса, а оставшуюся часть пути проехали на ав- тобусе. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы:

а) сколько времени туристы шли по просёлочной дороге;

б) сколько времени туристы ждали автобус;

в) с какой скоростью они шли по просёлочной дороге; по шоссе?

$S, \text{км}$

$t, \text{ч}$

Ответ: а) ................. б) ................. в)

Для решения задачи проанализируем предоставленный график зависимости пройденного расстояния $S$ (в километрах) от времени $t$ (в часах). График состоит из трёх участков, каждый из которых описывает определённый этап путешествия туристов.

а) сколько времени туристы шли по просёлочной дороге;

Движение туристов по просёлочной дороге соответствует первому наклонному участку графика. Этот участок начинается в начальный момент времени $t=0$ и заканчивается, когда график становится горизонтальным, то есть в момент времени $t=3$ часа. Таким образом, время, которое туристы шли пешком, составляет:
$t_1 = 3 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$.
Ответ: 3 часа.

б) сколько времени туристы ждали автобус;

Период ожидания автобуса на графике представлен горизонтальным участком, так как в это время расстояние не менялось (туристы стояли на месте). Этот участок начинается в момент времени $t=3$ ч и заканчивается в $t=3.5$ ч. Следовательно, время ожидания равно:
$t_{ожидания} = 3.5 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Это составляет половину часа, или 30 минут.
Ответ: 0,5 часа (30 минут).

в) с какой скоростью они шли по просёлочной дороге; по шоссе?

Скорость движения ($v$) на каждом участке можно найти по формуле $v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$, где $\Delta S$ — это пройденное расстояние, а $\Delta t$ — время, затраченное на этот путь.

Скорость по просёлочной дороге:
Этот этап соответствует первому участку (от $t=0$ до $t=3$ ч). За это время туристы прошли расстояние от $S=0$ км до $S=15$ км.
Пройденное расстояние: $\Delta S_1 = 15 \text{ км} - 0 \text{ км} = 15 \text{ км}$.
Затраченное время: $\Delta t_1 = 3 \text{ ч}$.
Скорость движения: $v_{пешком} = \frac{15 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 5 \text{ км/ч}$.

Скорость по шоссе (на автобусе):
Этот этап соответствует третьему участку (от $t=3.5$ до $t=5$ ч). За это время было пройдено расстояние от $S=15$ км до $S=90$ км.
Пройденное расстояние: $\Delta S_2 = 90 \text{ км} - 15 \text{ км} = 75 \text{ км}$.
Затраченное время: $\Delta t_2 = 5 \text{ ч} - 3.5 \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$.
Скорость движения: $v_{автобус} = \frac{75 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость по просёлочной дороге — 5 км/ч, скорость по шоссе — 50 км/ч.

6. Выполните разложение на множители:

$\frac{4}{27}x^3+0,004 = 4\left(\frac{1}{27}x^3+0,001\right)=4\left(\frac{1}{3}x+0,1\right)\left(\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{30}x+0,01\right)$

a) $\frac{3}{8}x^3 - 24y^3 = $

б) $-\frac{7}{64}a^3 + 189 = $

а) $\frac{3}{8}x^3 - 24y^3$

Для разложения на множители данного выражения сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим числовым множителем для $\frac{3}{8}$ и $24$ является $\frac{3}{8}$.

Вынесем $\frac{3}{8}$ за скобки:

$\frac{3}{8}x^3 - 24y^3 = \frac{3}{8}(x^3 - \frac{24}{\frac{3}{8}}y^3) = \frac{3}{8}(x^3 - \frac{24 \cdot 8}{3}y^3) = \frac{3}{8}(x^3 - 64y^3)$

Теперь выражение в скобках $x^3 - 64y^3$ представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В нашем случае $A^3 = x^3$, значит $A = x$.

$B^3 = 64y^3 = (4y)^3$, значит $B = 4y$.

Подставим эти значения в формулу:

$x^3 - (4y)^3 = (x - 4y)(x^2 + x \cdot (4y) + (4y)^2) = (x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$

Возвращая общий множитель $\frac{3}{8}$, получаем окончательное разложение:

$\frac{3}{8}(x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$

Ответ: $\frac{3}{8}(x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$.

б) $-\frac{7}{64}a^3 + 189$

Для удобства переставим слагаемые местами: $189 - \frac{7}{64}a^3$.

Теперь вынесем общий числовой множитель за скобки. Заметим, что $189 = 7 \cdot 27$. Значит, общий множитель - это 7.

Вынесем 7 за скобки:

$189 - \frac{7}{64}a^3 = 7(27 - \frac{1}{64}a^3)$

Выражение в скобках $27 - \frac{1}{64}a^3$ является разностью кубов. Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В данном случае $A^3 = 27 = 3^3$, значит $A = 3$.

$B^3 = \frac{1}{64}a^3 = (\frac{1}{4}a)^3$, значит $B = \frac{1}{4}a$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

$3^3 - (\frac{1}{4}a)^3 = (3 - \frac{1}{4}a)(3^2 + 3 \cdot (\frac{1}{4}a) + (\frac{1}{4}a)^2) = (3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$

Теперь вернем общий множитель 7 и получим итоговое разложение:

$7(3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$

Ответ: $7(3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$.

7. Докажите, что значение выражения:

а) $143^3 + 107^3$ делится на 250;

б) $767^3 - 167^3$ делится на 300.

а) ...................

б) ...................

а)

Для доказательства того, что выражение $143^3 + 107^3$ делится на 250, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 143$ и $b = 107$:

$143^3 + 107^3 = (143 + 107)(143^2 - 143 \cdot 107 + 107^2)$

Вычислим значение первого множителя (суммы в скобках):

$143 + 107 = 250$

Теперь исходное выражение можно представить в виде произведения:

$250 \cdot (143^2 - 143 \cdot 107 + 107^2)$

Поскольку один из множителей равен 250, а второй множитель $(143^2 - 143 \cdot 107 + 107^2)$ является целым числом, то все произведение делится на 250 без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение выражения $143^3 + 107^3$ делится на 250.

б)

Для доказательства того, что выражение $767^3 - 167^3$ делится на 300, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим формулу к нашему выражению, где $a = 767$ и $b = 167$:

$767^3 - 167^3 = (767 - 167)(767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$

Вычислим значение первого множителя (разности в скобках):

$767 - 167 = 600$

Тогда выражение примет вид:

$600 \cdot (767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$

Нам нужно доказать делимость на 300. Представим множитель 600 как $2 \cdot 300$:

$2 \cdot 300 \cdot (767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$

Так как одним из множителей в произведении является число 300, а остальные множители (2 и выражение в скобках) являются целыми числами, то все выражение делится на 300 нацело. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение выражения $767^3 - 167^3$ делится на 300.

8. Выполните разложение двучлена $x^6 - 64$ на множители разными способами.

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = ....................$

$x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 = ....................$

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 =$ Сначала представим выражение как разность квадратов. Для этого используем формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = x^3$ и $b = 8$.
$(x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$.
Теперь каждый из полученных множителей можно разложить дальше. Первый множитель $x^3 - 8$ — это разность кубов ($a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$), а второй $x^3 + 8$ — это сумма кубов ($a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$).
Разложим $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$:
$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.
Разложим $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$:
$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.
Соединив все множители, получаем окончательное разложение:
$(x-2)(x+2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.
Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.

$x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 =$ Теперь представим исходное выражение как разность кубов. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В этом случае $a = x^2$ и $b = 4$.
$(x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)((x^2)^2 + x^2 \cdot 4 + 4^2) = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)$.
Теперь разложим каждый из множителей. Первый множитель $x^2 - 4$ — это разность квадратов:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$.
Второй множитель $x^4 + 4x^2 + 16$ можно разложить методом выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата $(x^2+4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$, прибавив и отняв $4x^2$:
$x^4 + 4x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 4x^2 = (x^2+4)^2 - (2x)^2$.
Теперь мы получили разность квадратов, которую раскладываем по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = x^2+4$ и $b=2x$:
$(x^2+4)^2 - (2x)^2 = (x^2+4-2x)(x^2+4+2x)$.
Соединив все полученные множители, получаем окончательное разложение:
$(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.
Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.

9. Упростите выражение:

a) $(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{7}y^2)(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4) - \frac{1}{343}y^6 =$

б) $(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{144}a^2) + \frac{8}{27}b^3 =$

а)

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{7}y^2\right)\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4\right) - \frac{1}{343}y^6 $.

Произведение первых двух скобок напоминает формулу суммы кубов: $ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 $.

Пусть $ a = \frac{1}{2}x^2 $ и $ b = \frac{1}{7}y^2 $.

Тогда проверим, соответствует ли вторая скобка выражению $ a^2 - ab + b^2 $:

$ a^2 = \left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 = \frac{1}{4}x^4 $

$ ab = \left(\frac{1}{2}x^2\right) \cdot \left(\frac{1}{7}y^2\right) = \frac{1}{14}x^2y^2 $

$ b^2 = \left(\frac{1}{7}y^2\right)^2 = \frac{1}{49}y^4 $

Действительно, вторая скобка $ \left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4\right) $ совпадает с $ (a^2-ab+b^2) $.

Следовательно, произведение первых двух скобок равно $ a^3 + b^3 $.

Вычислим $ a^3 $ и $ b^3 $:

$ a^3 = \left(\frac{1}{2}x^2\right)^3 = \frac{1^3}{2^3}(x^2)^3 = \frac{1}{8}x^6 $

$ b^3 = \left(\frac{1}{7}y^2\right)^3 = \frac{1^3}{7^3}(y^2)^3 = \frac{1}{343}y^6 $

Таким образом, $ \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{7}y^2\right)\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4\right) = \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6 $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6\right) - \frac{1}{343}y^6 = \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6 - \frac{1}{343}y^6 = \frac{1}{8}x^6 $.

Ответ: $ \frac{1}{8}x^6 $

б)

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{144}a^2\right) + \frac{8}{27}b^3 $.

Переупорядочим слагаемые во второй скобке, чтобы привести ее к стандартному виду:

$ \left(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{144}a^2 + \frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2\right) + \frac{8}{27}b^3 $

Произведение первых двух скобок напоминает формулу разности кубов: $ (x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3 $.

Пусть $ x = \frac{1}{12}a $ и $ y = \frac{2}{3}b $.

Тогда проверим, соответствует ли вторая скобка выражению $ x^2 + xy + y^2 $:

$ x^2 = \left(\frac{1}{12}a\right)^2 = \frac{1}{144}a^2 $

$ xy = \left(\frac{1}{12}a\right) \cdot \left(\frac{2}{3}b\right) = \frac{2}{36}ab = \frac{1}{18}ab $

$ y^2 = \left(\frac{2}{3}b\right)^2 = \frac{4}{9}b^2 $

Действительно, вторая скобка $ \left(\frac{1}{144}a^2 + \frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2\right) $ совпадает с $ (x^2+xy+y^2) $.

Следовательно, произведение первых двух скобок равно $ x^3 - y^3 $.

Вычислим $ x^3 $ и $ y^3 $:

$ x^3 = \left(\frac{1}{12}a\right)^3 = \frac{1^3}{12^3}a^3 = \frac{1}{1728}a^3 $

$ y^3 = \left(\frac{2}{3}b\right)^3 = \frac{2^3}{3^3}b^3 = \frac{8}{27}b^3 $

Таким образом, $ \left(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{144}a^2 + \frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2\right) = \frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3 $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3\right) + \frac{8}{27}b^3 = \frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3 + \frac{8}{27}b^3 = \frac{1}{1728}a^3 $.

Ответ: $ \frac{1}{1728}a^3 $