Номер 12, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

17. Умножение и деление степеней. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 12, страница 78.

Условие.

12. Зная, что $3^n = 729$, найдите значение выражения:

а) $3^{n+1} = $

б) $3^{n+2} : 9 = $

в) $3^{n+3} \cdot \frac{1}{9} = $

г) $3^{n+4} : 81 = $

Решение.

Решение 2.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное условие $3^n = 729$ и свойства степеней.

а) $3^{n+1}$

Воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1$

Теперь подставим известное значение $3^n = 729$:

$3^n \cdot 3 = 729 \cdot 3$

Вычислим произведение:

$729 \cdot 3 = 2187$

Ответ: 2187

б) $3^{n+2} : 9$

Сначала представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

Теперь выражение выглядит так:

$3^{n+2} : 3^2$

Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

$3^{n+2} : 3^2 = 3^{(n+2)-2} = 3^n$

Согласно условию задачи, $3^n = 729$.

Ответ: 729

в) $3^{n+3} \cdot \frac{1}{9}$

Умножение на $\frac{1}{9}$ эквивалентно делению на 9. Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$3^{n+3} : 3^2$

Используем свойство деления степеней:

$3^{(n+3)-2} = 3^{n+1}$

Мы уже находили значение этого выражения в пункте а), но можем вычислить его еще раз. Используя свойство произведения степеней:

$3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1$

Подставляем $3^n = 729$:

$729 \cdot 3 = 2187$

Ответ: 2187

г) $3^{n+4} : 81$

Представим число 81 в виде степени с основанием 3. Так как $3^4 = 81$, выражение принимает вид:

$3^{n+4} : 3^4$

Применим свойство деления степеней:

$3^{(n+4)-4} = 3^n$

По условию, $3^n = 729$.

Ответ: 729