Страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

14. Один из углов треугольника равен $b^\circ$, другой угол — на $40^\circ$ больше, а третий угол равен $a^\circ$. Задайте формулой зависимость $a$ от $b$ (сумма углов треугольника равна $180^\circ$):

$a = 140 - 2b$

Является ли эта зависимость линейной функцией?

Какова область определения этой функции?

Задайте формулой зависимость a от b (сумма углов треугольника равна 180°):

Пусть углы треугольника равны $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$.
Согласно условию задачи, мы имеем следующие значения для углов:
$\angle 1 = b^\circ$
$\angle 2 = (b + 40)^\circ$ (поскольку он на $40^\circ$ больше первого)
$\angle 3 = a^\circ$
Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма всех его внутренних углов равна $180^\circ$. Запишем это в виде уравнения:
$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$
Подставим в уравнение выражения для углов:
$b + (b + 40) + a = 180$
Сложим подобные слагаемые:
$2b + 40 + a = 180$
Теперь выразим $a$ через $b$, перенеся остальные члены в правую часть уравнения:
$a = 180 - 40 - 2b$
$a = 140 - 2b$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $a = 140 - 2b$

Является ли эта зависимость линейной функцией?

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + m$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (функция), а $k$ и $m$ — некоторые числа (коэффициенты).
Полученная нами зависимость $a = 140 - 2b$ может быть записана как $a = -2b + 140$.
Если мы рассматриваем $a$ как функцию от аргумента $b$, то наша формула полностью соответствует определению линейной функции:
- зависимая переменная $y$ — это $a$
- независимая переменная $x$ — это $b$
- угловой коэффициент $k = -2$
- свободный член $m = 140$
Таким образом, эта зависимость является линейной функцией.
Ответ: Да, является.

Какова область определения этой функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента. В нашем случае аргументом является $b$.
Поскольку $a$ и $b$ связаны с углами реального треугольника, каждый угол должен быть положительным (больше $0^\circ$). Это накладывает ограничения на возможные значения $b$.
1. Угол $\angle 1 = b^\circ$ должен быть больше нуля: $b > 0$.
2. Угол $\angle 2 = (b + 40)^\circ$ должен быть больше нуля: $b + 40 > 0$, что дает $b > -40$. Это условие является менее строгим, чем $b > 0$, поэтому мы используем $b > 0$.
3. Угол $\angle 3 = a^\circ$ должен быть больше нуля: $a > 0$. Подставим выражение для $a$:
$140 - 2b > 0$
Перенесем $2b$ в правую часть:
$140 > 2b$
Разделим обе части на 2:
$70 > b$, или $b < 70$.
Мы должны одновременно выполнить два условия для $b$: $b > 0$ и $b < 70$.
Объединив их, мы получаем двойное неравенство: $0 < b < 70$.
Это и есть область определения для данной функции в контексте задачи.
Ответ: $0 < b < 70$ (или в виде интервала $b \in (0; 70)$).

15. Напишите уравнение функции, график которой симметричен графику функции $y = 5x + 8$:

а) относительно оси $y$:

б) относительно оси $x$:

а) относительно оси y:

Чтобы найти уравнение функции, график которой симметричен графику функции $y = f(x)$ относительно оси ординат (оси y), необходимо в исходном уравнении заменить переменную $x$ на $-x$.

Исходное уравнение функции: $y = 5x + 8$.

Выполним замену $x$ на $-x$ в уравнении:

$y = 5(-x) + 8$

После упрощения получаем искомое уравнение:

$y = -5x + 8$

Ответ: $y = -5x + 8$

б) относительно оси x:

Чтобы найти уравнение функции, график которой симметричен графику функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси x), необходимо всю правую часть исходного уравнения умножить на $-1$. Это эквивалентно замене $y$ на $-y$.

Исходное уравнение функции: $y = 5x + 8$.

Умножим правую часть уравнения на $-1$:

$y = -(5x + 8)$

Раскроем скобки и получим искомое уравнение:

$y = -5x - 8$

Ответ: $y = -5x - 8$

16. Сумма координат каждой точки графика функции $y = kx + b$ равна 6. Укажите значения коэффициентов $k$ и $b$.

По условию, для любой точки с координатами $(x, y)$, которая лежит на графике функции $y = kx + b$, выполняется равенство: сумма ее координат равна 6.

Математически это можно записать так:
$x + y = 6$

Мы имеем два уравнения, которые описывают одни и те же точки $(x, y)$:
1) $y = kx + b$ (уравнение функции)
2) $x + y = 6$ (условие из задачи)

Поскольку оба равенства верны для всех точек на графике, мы можем подставить выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x + (kx + b) = 6$

Выполним преобразование полученного уравнения, сгруппировав члены с переменной $x$:
$x + kx + b = 6$
$(1 + k)x + b = 6$

Это равенство должно быть тождеством, то есть выполняться для абсолютно любого значения $x$, так как по условию свойство выполняется для каждой точки графика.

Линейное уравнение вида $Ax + B = C$ справедливо для всех $x$ только в том случае, когда коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $A=0$. Если бы $A \neq 0$, то уравнение имело бы единственное решение $x = (C-B)/A$, что противоречит условию задачи.

Следовательно, мы должны приравнять коэффициент при $x$ к нулю:
$1 + k = 0$

Из этого уравнения находим значение $k$:
$k = -1$

Теперь подставим найденное значение $k$ обратно в уравнение $(1 + k)x + b = 6$:
$(1 - 1)x + b = 6$
$0 \cdot x + b = 6$
$0 + b = 6$
$b = 6$

Таким образом, мы определили значения искомых коэффициентов. Исходная функция имеет вид $y = -x + 6$.

Ответ: $k=-1, b=6$.

17. На рисунке изображён график функции $y = ax + b$. Постройте:

а) график функции $y = -ax + b$;

б) график функции $y = ax - 2b$.

Для решения задачи сначала определим коэффициенты $a$ и $b$ для исходной функции $y = ax + b$, график которой изображён на рисунке.

1. Нахождение коэффициента $b$. Коэффициент $b$ в уравнении прямой — это ордината точки пересечения графика с осью $y$. Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, 2)$. Следовательно, $b = 2$.

2. Нахождение коэффициента $a$. Коэффициент $a$ — это угловой коэффициент, который показывает наклон прямой. Его можно вычислить по двум точкам на прямой по формуле $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Возьмём две удобные точки с целочисленными координатами, через которые проходит прямая: точка пересечения с осью $y$ — $(0, 2)$ и точка пересечения с осью $x$ — $(-4, 0)$.

Подставим координаты этих точек в формулу:

$a = \frac{2 - 0}{0 - (-4)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, уравнение исходной функции: $y = \frac{1}{2}x + 2$.

Теперь, зная значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = 2$, мы можем построить графики требуемых функций.

а) график функции $y = -ax + b$

Подставим значения $a$ и $b$ в данное уравнение:

$y = -(\frac{1}{2})x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + 2$

Для построения графика этой линейной функции найдем координаты двух точек.

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}(0) + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
• При $y = 0$, $0 = -\frac{1}{2}x + 2 \implies \frac{1}{2}x = 2 \implies x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.

График этой функции — прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$. Заметим, что по сравнению с исходным графиком $y = ax + b$, у графика $y = -ax + b$ тот же свободный член $b$, но противоположный угловой коэффициент. Это означает, что новый график является зеркальным отражением исходного относительно оси $y$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$.

б) график функции $y = ax - 2b$

Подставим значения $a$ и $b$ в данное уравнение:

$y = \frac{1}{2}x - 2(2) \implies y = \frac{1}{2}x - 4$

Для построения графика этой линейной функции также найдем координаты двух точек.

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 4 = -4$. Получаем точку $(0, -4)$.
• При $y = 0$, $0 = \frac{1}{2}x - 4 \implies \frac{1}{2}x = 4 \implies x = 8$. Получаем точку $(8, 0)$.

График этой функции — прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(8, 0)$. Заметим, что по сравнению с исходным графиком $y = ax + b$, у графика $y = ax - 2b$ тот же угловой коэффициент $a$, что означает, что новая прямая параллельна исходной. Свободный член изменился с $b$ на $-2b$, что соответствует сдвигу графика вдоль оси $y$. Величина сдвига равна $(-2b) - b = -3b = -3(2) = -6$. То есть, график смещен на 6 единиц вниз.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(8, 0)$.

18. При каких значениях $k$ и $b$ график функции $y = kx + b$ параллелен графику функции $y = 2.5x + 2$ и проходит через точку $A(-1; 3)$?

Для решения задачи воспользуемся двумя условиями, которым должен удовлетворять график функции $y = kx + b$.

1. Условие параллельности графиков.
Графики двух линейных функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$).

В нашем случае график функции $y = kx + b$ должен быть параллелен графику функции $y = 2,5x + 2$. Следовательно, их угловые коэффициенты должны быть равны: $k = 2,5$

Таким образом, уравнение искомой функции принимает вид $y = 2,5x + b$.

2. Условие прохождения графика через точку.
График функции проходит через точку A с координатами $(-1; 3)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = -1$ и $y = 3$ в полученное уравнение $y = 2,5x + b$, чтобы найти коэффициент $b$: $3 = 2,5 \cdot (-1) + b$

Решим это уравнение: $3 = -2,5 + b$ $b = 3 + 2,5$ $b = 5,5$

Итак, мы нашли искомые значения коэффициентов: $k = 2,5$ и $b = 5,5$. При этом условие $b \neq 2$ (то есть $5,5 \neq 2$) выполняется, значит, прямые параллельны, а не совпадают.

Ответ: $k = 2,5$, $b = 5,5$.

6. Решите уравнение:

а) $49x^3 - x = 0;$

б) $81x^4 - 16 = 0;$

в) $1,2x^5 + 0,6x^4 = 0;$

г) $0,25x^4 - x^2 = 0.$

а) $49x^3 - x = 0$

Чтобы решить это уравнение, вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(49x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $49x^2 - 1 = 0$

Решим второе уравнение. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 7x$ и $b = 1$.

$(7x - 1)(7x + 1) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

$7x - 1 = 0 \implies 7x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{7}$

$7x + 1 = 0 \implies 7x = -1 \implies x_3 = -\frac{1}{7}$

Таким образом, у уравнения есть три корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{7}, x_3 = -\frac{1}{7}$.

б) $81x^4 - 16 = 0$

Это уравнение представляет собой разность квадратов, так как $81x^4 = (9x^2)^2$ и $16 = 4^2$. Разложим его на множители:

$(9x^2 - 4)(9x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $9x^2 - 4 = 0$

Это снова разность квадратов: $(3x)^2 - 2^2 = 0$.

$(3x - 2)(3x + 2) = 0$

Отсюда находим два корня:

$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x_1 = \frac{2}{3}$

$3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{3}$

2) $9x^2 + 4 = 0$

$9x^2 = -4$

$x^2 = -\frac{4}{9}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$.

в) $1,2x^5 + 0,6x^4 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $0,6x^4$:

$0,6x^4(2x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $0,6x^4 = 0 \implies x^4 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2} = -0,5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0,5$.

г) $0,25x^4 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(0,25x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $0,25x^2 - 1 = 0$

Это разность квадратов, так как $0,25x^2 = (0,5x)^2$ и $1=1^2$.

$(0,5x - 1)(0,5x + 1) = 0$

Отсюда получаем еще два корня:

$0,5x - 1 = 0 \implies 0,5x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{0,5} = 2$

$0,5x + 1 = 0 \implies 0,5x = -1 \implies x_3 = \frac{-1}{0,5} = -2$

Таким образом, у уравнения есть три корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = -2$.

7. Закончите преобразование многочлена и найдите с помощью калькулятора его значение при $x=2,3$:

$7x^3 + 3x^2 - 6x + 5=(7x^2 + 3x - 6)x + 5=$ ................

Закончите преобразование многочлена

Исходный многочлен: $7x^3 + 3x^2 - 6x + 5$.
В задании уже дан первый шаг преобразования, который заключается в вынесении переменной $x$ за скобки из членов, содержащих $x$:
$7x^3 + 3x^2 - 6x + 5 = (7x^2 + 3x - 6)x + 5$.
Для завершения преобразования по схеме Горнера (что упрощает последующие вычисления) продолжим выносить $x$ за скобки внутри нового выражения в скобках:
$(7x^2 + 3x - 6)x + 5 = ((7x + 3)x - 6)x + 5$.
Это и есть законченное преобразование многочлена, удобное для вычислений.

Найдите с помощью калькулятора его значение при x = 2,3

Подставим значение $x = 2,3$ в преобразованное выражение $((7x + 3)x - 6)x + 5$ и вычислим его значение по шагам, двигаясь изнутри наружу:
1. Вычисляем выражение в самых внутренних скобках:
$7x + 3 = 7 \cdot 2,3 + 3 = 16,1 + 3 = 19,1$.
2. Результат умножаем на $x$ и вычитаем 6:
$19,1 \cdot 2,3 - 6 = 43,93 - 6 = 37,93$.
3. Полученное значение снова умножаем на $x$ и прибавляем 5:
$37,93 \cdot 2,3 + 5 = 87,239 + 5 = 92,239$.

Ответ: 92,239

8. Разложите многочлен на множители:

а) $4a^2 - 4b^2 - a - b = $

б) $9x^2 - 9y^2 - 3x + 3y = $

в) $16p^2 - y^2 + 8y - 16 = $

г) $0,25a^2 - a - b^2 + 1 = $

а) $4a^2 - 4b^2 - a - b$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(4a^2 - 4b^2) - (a + b)$

В первой скобке вынесем общий множитель 4. Получим выражение, которое является разностью квадратов:

$4(a^2 - b^2) - (a + b)$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к выражению $a^2 - b^2$:

$4(a - b)(a + b) - (a + b)$

Теперь мы видим, что $(a + b)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(a + b)(4(a - b) - 1)$

Раскроем скобки внутри второй скобки, чтобы получить окончательный ответ:

$(a + b)(4a - 4b - 1)$

Ответ: $(a + b)(4a - 4b - 1)$

б) $9x^2 - 9y^2 - 3x + 3y$

Сгруппируем члены многочлена: первые два и последние два.

$(9x^2 - 9y^2) + (-3x + 3y)$

Вынесем общие множители из каждой группы: 9 из первой и -3 из второй.

$9(x^2 - y^2) - 3(x - y)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к выражению $x^2 - y^2$:

$9(x - y)(x + y) - 3(x - y)$

Теперь мы видим общий множитель $3(x - y)$. Вынесем его за скобки:

$3(x - y)[3(x + y) - 1]$

Раскроем внутренние скобки для окончательного вида:

$3(x - y)(3x + 3y - 1)$

Ответ: $3(x-y)(3x+3y-1)$

в) $16p^2 - y^2 + 8y - 16$

Сгруппируем последние три члена. Чтобы получить формулу квадрата разности, вынесем знак минус за скобку:

$16p^2 - (y^2 - 8y + 16)$

Выражение в скобках $y^2 - 8y + 16$ является полным квадратом разности $(y-4)^2$, так как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = (y-4)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$16p^2 - (y - 4)^2$

Теперь у нас есть разность квадратов. Представим $16p^2$ как $(4p)^2$. Выражение принимает вид $A^2 - B^2$, где $A=4p$ и $B=(y-4)$.

$(4p)^2 - (y - 4)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(4p - (y - 4))(4p + (y - 4))$

Раскроем внутренние скобки:

$(4p - y + 4)(4p + y - 4)$

Ответ: $(4p - y + 4)(4p + y - 4)$

г) $0,25a^2 - a - b^2 + 1$

Перегруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат по переменной $a$:

$(0,25a^2 - a + 1) - b^2$

Выражение в скобках $0,25a^2 - a + 1$ представляет собой полный квадрат разности. Представим $0,25a^2$ как $(0,5a)^2$ и $1$ как $1^2$. Проверим средний член: $2 \cdot (0,5a) \cdot 1 = a$. Таким образом, $0,25a^2 - a + 1 = (0,5a - 1)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$(0,5a - 1)^2 - b^2$

Теперь мы имеем разность квадратов вида $A^2 - B^2$, где $A = (0,5a - 1)$ и $B = b$.

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$((0,5a - 1) - b)((0,5a - 1) + b)$

Раскроем внутренние скобки:

$(0,5a - b - 1)(0,5a + b - 1)$

Ответ: $(0,5a - b - 1)(0,5a + b - 1)$