Номер 19, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

16. Определение степени с натуральным показателем. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 19, страница 75.

Условие.

19. Не вычисляя значения выражения, определите, верно ли утверждение:

а) значение выражения $16^7 + 15^3 - 21^4$ кратно 10;

б) значение выражения $46^3 - 51^2 + 25^5$ кратно 5.

Ответ поясните.

Решение.

Решение 2.

а) значение выражения $16^7 + 15^3 - 21^4$ кратно 10;

Для того чтобы определить, кратно ли значение выражения 10, не производя полных вычислений, достаточно проанализировать его последнюю цифру. Число кратно 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0.

Последняя цифра степени числа определяется только последней цифрой основания. Найдем последние цифры для каждого из слагаемых:

Последняя цифра числа $16^7$: число 16 оканчивается на 6. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 6, результат также будет оканчиваться на 6 ($6^1=6, 6^2=36, 6^3=216, \dots$). Следовательно, последняя цифра $16^7$ — это 6.

Последняя цифра числа $15^3$: число 15 оканчивается на 5. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 5, результат также будет оканчиваться на 5 ($5^1=5, 5^2=25, 5^3=125, \dots$). Следовательно, последняя цифра $15^3$ — это 5.

Последняя цифра числа $21^4$: число 21 оканчивается на 1. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1 ($1^1=1, 21^2=441, \dots$). Следовательно, последняя цифра $21^4$ — это 1.

Теперь определим последнюю цифру всего выражения. Она равна последней цифре результата операций над последними цифрами слагаемых: $6 + 5 - 1$.

Сумма чисел, оканчивающихся на 6 и 5, даст число, оканчивающееся на 1 (так как $6+5=11$).

Разность числа, оканчивающегося на 1, и числа, оканчивающегося на 1, даст число, оканчивающееся на 0 (так как $1-1=0$).

Таким образом, значение выражения $16^7 + 15^3 - 21^4$ оканчивается на 0, а значит, оно кратно 10. Утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

б) значение выражения $46^3 - 51^2 + 25^5$ кратно 5.

Для того чтобы определить, кратно ли значение выражения 5, достаточно проанализировать его последнюю цифру. Число кратно 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0 или 5.

Найдем последние цифры для каждого из членов выражения:

Последняя цифра числа $46^3$: число 46 оканчивается на 6. Как мы установили ранее, любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, будет оканчиваться на 6. Значит, последняя цифра $46^3$ — это 6.

Последняя цифра числа $51^2$: число 51 оканчивается на 1. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, будет оканчиваться на 1. Значит, последняя цифра $51^2$ — это 1.

Последняя цифра числа $25^5$: число 25 оканчивается на 5. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, будет оканчиваться на 5. Значит, последняя цифра $25^5$ — это 5.

Определим последнюю цифру всего выражения, выполнив действия с последними цифрами: $6 - 1 + 5$.

Разность чисел, оканчивающихся на 6 и 1, даст число, оканчивающееся на 5 (так как $6-1=5$).

Сумма чисел, оканчивающихся на 5 и 5, даст число, оканчивающееся на 0 (так как $5+5=10$).

Таким образом, значение выражения $46^3 - 51^2 + 25^5$ оканчивается на 0. Поскольку числа, оканчивающиеся на 0, кратны 5, данное утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.