Номер 9, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

17. Умножение и деление степеней. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 9, страница 77.

Условие.

9. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{3^{20} \cdot 2^{12}}{3^{18} \cdot 2^{11}} = $

б) $ \frac{5^{11} \cdot 3^{14}}{5^{10} \cdot 3^{15}} = $

в) $ \frac{2^8 \cdot 2^3}{64} = $

Решение.

Решение 2.

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$). Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\frac{3^{20} \cdot 2^{12}}{3^{18} \cdot 2^{11}} = \frac{3^{20}}{3^{18}} \cdot \frac{2^{12}}{2^{11}}$
Теперь вычислим значение каждой дроби отдельно:
$\frac{3^{20}}{3^{18}} = 3^{20-18} = 3^2 = 9$
$\frac{2^{12}}{2^{11}} = 2^{12-11} = 2^1 = 2$
Перемножим полученные результаты:
$9 \cdot 2 = 18$
Ответ: 18

б) Аналогично предыдущему примеру, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{5^{11} \cdot 3^{14}}{5^{10} \cdot 3^{15}} = \frac{5^{11}}{5^{10}} \cdot \frac{3^{14}}{3^{15}}$
Упростим каждую часть:
$\frac{5^{11}}{5^{10}} = 5^{11-10} = 5^1 = 5$
$\frac{3^{14}}{3^{15}} = 3^{14-15} = 3^{-1}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получим:
$3^{-1} = \frac{1}{3}$
Найдем произведение:
$5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
Ответ: $\frac{5}{3}$

в) Сначала упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^8 \cdot 2^3 = 2^{8+3} = 2^{11}$
Теперь представим знаменатель (64) в виде степени с основанием 2:
$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{2^{11}}{64} = \frac{2^{11}}{2^6}$
Теперь воспользуемся свойством деления степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{2^{11}}{2^6} = 2^{11-6} = 2^5$
Вычислим конечный результат:
$2^5 = 32$
Ответ: 32