Страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

13. Пересекает ли график функции $y=0.2x$ прямую $AB$, параллельную оси абсцисс и проходящую через точку $C(0; 1000)$?

Ответ: ........................

Для того чтобы определить, пересекаются ли график функции и прямая, нужно найти их общие точки. Если хотя бы одна такая точка существует, то они пересекаются.

Сначала определим уравнение прямой AB. По условию, прямая AB параллельна оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что все точки на этой прямой имеют одинаковую ординату (координату y). Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — константа.

Нам известно, что прямая AB проходит через точку C(0; 1000). Подставив координаты этой точки в уравнение прямой, мы найдем значение константы $c$. Так как ордината точки C равна 1000, то уравнение прямой AB будет $y = 1000$.

Теперь нам нужно выяснить, есть ли у графика функции $y = 0,2x$ и прямой $y = 1000$ общие точки. Для этого решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} y = 0,2x \\ y = 1000\end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:
$0,2x = 1000$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$:
$x = \frac{1000}{0,2}$
$x = 5000$

Мы получили конкретное значение $x = 5000$. Это означает, что существует точка с координатами (5000; 1000), которая принадлежит как графику функции $y=0,2x$, так и прямой AB. Следовательно, график функции и прямая пересекаются.

Ответ: да, пересекает.

14. Мотоциклист едет по шоссе со скоростью 40 км/ч. За $t$ ч он проезжает $s$ км. Задайте формулой зависимость $s$ от $t$: $s = 40t$.

Заполните таблицу:

Задайте формулой зависимость s от t:

Основная формула, связывающая расстояние, скорость и время, выглядит так: расстояние равно произведению скорости на время. В виде математической формулы это записывается как $s = v \cdot t$, где $s$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

Согласно условию задачи, скорость мотоциклиста $v$ постоянна и равна 40 км/ч. Подставим это значение в общую формулу:

$s = 40 \cdot t$

Эта формула и выражает зависимость пройденного расстояния $s$ (в километрах) от времени в пути $t$ (в часах).

Ответ: $s = 40t$

Заполните таблицу:

Чтобы заполнить пустые ячейки в таблице, нужно использовать полученную формулу $s = 40t$. В таблице даны значения расстояния $s$, а найти нужно соответствующие значения времени $t$. Для этого выразим $t$ из формулы:

$t = \frac{s}{40}$

Теперь последовательно рассчитаем значения $t$ для каждого заданного $s$:

• Если $s = 80$ км, то $t = \frac{80}{40} = 2$ ч.
• Если $s = 100$ км, то $t = \frac{100}{40} = 2,5$ ч.
• Если $s = 120$ км, то $t = \frac{120}{40} = 3$ ч.
• Если $s = 140$ км, то $t = \frac{140}{40} = 3,5$ ч.
• Если $s = 200$ км, то $t = \frac{200}{40} = 5$ ч.

Теперь можно заполнить всю таблицу:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

15. Принадлежит ли графику функции, изображённому на рисунке, точка:

а) A(-6; 18);

б) B(-6; 12);

в) C(6; -18);

г) D(0,5; -1,5)?

Ответ:

а) ......................

б) ......................

в) ......................

г) ......................

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, изображённому на рисунке, сначала необходимо найти уравнение этой функции. На рисунке изображена прямая, общее уравнение которой имеет вид $y = kx + b$.

Найдём коэффициенты $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член) по точкам на графике.
1. Прямая пересекает ось ординат ($y$) в точке $(0; 1)$. Это означает, что свободный член $b = 1$.
2. Для нахождения углового коэффициента $k$ возьмём ещё одну точку, через которую точно проходит прямая, например, точку $(-1; 4)$. Коэффициент $k$ можно вычислить по формуле:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Используя точки $(0; 1)$ и $(-1; 4)$, получаем:
$k = \frac{4 - 1}{-1 - 0} = \frac{3}{-1} = -3$.

Таким образом, уравнение функции, график которой изображён на рисунке: $y = -3x + 1$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли координаты каждой из данных точек этому уравнению. Для этого будем подставлять абсциссу ($x$) каждой точки в уравнение и сравнивать полученное значение с ординатой ($y$) точки.

а) Проверяем точку $A(-6; 18)$.
Подставляем $x = -6$ в уравнение функции:
$y = -3 \cdot (-6) + 1 = 18 + 1 = 19$.
Полученное значение $y=19$ не совпадает с ординатой точки $A$, которая равна $18$. Следовательно, точка не принадлежит графику.
Ответ: нет.

б) Проверяем точку $B(-6; 12)$.
Подставляем $x = -6$ в уравнение функции:
$y = -3 \cdot (-6) + 1 = 18 + 1 = 19$.
Полученное значение $y=19$ не совпадает с ординатой точки $B$, которая равна $12$. Следовательно, точка не принадлежит графику.
Ответ: нет.

в) Проверяем точку $C(6; -18)$.
Подставляем $x = 6$ в уравнение функции:
$y = -3 \cdot 6 + 1 = -18 + 1 = -17$.
Полученное значение $y=-17$ не совпадает с ординатой точки $C$, которая равна $-18$. Следовательно, точка не принадлежит графику.
Ответ: нет.

г) Проверяем точку $D(0,5; -1,5)$.
Подставляем $x = 0,5$ в уравнение функции:
$y = -3 \cdot 0,5 + 1 = -1,5 + 1 = -0,5$.
Полученное значение $y=-0,5$ не совпадает с ординатой точки $D$, которая равна $-1,5$. Следовательно, точка не принадлежит графику.
Ответ: нет.

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые функция принимает при $-1 \le x \le 3$, если: а) $y=5x$; б) $y=-3x$.

Ответ:

а) наибольшее значение .......; наименьшее значение .......;

б) наибольшее значение .......; наименьшее значение ........

а) Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=5x$ на отрезке $-1 \le x \le 3$, нужно проанализировать её поведение.
Данная функция является линейной. Её угловой коэффициент $k=5$. Поскольку коэффициент $k$ положительный ($k > 0$), функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения, включая заданный отрезок.
Это означает, что наименьшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента $x$, а наибольшее значение — при наибольшем значении $x$.
Найдём наименьшее значение функции, подставив $x = -1$:
$y_{наим} = 5 \cdot (-1) = -5$.
Найдём наибольшее значение функции, подставив $x = 3$:
$y_{наиб} = 5 \cdot 3 = 15$.
Ответ: наибольшее значение 15; наименьшее значение -5.

б) Теперь найдём наибольшее и наименьшее значения для функции $y=-3x$ на том же отрезке $-1 \le x \le 3$.
Эта функция также является линейной. Её угловой коэффициент $k=-3$. Поскольку коэффициент $k$ отрицательный ($k < 0$), функция является монотонно убывающей.
Это означает, что наименьшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента $x$, а наибольшее значение — при наименьшем значении $x$.
Найдём наибольшее значение функции, подставив $x = -1$:
$y_{наиб} = -3 \cdot (-1) = 3$.
Найдём наименьшее значение функции, подставив $x = 3$:
$y_{наим} = -3 \cdot 3 = -9$.
Ответ: наибольшее значение 3; наименьшее значение -9.

17. На рисунке изображены графики двух функций. Задайте каждую из них формулой.

OA: $y=3x$

OB: $y=\frac{1}{4}x$

Укажите какое-либо значение коэффициента $k$, при котором график функции $y=kx$ расположен внутри острых углов, образованных этими прямыми.

Ответ: $k = 1$

OA:

График функции OA является прямой, проходящей через начало координат (точку $O(0,0)$), поэтому ее уравнение имеет общий вид $y = kx$. Для нахождения углового коэффициента $k$ выберем на графике точку, принадлежащую этой прямой, например, точку с координатами $(1, 3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой: $3 = k \cdot 1$. Отсюда находим, что $k = 3$. Следовательно, формула для прямой OA: $y = 3x$.

Ответ: $y = 3x$

OB:

График функции OB также является прямой, проходящей через начало координат, и ее уравнение также имеет вид $y = kx$. Выберем на графике точку, принадлежащую этой прямой, например, точку с координатами $(4, 2)$. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой: $2 = k \cdot 4$. Отсюда находим, что $k = \frac{2}{4} = 0.5$. Следовательно, формула для прямой OB: $y = 0.5x$.

Ответ: $y = 0.5x$

Укажите какое-либо значение коэффициента k, при котором график функции y=kx расположен внутри острых углов, образованных этими прямыми.

Прямые OA ($y=3x$) и OB ($y=0.5x$) проходят через начало координат и имеют положительные угловые коэффициенты $k_{OA} = 3$ и $k_{OB} = 0.5$. Острые углы, образованные этими прямыми, находятся в первом и третьем координатных квадрантах и заключены между ними. График функции $y=kx$ также является прямой, проходящей через начало координат, с угловым коэффициентом $k$. Чтобы эта прямая располагалась внутри острого угла, образованного прямыми OA и OB, ее угловой коэффициент $k$ должен быть больше углового коэффициента прямой OB и меньше углового коэффициента прямой OA. Таким образом, должно выполняться двойное неравенство: $k_{OB} < k < k_{OA}$. Подставив найденные значения, получаем: $0.5 < k < 3$. Необходимо указать любое значение $k$ из этого интервала. Например, можно выбрать $k=2$.

Ответ: $k = 2$

7. Найдите значение выражения $(c+3)(c^2-3c+1) - c(c^2+9)$ при $c=-11$

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Исходное выражение: $(c+3)(c^2-3c+1) - c(c^2+9)$.

1. Раскрытие скобок и упрощение

Сначала раскроем скобки в произведении $(c+3)(c^2-3c+1)$, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(c+3)(c^2-3c+1) = c \cdot (c^2-3c+1) + 3 \cdot (c^2-3c+1) = c^3 - 3c^2 + c + 3c^2 - 9c + 3$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$c^3 + (-3c^2 + 3c^2) + (c - 9c) + 3 = c^3 - 8c + 3$

Далее раскроем скобки во второй части выражения $-c(c^2+9)$:

$-c(c^2+9) = -c \cdot c^2 - c \cdot 9 = -c^3 - 9c$

Теперь объединим упрощенные части:

$(c^3 - 8c + 3) + (-c^3 - 9c) = c^3 - 8c + 3 - c^3 - 9c$

Снова приведем подобные слагаемые:

$(c^3 - c^3) + (-8c - 9c) + 3 = 0 - 17c + 3 = -17c + 3$

Таким образом, исходное выражение упрощается до $-17c + 3$.

2. Подстановка значения и вычисление

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $c = -11$:

$-17c + 3 = -17 \cdot (-11) + 3$

Вычислим произведение:

$-17 \cdot (-11) = 187$

Теперь выполним сложение:

$187 + 3 = 190$

Ответ: 190

8. Докажите, что при любом целом $m$ значение выражения

$(m^2 + 1)(m - 1) - (m - 1)^3$

является чётным числом.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $(m^2 + 1)(m - 1) - (m - 1)^3$ является чётным числом при любом целом $m$, необходимо упростить это выражение.

1. Вынесем общий множитель $(m - 1)$ за скобки:

$(m^2 + 1)(m - 1) - (m - 1)^3 = (m - 1) \cdot [(m^2 + 1) - (m - 1)^2]$

2. Раскроем квадрат разности $(m - 1)^2$ по формуле сокращённого умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(m - 1)^2 = m^2 - 2m + 1$

3. Подставим результат в выражение в квадратных скобках и упростим его:

$(m^2 + 1) - (m^2 - 2m + 1) = m^2 + 1 - m^2 + 2m - 1 = (m^2 - m^2) + (1 - 1) + 2m = 2m$

4. Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное преобразованное выражение:

$(m - 1) \cdot (2m) = 2m(m - 1)$

Полученное выражение $2m(m - 1)$ содержит множитель 2. Поскольку по условию $m$ является целым числом, то и $(m-1)$ является целым числом, а их произведение $m(m - 1)$ также является целым числом. Любое целое число, умноженное на 2, является чётным. Следовательно, значение выражения $2m(m - 1)$ всегда будет чётным.

Это также можно доказать, рассмотрев произведение $m(m-1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. В любой паре последовательных целых чисел одно из них обязательно чётное. Произведение чётного числа на любое целое число всегда является чётным. Таким образом, $m(m-1)$ всегда чётно, а $2 \cdot m(m-1)$ будет делиться не только на 2, но и на 4.

Ответ: Исходное выражение $(m^2 + 1)(m - 1) - (m - 1)^3$ после упрощения равно $2m(m - 1)$. Так как $m$ — целое число, то $m(m-1)$ — также целое число. Наличие множителя 2 в итоговом выражении доказывает, что его значение всегда делится на 2 без остатка, то есть является чётным числом при любом целом $m$.

9. Докажите тождество:

$(16x^4 - 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2) = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy).$

Для доказательства тождества необходимо преобразовать обе его части к одному и тому же виду. Однако, предварительная проверка показывает, что в условии задачи, скорее всего, содержится опечатка.

1. Преобразование правой части (ПЧ)

Рассмотрим правую часть равенства:

$ПЧ = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$

Сгруппируем множители, чтобы применить формулы суммы и разности кубов:

$ПЧ = [(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)] \cdot [(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)]$

Первая группа множителей соответствует формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 2x$ и $b = y$:

$(2x + y)((2x)^2 - (2x)y + y^2) = (2x)^3 + y^3 = 8x^3 + y^3$

Вторая группа множителей соответствует формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 2x$ и $b = y$:

$(2x - y)((2x)^2 + (2x)y + y^2) = (2x)^3 - y^3 = 8x^3 - y^3$

Перемножим полученные выражения, используя формулу разности квадратов $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$:

$ПЧ = (8x^3 + y^3)(8x^3 - y^3) = (8x^3)^2 - (y^3)^2 = 64x^6 - y^6$

2. Преобразование левой части (ЛЧ)

Рассмотрим левую часть равенства в её исходном виде:

$ЛЧ = (16x^4 - 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2)$

Раскроем скобки:

$ЛЧ = 16x^4 \cdot 4x^2 - 16x^4 \cdot y^2 - 4x^2y^2 \cdot 4x^2 + 4x^2y^2 \cdot y^2 + y^4 \cdot 4x^2 - y^4 \cdot y^2$

$ЛЧ = 64x^6 - 16x^4y^2 - 16x^4y^2 + 4x^2y^4 + 4x^2y^4 - y^6$

$ЛЧ = 64x^6 - 32x^4y^2 + 8x^2y^4 - y^6$

3. Сравнение и вывод

Сравнивая результаты, мы видим, что $ЛЧ \neq ПЧ$:

$64x^6 - 32x^4y^2 + 8x^2y^4 - y^6 \neq 64x^6 - y^6$

Это означает, что исходное равенство не является тождеством. Наиболее вероятной является опечатка в знаке первого множителя левой части. Докажем исправленное тождество.

4. Доказательство исправленного тождества

Предположим, что тождество должно выглядеть так:

$(16x^4 + 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2) = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$

Правая часть, как мы уже установили, равна $64x^6 - y^6$.

Преобразуем исправленную левую часть, используя формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Пусть $A = 4x^2$ и $B = y^2$. Тогда:

$A - B = 4x^2 - y^2$

$A^2 + AB + B^2 = (4x^2)^2 + (4x^2)(y^2) + (y^2)^2 = 16x^4 + 4x^2y^2 + y^4$

Таким образом, исправленная левая часть равна:

$ЛЧ_{испр} = (A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3 = (4x^2)^3 - (y^2)^3 = 64x^6 - y^6$

Поскольку теперь обе части равны $64x^6 - y^6$, исправленное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством из-за вероятной опечатки в условии. Левая часть равна $64x^6 - 32x^4y^2 + 8x^2y^4 - y^6$, а правая — $64x^6 - y^6$. Если исправить знак в первом множителе левой части на "+", тождество $(16x^4 + 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2) = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$ становится верным, так как обе его части равны $64x^6 - y^6$.