Номер 15, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

16. Определение степени с натуральным показателем. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 15, страница 75.

Условие.

15. Подчеркните выражения, которые при любом значении a принимают положительные значения:

$a^4$, $(-a)^4+1$, $-a^4+6$, $(-1-a)^4$, $(a-8)^4+16$, $(-a-3)^4+1$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, какие из выражений принимают положительные значения при любом значении $a$, проанализируем каждое из них. Основное свойство, которое мы будем использовать: любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным (то есть больше или равно нулю).

$a^4$

Выражение $a^4$ представляет собой переменную $a$, возведенную в 4-ю (четную) степень. Это означает, что $a^4 \ge 0$ для любого значения $a$. Однако, если $a = 0$, то $a^4 = 0^4 = 0$. Ноль не является положительным числом. Следовательно, это выражение не всегда принимает положительные значения.

Ответ: выражение не всегда положительно.

$(-a)^4 + 1$

Рассмотрим первую часть выражения, $(-a)^4$. Так как степень 4 является четной, знак минус внутри скобок не влияет на результат: $(-a)^4 = (-1 \cdot a)^4 = (-1)^4 \cdot a^4 = 1 \cdot a^4 = a^4$. Таким образом, все выражение эквивалентно $a^4 + 1$. Мы знаем, что $a^4 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет как минимум 1. То есть, $a^4 + 1 \ge 0 + 1$, что означает $a^4 + 1 \ge 1$. Так как 1 — положительное число, выражение всегда положительно.

Ответ: выражение всегда положительно.

$-a^4 + 6$

В этом выражении мы имеем $-a^4$. Поскольку $a^4 \ge 0$, то $-a^4 \le 0$. Это означает, что $-a^4$ всегда является неположительным числом. Хотя мы и прибавляем 6, если значение $a^4$ будет больше 6, все выражение станет отрицательным. Например, при $a=2$: $-(2^4) + 6 = -16 + 6 = -10$. Так как мы нашли значение $a$, при котором выражение отрицательно, оно не является всегда положительным.

Ответ: выражение не всегда положительно.

$(-1-a)^4$

Выражение в скобках $(-1-a)$ возводится в четную степень 4, поэтому результат всегда будет неотрицательным: $(-1-a)^4 \ge 0$. Однако, как и в первом случае, выражение может быть равно нулю. Это произойдет, если основание степени равно нулю: $-1-a = 0$, то есть при $a=-1$. В этом случае $(-1 - (-1))^4 = 0^4 = 0$. Ноль не является положительным числом, поэтому это выражение не подходит.

Ответ: выражение не всегда положительно.

$(a-8)^4 + 16$

Выражение $(a-8)^4$ всегда неотрицательно, так как возводится в четную степень: $(a-8)^4 \ge 0$. К этому неотрицательному значению прибавляется 16. Минимальное значение выражения будет тогда, когда $(a-8)^4$ будет минимальным, то есть равным 0 (это происходит при $a=8$). Минимальное значение всего выражения равно $0 + 16 = 16$. Так как $16 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: выражение всегда положительно.

$(-a-3)^4 + 1$

Сначала преобразуем выражение в скобках: $(-a-3) = -(a+3)$. Тогда $(-a-3)^4 = (-(a+3))^4 = (a+3)^4$. Это выражение всегда неотрицательно, так как возводится в четную степень: $(a+3)^4 \ge 0$. К этому неотрицательному значению прибавляется 1. Минимальное значение выражения достигается при $(a+3)^4 = 0$ (когда $a=-3$) и равно $0 + 1 = 1$. Так как $1 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: выражение всегда положительно.