Номер 6, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

17. Умножение и деление степеней. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 6, страница 77.

Условие.

6. Представьте выражение $a^8$ всеми возможными способами в виде произведения двух множителей, каждый из которых является степенью с основанием $a$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы представить выражение $a^8$ в виде произведения двух множителей, каждый из которых является степенью с основанием $a$, мы будем использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар показателей степени $m$ и $n$, сумма которых равна 8. То есть, мы ищем решения уравнения $m + n = 8$.

Будем исходить из того, что показатели степени являются целыми неотрицательными числами (0, 1, 2, ...). Если бы мы допустили отрицательные показатели, количество возможных способов было бы бесконечным, что не соответствует формулировке "всеми возможными способами".

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется (то есть, $a^m \cdot a^n = a^n \cdot a^m$), мы будем искать уникальные пары множителей. Для этого достаточно найти все пары неотрицательных целых чисел $(m, n)$ такие, что $m+n=8$ и $m \le n$.

Перечислим все такие пары и соответствующие им произведения:

• $0 + 8 = 8$, что дает произведение $a^0 \cdot a^8$.
• $1 + 7 = 8$, что дает произведение $a^1 \cdot a^7$ (или, что то же самое, $a \cdot a^7$).
• $2 + 6 = 8$, что дает произведение $a^2 \cdot a^6$.
• $3 + 5 = 8$, что дает произведение $a^3 \cdot a^5$.
• $4 + 4 = 8$, что дает произведение $a^4 \cdot a^4$.

Если мы продолжим увеличивать $m$ (например, $m=5$), то $n$ станет меньше $m$ ($n=3$), и мы получим те же пары множителей, но в другом порядке, что дает то же самое произведение.

Следовательно, существует 5 различных способов представить данное выражение в требуемом виде.

Ответ: $a^0 \cdot a^8$; $a \cdot a^7$; $a^2 \cdot a^6$; $a^3 \cdot a^5$; $a^4 \cdot a^4$.