Страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Выполните умножение степеней с одинаковыми основаниями:

а) $m^2 \cdot m^4 = \text{..................}$

б) $x \cdot x^{15} = \text{..................}$

в) $p^2 \cdot p^3 \cdot p^6 = \text{..................}$

г) $y^4 \cdot y \cdot y^5 \cdot y^7 = \text{..................}$

Для решения данной задачи используется правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Если показатель степени не указан, он равен 1 (например, $x = x^1$).

а) $

2. Впишите пропущенный множитель:

а) $12a^5b^4 = 4ab \cdot \text{...............}$

б) $-\frac{1}{3}ab^2 = 6b \cdot \text{...............}$

в) $100a^{11}b^{12} = -25ab \cdot \text{...............}$

а) Чтобы найти пропущенный множитель в выражении $12a^5b^4 = 4ab \cdot \dots$, нужно разделить произведение ($12a^5b^4$) на известный множитель ($4ab$). Обозначим неизвестный множитель как $x$.

Тогда $x = \frac{12a^5b^4}{4ab}$.

Разделим коэффициенты и переменные по отдельности:
1. Делим числовые коэффициенты: $12 \div 4 = 3$.
2. Делим переменные со степенью $a$: $a^5 \div a^1 = a^{5-1} = a^4$.
3. Делим переменные со степенью $b$: $b^4 \div b^1 = b^{4-1} = b^3$.

Соединив все части, получаем пропущенный множитель: $3a^4b^3$.
Проверка: $4ab \cdot 3a^4b^3 = (4 \cdot 3) \cdot (a \cdot a^4) \cdot (b \cdot b^3) = 12a^5b^4$.
Ответ: $3a^4b^3$

б) Чтобы найти пропущенный множитель в выражении $-\frac{1}{3}ab^2 = 6b \cdot \dots$, нужно разделить произведение ($-\frac{1}{3}ab^2$) на известный множитель ($6b$).

Неизвестный множитель $x = \frac{-\frac{1}{3}ab^2}{6b}$.

Разделим коэффициенты и переменные по отдельности:
1. Делим числовые коэффициенты: $(-\frac{1}{3}) \div 6 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{18}$.
2. Делим переменные со степенью $a$: $a \div 1 = a$.
3. Делим переменные со степенью $b$: $b^2 \div b^1 = b^{2-1} = b$.

Соединив все части, получаем пропущенный множитель: $-\frac{1}{18}ab$.
Проверка: $6b \cdot (-\frac{1}{18}ab) = (6 \cdot (-\frac{1}{18})) \cdot a \cdot (b \cdot b) = -\frac{6}{18}ab^2 = -\frac{1}{3}ab^2$.
Ответ: $-\frac{1}{18}ab$

в) Чтобы найти пропущенный множитель в выражении $100a^{11}b^{12} = -25ab \cdot \dots$, нужно разделить произведение ($100a^{11}b^{12}$) на известный множитель ($-25ab$).

Неизвестный множитель $x = \frac{100a^{11}b^{12}}{-25ab}$.

Разделим коэффициенты и переменные по отдельности:
1. Делим числовые коэффициенты: $100 \div (-25) = -4$.
2. Делим переменные со степенью $a$: $a^{11} \div a^1 = a^{11-1} = a^{10}$.
3. Делим переменные со степенью $b$: $b^{12} \div b^1 = b^{12-1} = b^{11}$.

Соединив все части, получаем пропущенный множитель: $-4a^{10}b^{11}$.
Проверка: $-25ab \cdot (-4a^{10}b^{11}) = (-25 \cdot -4) \cdot (a \cdot a^{10}) \cdot (b \cdot b^{11}) = 100a^{11}b^{12}$.
Ответ: $-4a^{10}b^{11}$

3. Представьте выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен $3ab$:

$3a^2b^3 = 3ab \cdot ab^2$

а) $12ab^9 = 3ab \cdot$ ..........................

б) $a^2b = 3ab \cdot$ ..........................

в) $-15a^{10}b^{50} = 3ab \cdot$ ..........................

а) Чтобы представить выражение $12ab^9$ в виде произведения двух множителей, один из которых равен $3ab$, необходимо найти второй множитель. Для этого разделим исходное выражение на известный множитель:
$ \frac{12ab^9}{3ab} $
Разделим числовые коэффициенты:
$12 \div 3 = 4$
Разделим переменные, используя свойство степеней $x^m \div x^n = x^{m-n}$:
$a \div a = a^{1-1} = a^0 = 1$
$b^9 \div b^1 = b^{9-1} = b^8$
Собираем полученные части вместе: $4 \cdot 1 \cdot b^8 = 4b^8$.
Таким образом, второй множитель равен $4b^8$. Проверим, выполнив умножение:
$3ab \cdot 4b^8 = (3 \cdot 4) \cdot a \cdot (b \cdot b^8) = 12ab^9$.
Ответ: $4b^8$

б) Чтобы представить выражение $a^2b$ в виде произведения, где один из множителей равен $3ab$, разделим $a^2b$ на $3ab$:
$ \frac{a^2b}{3ab} $
Разделим числовые коэффициенты:
$1 \div 3 = \frac{1}{3}$
Разделим переменные:
$a^2 \div a = a^{2-1} = a$
$b \div b = b^{1-1} = b^0 = 1$
Собираем полученные части вместе: $\frac{1}{3} \cdot a \cdot 1 = \frac{1}{3}a$.
Таким образом, второй множитель равен $\frac{1}{3}a$. Проверим, выполнив умножение:
$3ab \cdot \frac{1}{3}a = (3 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (a \cdot a) \cdot b = 1 \cdot a^2 \cdot b = a^2b$.
Ответ: $\frac{1}{3}a$

в) Чтобы представить выражение $-15a^{10}b^{50}$ в виде произведения, где один из множителей равен $3ab$, разделим $-15a^{10}b^{50}$ на $3ab$:
$ \frac{-15a^{10}b^{50}}{3ab} $
Разделим числовые коэффициенты:
$-15 \div 3 = -5$
Разделим переменные:
$a^{10} \div a = a^{10-1} = a^9$
$b^{50} \div b = b^{50-1} = b^{49}$
Собираем полученные части вместе: $-5 \cdot a^9 \cdot b^{49} = -5a^9b^{49}$.
Таким образом, второй множитель равен $-5a^9b^{49}$. Проверим, выполнив умножение:
$3ab \cdot (-5a^9b^{49}) = (3 \cdot (-5)) \cdot (a \cdot a^9) \cdot (b \cdot b^{49}) = -15a^{1+9}b^{1+49} = -15a^{10}b^{50}$.
Ответ: $-5a^9b^{49}$

4. Впишите пропущенный множитель:

а) $75x^8y^{11} \cdot \text{.........} = -150x^{10}y^{15}$;

б) \text{.........} \cdot \left(-\frac{1}{8}a^4b\right) = 8a^6b^8.

а) Чтобы найти пропущенный множитель, необходимо разделить произведение на известный множитель. Обозначим неизвестный множитель как $M$.

$75x^8y^{11} \cdot M = -150x^{10}y^{15}$

Для нахождения $M$ разделим правую часть уравнения на левую:

$M = \frac{-150x^{10}y^{15}}{75x^8y^{11}}$

Разделим коэффициенты и степени переменных по отдельности, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

Для коэффициентов: $\frac{-150}{75} = -2$

Для переменной $x$: $\frac{x^{10}}{x^8} = x^{10-8} = x^2$

Для переменной $y$: $\frac{y^{15}}{y^{11}} = y^{15-11} = y^4$

Объединив результаты, получаем искомый множитель: $-2x^2y^4$.

Ответ: $-2x^2y^4$

б) Аналогично, чтобы найти пропущенный множитель, разделим произведение на известный множитель. Обозначим неизвестный множитель как $N$.

$N \cdot (-\frac{1}{8}a^4b) = 8a^6b^8$

Для нахождения $N$ разделим правую часть уравнения на известный множитель:

$N = \frac{8a^6b^8}{-\frac{1}{8}a^4b}$

Разделим коэффициенты и степени переменных по отдельности (учитывая, что $b = b^1$):

Для коэффициентов: $\frac{8}{-\frac{1}{8}} = 8 \cdot (-\frac{8}{1}) = -64$

Для переменной $a$: $\frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2$

Для переменной $b$: $\frac{b^8}{b^1} = b^{8-1} = b^7$

Объединив результаты, получаем искомый множитель: $-64a^2b^7$.

Ответ: $-64a^2b^7$

5. Выполняя умножение степеней, ученик допустил ошибку. Найдите её и исправьте:

а) $a^7 \cdot (-a)^8 = a^{15};$

б) $-a \cdot a^4 = (-a)^5;$

в) $a^{11} \cdot (-a)^2 = a^{13};$

г) $a^5 \cdot (-a) = (-a)^6.$

Ответ: ошибка допущена в задании ...................., в результате умножения получается выражение ....................

Для того чтобы найти ошибку, проанализируем каждое равенство по отдельности, применяя свойства степеней.

а) $a^7 \cdot (-a)^8 = a^{15}$

Выражение $(-a)$ возводится в четную степень 8, поэтому знак "минус" исчезает: $(-a)^8 = a^8$.
Тогда левая часть равенства принимает вид: $a^7 \cdot a^8$.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^7 \cdot a^8 = a^{7+8} = a^{15}$.
Получаем $a^{15} = a^{15}$. Это верное равенство.

б) $-a \cdot a^4 = (-a)^5$

Преобразуем левую часть: $-a \cdot a^4 = -a^{1+4} = -a^5$.
Теперь преобразуем правую часть. Выражение $(-a)$ возводится в нечетную степень 5, поэтому знак "минус" сохраняется: $(-a)^5 = -a^5$.
Получаем $-a^5 = -a^5$. Это верное равенство.

в) $a^{11} \cdot (-a)^2 = a^{13}$

Выражение $(-a)$ возводится в четную степень 2, поэтому $(-a)^2 = a^2$.
Левая часть равенства: $a^{11} \cdot a^2$.
Складываем показатели: $a^{11} \cdot a^2 = a^{11+2} = a^{13}$.
Получаем $a^{13} = a^{13}$. Это верное равенство.

г) $a^5 \cdot (-a) = (-a)^6$

Преобразуем левую часть: $a^5 \cdot (-a) = a^5 \cdot (-1) \cdot a^1 = - (a^{5+1}) = -a^6$.
Теперь преобразуем правую часть. Выражение $(-a)$ возводится в четную степень 6, поэтому $(-a)^6 = a^6$.
Сравнивая левую и правую части, получаем $-a^6 = a^6$. Это равенство неверно (кроме случая $a=0$).
Следовательно, в этом задании допущена ошибка.

Таким образом, ошибка была сделана в примере г). Правильный результат умножения $a^5 \cdot (-a)$ равен $-a^6$.

Ответ: ошибка допущена в задании г), в результате умножения получается выражение $-a^6$.

12. От школы на спартакиаду была отправлена группа учащихся из 22 человек. В её состав входили команды мальчиков по 4 человека и команды девочек по 3 человека. Определите число команд мальчиков и число команд девочек.

Для решения задачи введем переменные. Пусть x — это число команд мальчиков, а y — число команд девочек.

Согласно условию, в каждой команде мальчиков по 4 человека, а в каждой команде девочек — по 3 человека. Общее число учащихся в группе составляет 22 человека. На основе этих данных можно составить уравнение:

$4x + 3y = 22$

Поскольку x и y обозначают количество команд, они должны быть целыми положительными числами.

Это линейное диофантово уравнение. Для его решения выразим одну переменную через другую. Например, выразим y:

$3y = 22 - 4x$

$y = \frac{22 - 4x}{3}$

Так как y должен быть положительным числом, то $22 - 4x > 0$. Решим это неравенство:

$4x < 22$

$x < \frac{22}{4}$

$x < 5.5$

Следовательно, x может быть одним из следующих целых чисел: 1, 2, 3, 4, 5. Теперь подставим эти значения в формулу для y и проверим, при каком из них y также будет целым числом.

• Если $x=1$, то $y = \frac{22 - 4 \cdot 1}{3} = \frac{18}{3} = 6$. Это целое число. Значит, (x=1, y=6) — возможное решение.
• Если $x=2$, то $y = \frac{22 - 4 \cdot 2}{3} = \frac{14}{3}$. Это не целое число.
• Если $x=3$, то $y = \frac{22 - 4 \cdot 3}{3} = \frac{10}{3}$. Это не целое число.
• Если $x=4$, то $y = \frac{22 - 4 \cdot 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Это целое число. Значит, (x=4, y=2) — возможное решение.
• Если $x=5$, то $y = \frac{22 - 4 \cdot 5}{3} = \frac{2}{3}$. Это не целое число.

Мы нашли два математически возможных решения:

1. 1 команда мальчиков и 6 команд девочек.
2. 4 команды мальчиков и 2 команды девочек.

В условии задачи указано: "команды мальчиков ... и команды девочек". Использование множественного числа предполагает, что было сформировано более одной команды каждого типа. Первое решение (1 команда мальчиков) этому условию не удовлетворяет, так как в этом случае слово "команда" должно быть в единственном числе. Второе решение (4 команды мальчиков и 2 команды девочек) полностью соответствует формулировке задачи, так как $4 > 1$ и $2 > 1$.

Выполним проверку для второго решения: $4$ команды мальчиков $\times$ $4$ человека/команду + $2$ команды девочек $\times$ $3$ человека/команду = $16 + 6 = 22$ человека. Условие выполняется.

Ответ: 4 команды мальчиков и 2 команды девочек.

13. Если к утроенному двузначному числу прибавить удвоенную сумму его цифр, получится 79. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — любым целым числом от 0 до 9.

По условию задачи, сумма утроенного числа и удвоенной суммы его цифр равна 79. Составим на основе этого математическое уравнение:
$3 \cdot (10a + b) + 2 \cdot (a + b) = 79$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:
$30a + 3b + 2a + 2b = 79$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:
$(30a + 2a) + (3b + 2b) = 79$
$32a + 5b = 79$

Мы получили линейное уравнение с двумя переменными. Нам нужно найти его целочисленные решения, учитывая, что $a$ и $b$ являются цифрами. Поскольку $5b \ge 0$, то $32a$ не может быть больше 79. Это означает, что $a$ может быть равно только 1 или 2. Проверим оба варианта.

1. Пусть $a = 1$. Подставим это значение в уравнение:
$32 \cdot 1 + 5b = 79$
$32 + 5b = 79$
$5b = 79 - 32$
$5b = 47$
$b = \frac{47}{5} = 9.4$. Так как $b$ должно быть целым числом, этот вариант не подходит.

2. Пусть $a = 2$. Подставим это значение в уравнение:
$32 \cdot 2 + 5b = 79$
$64 + 5b = 79$
$5b = 79 - 64$
$5b = 15$
$b = \frac{15}{5} = 3$. Это значение подходит, так как $b=3$ — целое число от 0 до 9.

Если $a$ было бы равно 3 или больше, то произведение $32a$ превысило бы 79, что привело бы к отрицательному значению для $b$, что невозможно для цифры.
Следовательно, единственное решение — это $a=2$ и $b=3$. Искомое двузначное число равно $10 \cdot 2 + 3 = 23$.

Проведем проверку: утроенное число 23 — это $3 \cdot 23 = 69$. Сумма его цифр — $2+3=5$. Удвоенная сумма цифр — $2 \cdot 5 = 10$. Складываем полученные значения: $69 + 10 = 79$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 23.