Номер 13, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

17. Умножение и деление степеней. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 13, страница 78.

Условие.

13. Найдите значение выражения:

a) $\underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \dots \cdot (-1)^n}_{16 \text{ раз}} = $

б) $\underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \dots \cdot (-1)^n}_{9 \text{ раз}} - (-1)^{4n} = $

Решение.

Решение 2.

а)

Данное выражение представляет собой произведение, в котором множитель $(-1)^n$ повторяется 16 раз. Используя свойство степени (произведение одинаковых множителей), мы можем записать это в виде: $$ \underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \ldots \cdot (-1)^n}_{16 \text{ раз}} = ((-1)^n)^{16} $$ Далее, по свойству возведения степени в степень $((a^m)^k = a^{m \cdot k})$, получаем: $$ ((-1)^n)^{16} = (-1)^{n \cdot 16} = (-1)^{16n} $$ Показатель степени $16n$ является произведением четного числа 16 и целого числа $n$. Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным числом.
Таким образом, показатель $16n$ — четное число. Число $-1$, возведенное в любую четную степень, равно $1$. Следовательно: $$ (-1)^{16n} = 1 $$

Ответ: $1$

б)

Рассмотрим выражение $ \underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \ldots \cdot (-1)^n}_{9 \text{ раз}} - (-1)^{4n} $.
Упростим каждую часть выражения по отдельности.

Первая часть — это произведение 9 множителей $(-1)^n$. Это можно записать как: $$ ((-1)^n)^9 = (-1)^{9n} $$ Используя свойство степени $(a^b)^c = (a^c)^b$, преобразуем выражение: $$ (-1)^{9n} = ((-1)^9)^n $$ Поскольку $(-1)$ в нечетной степени $9$ равно $-1$, получаем: $$ ((-1)^9)^n = (-1)^n $$

Вторая часть выражения — это $(-1)^{4n}$. Преобразуем ее аналогичным образом: $$ (-1)^{4n} = ((-1)^4)^n $$ Поскольку $(-1)$ в четной степени $4$ равно $1$, получаем: $$ ((-1)^4)^n = 1^n = 1 $$ (Это верно для любого целого $n$. В задачах такого типа обычно предполагается, что $n$ — целое число).

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение: $$ (-1)^n - 1 $$ Значение этого выражения зависит от четности числа $n$. Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $n$ — четное число, то $(-1)^n = 1$. В этом случае значение выражения равно: $$ 1 - 1 = 0 $$ 2. Если $n$ — нечетное число, то $(-1)^n = -1$. В этом случае значение выражения равно: $$ -1 - 1 = -2 $$

Ответ: $0$, если $n$ — четное число; $-2$, если $n$ — нечетное число.