Страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

6. Представьте выражение $a^8$ всеми возможными способами в виде произведения двух множителей, каждый из которых является степенью с основанием $a$.

Для того чтобы представить выражение $a^8$ в виде произведения двух множителей, каждый из которых является степенью с основанием $a$, мы будем использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар показателей степени $m$ и $n$, сумма которых равна 8. То есть, мы ищем решения уравнения $m + n = 8$.

Будем исходить из того, что показатели степени являются целыми неотрицательными числами (0, 1, 2, ...). Если бы мы допустили отрицательные показатели, количество возможных способов было бы бесконечным, что не соответствует формулировке "всеми возможными способами".

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется (то есть, $a^m \cdot a^n = a^n \cdot a^m$), мы будем искать уникальные пары множителей. Для этого достаточно найти все пары неотрицательных целых чисел $(m, n)$ такие, что $m+n=8$ и $m \le n$.

Перечислим все такие пары и соответствующие им произведения:

• $0 + 8 = 8$, что дает произведение $a^0 \cdot a^8$.
• $1 + 7 = 8$, что дает произведение $a^1 \cdot a^7$ (или, что то же самое, $a \cdot a^7$).
• $2 + 6 = 8$, что дает произведение $a^2 \cdot a^6$.
• $3 + 5 = 8$, что дает произведение $a^3 \cdot a^5$.
• $4 + 4 = 8$, что дает произведение $a^4 \cdot a^4$.

Если мы продолжим увеличивать $m$ (например, $m=5$), то $n$ станет меньше $m$ ($n=3$), и мы получим те же пары множителей, но в другом порядке, что дает то же самое произведение.

Следовательно, существует 5 различных способов представить данное выражение в требуемом виде.

Ответ: $a^0 \cdot a^8$; $a \cdot a^7$; $a^2 \cdot a^6$; $a^3 \cdot a^5$; $a^4 \cdot a^4$.

7. Представьте в виде степени частное:

а) $p^{12} : p^3 = $ ......................

б) $c^{36} : c^{12} = $ ...................

в) $b^{11} : b = $ ......................

г) $a^{100} : a^{99} = $ ...................

Для решения данной задачи используется правило деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому правилу, при делении степеней основание остается тем же, а их показатели вычитаются. Общая формула выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

а) В выражении $p^{12} : p^3$ основание степени – $p$. Чтобы найти частное, нужно из показателя степени делимого (12) вычесть показатель степени делителя (3).

$p^{12} : p^3 = p^{12-3} = p^9$

Ответ: $p^9$.

б) В выражении $c^{36} : c^{12}$ основанием является $c$. Выполняем вычитание показателей степеней.

$c^{36} : c^{12} = c^{36-12} = c^{24}$

Ответ: $c^{24}$.

в) В выражении $b^{11} : b$ переменная $b$ стоит без показателя, что означает, что ее показатель степени равен 1 ($b = b^1$).

$b^{11} : b = b^{11} : b^1 = b^{11-1} = b^{10}$

Ответ: $b^{10}$.

г) В выражении $a^{100} : a^{99}$ основание степени – $a$. Вычитаем показатели.

$a^{100} : a^{99} = a^{100-99} = a^1 = a$

Ответ: $a$.

8. Найдите значение дроби:

а) $\frac{13^7}{13^5} =$ ........................

б) $\frac{\left(-1\frac{1}{3}\right)^9}{\left(-1\frac{1}{3}\right)^7} =$

а)

Чтобы найти значение дроби $\frac{13^7}{13^5}$, мы используем свойство частного степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

В нашем случае основание $a = 13$, показатель степени числителя $m = 7$, а показатель степени знаменателя $n = 5$.

Применим это свойство:

$\frac{13^7}{13^5} = 13^{7-5} = 13^2$

Теперь вычислим значение $13^2$:

$13^2 = 13 \cdot 13 = 169$

Ответ: 169

б)

Для решения этого примера мы используем то же самое свойство частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Основание дроби $a = -1\frac{1}{3}$, показатель степени в числителе $m = 9$, а в знаменателе $n = 7$.

$\frac{\left(-1\frac{1}{3}\right)^9}{\left(-1\frac{1}{3}\right)^7} = \left(-1\frac{1}{3}\right)^{9-7} = \left(-1\frac{1}{3}\right)^2$

Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$

Теперь возведем полученную дробь во вторую степень. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным:

$\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{(-4)^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{16}{9}$ обратно в смешанное число:

$\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$

Ответ: $1\frac{7}{9}$

9. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{3^{20} \cdot 2^{12}}{3^{18} \cdot 2^{11}} = $

б) $ \frac{5^{11} \cdot 3^{14}}{5^{10} \cdot 3^{15}} = $

в) $ \frac{2^8 \cdot 2^3}{64} = $

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$). Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\frac{3^{20} \cdot 2^{12}}{3^{18} \cdot 2^{11}} = \frac{3^{20}}{3^{18}} \cdot \frac{2^{12}}{2^{11}}$
Теперь вычислим значение каждой дроби отдельно:
$\frac{3^{20}}{3^{18}} = 3^{20-18} = 3^2 = 9$
$\frac{2^{12}}{2^{11}} = 2^{12-11} = 2^1 = 2$
Перемножим полученные результаты:
$9 \cdot 2 = 18$
Ответ: 18

б) Аналогично предыдущему примеру, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{5^{11} \cdot 3^{14}}{5^{10} \cdot 3^{15}} = \frac{5^{11}}{5^{10}} \cdot \frac{3^{14}}{3^{15}}$
Упростим каждую часть:
$\frac{5^{11}}{5^{10}} = 5^{11-10} = 5^1 = 5$
$\frac{3^{14}}{3^{15}} = 3^{14-15} = 3^{-1}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получим:
$3^{-1} = \frac{1}{3}$
Найдем произведение:
$5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
Ответ: $\frac{5}{3}$

в) Сначала упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^8 \cdot 2^3 = 2^{8+3} = 2^{11}$
Теперь представим знаменатель (64) в виде степени с основанием 2:
$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{2^{11}}{64} = \frac{2^{11}}{2^6}$
Теперь воспользуемся свойством деления степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{2^{11}}{2^6} = 2^{11-6} = 2^5$
Вычислим конечный результат:
$2^5 = 32$
Ответ: 32

10. Представьте выражение $a^{5n+2}$ каким-либо способом в виде:

а) произведения степеней;

б) частного степеней.

а) $a^{5n+2}$ = .......................

б) $a^{5n+2}$ = .......................

Замечание. Здесь и далее подразумевается, что показателем степени является натуральное число.

а) Чтобы представить выражение $a^{5n+2}$ в виде произведения степеней, используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

Показатель степени в данном выражении, $5n+2$, можно рассматривать как сумму двух слагаемых: $5n$ и $2$. Применяя указанное свойство в обратном порядке, получаем:

$a^{5n+2} = a^{5n} \cdot a^2$

Другим возможным вариантом может быть, например, $a^{5n+1} \cdot a^1$. Мы выберем первый вариант как наиболее очевидный. Оба показателя, $5n$ и $2$, являются натуральными числами, так как по условию $n$ — натуральное число.

Ответ: $a^{5n} \cdot a^2$

б) Чтобы представить выражение $a^{5n+2}$ в виде частного степеней, используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$.

Нам необходимо найти такие натуральные числа $m$ и $k$, чтобы их разность $m-k$ была равна показателю $5n+2$.

$m - k = 5n + 2$

Существует бесконечное количество пар таких чисел. Выберем один из простейших вариантов. Пусть $k$ (показатель степени в знаменателе) будет равен $1$. Тогда для $m$ (показателя степени в числителе) получим:

$m - 1 = 5n + 2$

$m = 5n + 3$

Так как $n$ — натуральное число, то $m=5n+3$ и $k=1$ также являются натуральными числами. Следовательно, выражение можно представить в виде частного:

$a^{5n+2} = a^{(5n+3)-1} = \frac{a^{5n+3}}{a^1} = \frac{a^{5n+3}}{a}$

Ответ: $\frac{a^{5n+3}}{a}$

11. Найдите значение выражения:

а) $0.9^{n+1} : 0.9^{n-1} = $ ....................

б) $(\frac{1}{7})^{n+3} : (\frac{1}{7})^{n+1} = $ ....................

в) $(-\frac{1}{201})^{2n} : (-\frac{1}{201})^{2n-1} = $ ....................

а)

Для решения данного примера воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается неизменным. Формула выглядит так: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

В нашем случае основание $a = 0,9$, показатель первой степени $m = n+1$, а показатель второй степени $k = n-1$.

Применим формулу:

$0,9^{n+1} : 0,9^{n-1} = 0,9^{(n+1) - (n-1)} = 0,9^{n+1-n+1} = 0,9^2$.

Теперь вычислим значение выражения:

$0,9^2 = 0,9 \cdot 0,9 = 0,81$.

Ответ: $0,81$.

б)

Здесь мы также используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Основание $a = \frac{1}{7}$, показатель первой степени $m = n+3$, показатель второй степени $k = n+1$.

Выполним вычитание показателей:

$(\frac{1}{7})^{n+3} : (\frac{1}{7})^{n+1} = (\frac{1}{7})^{(n+3) - (n+1)} = (\frac{1}{7})^{n+3-n-1} = (\frac{1}{7})^2$.

Возведем дробь в квадрат:

$(\frac{1}{7})^2 = \frac{1^2}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$.

в)

Аналогично предыдущим примерам, применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Основание $a = -\frac{1}{201}$, показатель первой степени $m = 2n$, показатель второй степени $k = 2n-1$.

Подставим значения в формулу:

$(-\frac{1}{201})^{2n} : (-\frac{1}{201})^{2n-1} = (-\frac{1}{201})^{(2n) - (2n-1)} = (-\frac{1}{201})^{2n-2n+1} = (-\frac{1}{201})^1$.

Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому:

$(-\frac{1}{201})^1 = -\frac{1}{201}$.

Ответ: $-\frac{1}{201}$.

14. Решением уравнения $3x - 4y = -17$ служит пара последовательных нечётных чисел. Найдите эти числа. Рассмотрите два случая:

Дано уравнение $3x - 4y = -17$. Его решением является пара $(x, y)$, где $x$ и $y$ — последовательные нечётные числа. Разница между двумя последовательными нечётными числами всегда равна 2. Необходимо рассмотреть два случая в зависимости от того, какое из чисел больше.

1) x < y;

Если $x < y$, то $y$ является следующим нечётным числом после $x$. Это означает, что $y$ можно выразить через $x$ как $y = x + 2$. Подставим это выражение в исходное уравнение и решим его:
$3x - 4(x + 2) = -17$
Раскрываем скобки:
$3x - 4x - 8 = -17$
Приводим подобные слагаемые:
$-x - 8 = -17$
Переносим -8 в правую часть:
$-x = -17 + 8$
$-x = -9$
$x = 9$
Теперь, когда мы нашли $x$, можем найти $y$:
$y = x + 2 = 9 + 2 = 11$
Получили пару чисел $(9, 11)$. Проверим: это последовательные нечётные числа, $9 < 11$, и $3(9) - 4(11) = 27 - 44 = -17$. Условия выполнены.
Ответ: $x=9, y=11$.

2) x > y.

Если $x > y$, то $x$ является следующим нечётным числом после $y$. Это означает, что $x$ можно выразить через $y$ как $x = y + 2$. Подставим это выражение в исходное уравнение и решим его:
$3(y + 2) - 4y = -17$
Раскрываем скобки:
$3y + 6 - 4y = -17$
Приводим подобные слагаемые:
$-y + 6 = -17$
Переносим 6 в правую часть:
$-y = -17 - 6$
$-y = -23$
$y = 23$
Теперь, когда мы нашли $y$, можем найти $x$:
$x = y + 2 = 23 + 2 = 25$
Получили пару чисел $(25, 23)$. Проверим: это последовательные нечётные числа, $25 > 23$, и $3(25) - 4(23) = 75 - 92 = -17$. Условия выполнены.
Ответ: $x=25, y=23$.

15. На складе имеются изделия двух видов: массой 7 кг и 6 кг. Сколько надо взять изделий каждого вида, чтобы общая масса груза составляла 60 кг?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество изделий массой 7 кг, а $y$ — количество изделий массой 6 кг.

Согласно условию, общая масса всех изделий должна равняться 60 кг. Мы можем записать это в виде линейного уравнения с двумя переменными:

$7x + 6y = 60$

Так как $x$ и $y$ обозначают количество изделий, они должны быть целыми и неотрицательными числами ($x \ge 0$, $y \ge 0$).

Чтобы найти возможные пары $(x, y)$, выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $y$:

$6y = 60 - 7x$

$y = \frac{60 - 7x}{6} = 10 - \frac{7x}{6}$

Для того чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{7x}{6}$ была целой. Поскольку числа 7 и 6 взаимно простые (то есть их наибольший общий делитель равен 1), это возможно только в том случае, если $x$ делится на 6 без остатка.

Кроме того, мы знаем, что количество изделий не может быть отрицательным, то есть $y \ge 0$. Это накладывает ограничение на $x$:

$10 - \frac{7x}{6} \ge 0$

$10 \ge \frac{7x}{6}$

$60 \ge 7x$

$x \le \frac{60}{7} \approx 8.57$

Итак, мы ищем целые неотрицательные значения $x$, которые кратны 6 и не превышают 8.57. Таких значений всего два: $x=0$ и $x=6$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $x = 0$, то находим соответствующее значение $y$:
   $y = 10 - \frac{7 \cdot 0}{6} = 10$.
   Это дает нам первую возможную комбинацию: 0 изделий по 7 кг и 10 изделий по 6 кг.
   Проверка: $7(0) + 6(10) = 0 + 60 = 60$ кг.
2. Если $x = 6$, то находим соответствующее значение $y$:
   $y = 10 - \frac{7 \cdot 6}{6} = 10 - 7 = 3$.
   Это дает нам вторую возможную комбинацию: 6 изделий по 7 кг и 3 изделия по 6 кг.
   Проверка: $7(6) + 6(3) = 42 + 18 = 60$ кг.

Следующее возможное значение $x$, кратное 6, это 12, но оно больше 8.57, поэтому других решений в неотрицательных целых числах нет.

Ответ: Существует два способа получить общую массу 60 кг: взять 10 изделий по 6 кг (и 0 изделий по 7 кг) или взять 6 изделий по 7 кг и 3 изделия по 6 кг.