Номер 17, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

16. Определение степени с натуральным показателем. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 17, страница 75.

Условие.

17. Расположите в порядке возрастания числа $3$, $333$, $3^3$, $3^{33}$, $33^3$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Нам даны числа: $3$, $333$, $3^3$, $3^{33}$, $33^3$.

Сначала вычислим значение $3^3$:

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.

Теперь сравним числа, значения которых легко определить: $3$, $27$ (то есть $3^3$) и $333$. Очевидно, что их порядок по возрастанию следующий: $3 < 27 < 333$. В исходных обозначениях это выглядит как $3 < 3^3 < 333$.

Далее рассмотрим число $33^3$ и сравним его с наибольшим из уже упорядоченных чисел, то есть с $333$. Очевидно, что $33^3 = 33 \times 33 \times 33$ — это число значительно больше, чем $333$. Например, уже $33^2 = 1089$, что больше $333$. Следовательно, $33^3 > 333$. Таким образом, наша последовательность расширяется до: $3 < 3^3 < 333 < 33^3$.

Наконец, необходимо сравнить последнее число, $3^{33}$, с $33^3$. Чтобы это сделать, воспользуемся удобным приемом: сравним кубические корни этих чисел. Если корень одного числа больше корня другого, то и само число будет больше.

Кубический корень из $33^3$ равен $\sqrt[3]{33^3} = 33$.

Кубический корень из $3^{33}$ равен $\sqrt[3]{3^{33}} = (3^{33})^{1/3} = 3^{33/3} = 3^{11}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $33$ и $3^{11}$. Так как $3^3 = 27$, а $3^4 = 81$, то уже $3^4 > 33$. Следовательно, $3^{11}$ будет намного больше, чем $33$.

Поскольку $3^{11} > 33$, то и исходные числа находятся в том же соотношении: $3^{33} > 33^3$.

Объединяя все результаты, мы можем выстроить итоговый ряд чисел в порядке возрастания:

$3 < 3^3 < 333 < 33^3 < 3^{33}$.

Ответ: $3, 3^3, 333, 33^3, 3^{33}$.