Страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Зная, что $3^n = 729$, найдите значение выражения:

а) $3^{n+1} = $

б) $3^{n+2} : 9 = $

в) $3^{n+3} \cdot \frac{1}{9} = $

г) $3^{n+4} : 81 = $

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное условие $3^n = 729$ и свойства степеней.

а) $3^{n+1}$

Воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1$

Теперь подставим известное значение $3^n = 729$:

$3^n \cdot 3 = 729 \cdot 3$

Вычислим произведение:

$729 \cdot 3 = 2187$

Ответ: 2187

б) $3^{n+2} : 9$

Сначала представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

Теперь выражение выглядит так:

$3^{n+2} : 3^2$

Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

$3^{n+2} : 3^2 = 3^{(n+2)-2} = 3^n$

Согласно условию задачи, $3^n = 729$.

Ответ: 729

в) $3^{n+3} \cdot \frac{1}{9}$

Умножение на $\frac{1}{9}$ эквивалентно делению на 9. Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$3^{n+3} : 3^2$

Используем свойство деления степеней:

$3^{(n+3)-2} = 3^{n+1}$

Мы уже находили значение этого выражения в пункте а), но можем вычислить его еще раз. Используя свойство произведения степеней:

$3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1$

Подставляем $3^n = 729$:

$729 \cdot 3 = 2187$

Ответ: 2187

г) $3^{n+4} : 81$

Представим число 81 в виде степени с основанием 3. Так как $3^4 = 81$, выражение принимает вид:

$3^{n+4} : 3^4$

Применим свойство деления степеней:

$3^{(n+4)-4} = 3^n$

По условию, $3^n = 729$.

Ответ: 729

13. Найдите значение выражения:

a) $\underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \dots \cdot (-1)^n}_{16 \text{ раз}} = $

б) $\underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \dots \cdot (-1)^n}_{9 \text{ раз}} - (-1)^{4n} = $

а)

Данное выражение представляет собой произведение, в котором множитель $(-1)^n$ повторяется 16 раз. Используя свойство степени (произведение одинаковых множителей), мы можем записать это в виде: $$ \underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \ldots \cdot (-1)^n}_{16 \text{ раз}} = ((-1)^n)^{16} $$ Далее, по свойству возведения степени в степень $((a^m)^k = a^{m \cdot k})$, получаем: $$ ((-1)^n)^{16} = (-1)^{n \cdot 16} = (-1)^{16n} $$ Показатель степени $16n$ является произведением четного числа 16 и целого числа $n$. Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным числом.
Таким образом, показатель $16n$ — четное число. Число $-1$, возведенное в любую четную степень, равно $1$. Следовательно: $$ (-1)^{16n} = 1 $$

Ответ: $1$

б)

Рассмотрим выражение $ \underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \ldots \cdot (-1)^n}_{9 \text{ раз}} - (-1)^{4n} $.
Упростим каждую часть выражения по отдельности.

Первая часть — это произведение 9 множителей $(-1)^n$. Это можно записать как: $$ ((-1)^n)^9 = (-1)^{9n} $$ Используя свойство степени $(a^b)^c = (a^c)^b$, преобразуем выражение: $$ (-1)^{9n} = ((-1)^9)^n $$ Поскольку $(-1)$ в нечетной степени $9$ равно $-1$, получаем: $$ ((-1)^9)^n = (-1)^n $$

Вторая часть выражения — это $(-1)^{4n}$. Преобразуем ее аналогичным образом: $$ (-1)^{4n} = ((-1)^4)^n $$ Поскольку $(-1)$ в четной степени $4$ равно $1$, получаем: $$ ((-1)^4)^n = 1^n = 1 $$ (Это верно для любого целого $n$. В задачах такого типа обычно предполагается, что $n$ — целое число).

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение: $$ (-1)^n - 1 $$ Значение этого выражения зависит от четности числа $n$. Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $n$ — четное число, то $(-1)^n = 1$. В этом случае значение выражения равно: $$ 1 - 1 = 0 $$ 2. Если $n$ — нечетное число, то $(-1)^n = -1$. В этом случае значение выражения равно: $$ -1 - 1 = -2 $$

Ответ: $0$, если $n$ — четное число; $-2$, если $n$ — нечетное число.

14. Представьте произведение в виде степени:

а) $x^{m+2} \cdot x^{3+m} \cdot x =$

б) $a^{m+1} \cdot a^4 \cdot a^{2m} =$

в) $x^{m+3} \cdot x^{2m+1} \cdot x^{4+3m} =$

Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, необходимо основание оставить тем же, а показатели степеней сложить. Это следует из свойства степеней: $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$.

а) Дано произведение $x^{m+2} \cdot x^{3+m} \cdot x$.

Все множители имеют одинаковое основание $x$. Учтем, что $x$ можно записать как $x^1$.

Сложим показатели степеней: $(m+2) + (3+m) + 1$.

Сгруппируем подобные слагаемые и выполним сложение:

$(m+m) + (2+3+1) = 2m + 6$

Таким образом, исходное выражение равно $x^{2m+6}$.

Ответ: $x^{2m+6}$

б) Дано произведение $a^{m+1} \cdot a^4 \cdot a^{2m}$.

Основание у всех множителей одинаковое и равно $a$.

Сложим показатели степеней: $(m+1) + 4 + 2m$.

Сгруппируем подобные слагаемые и выполним сложение:

$(m+2m) + (1+4) = 3m + 5$

Таким образом, исходное выражение равно $a^{3m+5}$.

Ответ: $a^{3m+5}$

в) Дано произведение $x^{m+3} \cdot x^{2m+1} \cdot x^{4+3m}$.

Основание у всех множителей одинаковое и равно $x$.

Сложим показатели степеней: $(m+3) + (2m+1) + (4+3m)$.

Сгруппируем подобные слагаемые и выполним сложение:

$(m+2m+3m) + (3+1+4) = 6m + 8$

Таким образом, исходное выражение равно $x^{6m+8}$.

Ответ: $x^{6m+8}$

15. Зная, что $2^n=a$, найдите значение выражения:

a) $2^{n+2}=$

б) $-2^{n+1}=$

в) $2^{n+1} \cdot (-1)^7=$

г) $2^{n+2}-9a=$

а) Чтобы найти значение выражения $2^{n+2}$, воспользуемся свойством степеней $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2$

Мы знаем, что $2^2 = 4$. По условию задачи, $2^n = a$. Подставим эти значения в выражение:

$2^n \cdot 2^2 = a \cdot 4 = 4a$

Ответ: $4a$

б) Рассмотрим выражение $-2^{n+1}$. Сначала упростим $2^{n+1}$, используя то же свойство степеней:

$2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1 = 2^n \cdot 2$

Подставим известное значение $2^n = a$:

$2^n \cdot 2 = a \cdot 2 = 2a$

Теперь добавим знак минус, который был перед выражением:

$-2^{n+1} = -(2a) = -2a$

Ответ: $-2a$

в) Рассмотрим выражение $2^{n+1} \cdot (-1)^7$. Оно состоит из двух множителей. Упростим каждый из них.

Первый множитель мы уже упростили в пункте б): $2^{n+1} = 2a$.

Второй множитель — это $(-1)^7$. Так как 7 — нечетное число, то $(-1)$ в нечетной степени равно $-1$.

$(-1)^7 = -1$

Теперь перемножим полученные значения:

$2^{n+1} \cdot (-1)^7 = 2a \cdot (-1) = -2a$

Ответ: $-2a$

г) Чтобы найти значение выражения $2^{n+2} - 9a$, сначала преобразуем первое слагаемое $2^{n+2}$.

Как мы уже выяснили в пункте а), $2^{n+2} = 4a$.

Подставим это значение обратно в исходное выражение:

$2^{n+2} - 9a = 4a - 9a$

Выполним вычитание:

$4a - 9a = (4 - 9)a = -5a$

Ответ: $-5a$

1. На координатной плоскости (рис. 1) постройте график уравнения $2x - 5y = 10$, определив координаты двух его точек.

Рис. 1

Для построения графика уравнения $2x - 5y = 10$ на координатной плоскости необходимо найти координаты двух точек, удовлетворяющих этому уравнению. Для этого воспользуемся предложенной таблицей и найдем точки пересечения графика с осями координат.

1. Найдем координату y, когда x = 0

Подставим значение $x = 0$ в исходное уравнение:

$2 \cdot 0 - 5y = 10$

$0 - 5y = 10$

$-5y = 10$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -5:

$y = \frac{10}{-5}$

$y = -2$

Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; -2)$. Это точка пересечения графика с осью ординат (осью Y).

2. Найдем координату x, когда y = 0

Теперь подставим значение $y = 0$ в уравнение:

$2x - 5 \cdot 0 = 10$

$2x - 0 = 10$

$2x = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(5; 0)$. Это точка пересечения графика с осью абсцисс (осью X).

3. Построение графика

Мы нашли координаты двух точек. Заполним таблицу:

Для построения графика на координатной плоскости (рис. 1) нужно отметить точки $(0; -2)$ и $(5; 0)$ и провести через них прямую линию, так как график линейного уравнения — это прямая.

Ответ: Координаты двух точек, принадлежащих графику уравнения $2x - 5y = 10$, равны $(0; -2)$ и $(5; 0)$. График представляет собой прямую линию, проходящую через эти две точки.

2. На координатной плоскости (рис. 2) постройте графики уравнений $x=2,5$ и $x+4=0$.

Рис. 2

x = 2,5
Графиком уравнения вида $x=a$ является вертикальная прямая, которая проходит через точку $(a; 0)$ на оси абсцисс ($Ox$) и параллельна оси ординат ($Oy$).
Для уравнения $x=2,5$, это будет вертикальная прямая, проходящая через точку с координатой $2,5$ на оси $x$. Эта точка находится ровно посередине между делениями $2$ и $3$.
Ответ: Графиком является вертикальная прямая, проходящая через точку $(2,5; 0)$.

x + 4 = 0
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $x$:
$x + 4 = 0$
$x = -4$
Аналогично предыдущему случаю, графиком этого уравнения является вертикальная прямая, проходящая через точку $(-4; 0)$ на оси абсцисс ($Ox$) и параллельная оси ординат ($Oy$).
Ответ: Графиком является вертикальная прямая, проходящая через точку $(-4; 0)$.

На координатной плоскости эти графики будут выглядеть следующим образом (прямая $x=2,5$ синего цвета, прямая $x=-4$ красного цвета):

3. Из точек$A(1; 4)$, $B(-2; 9)$, $C(4; 0)$, $D(5; -5)$, $E(1,2; 26)$выберите те, которые принадлежат графику уравнения $2x + y = 5$.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику уравнения, необходимо подставить её координаты $(x; y)$ в данное уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Уравнение: $2x + y = 5$.

A(1; 4)

Подставим координаты точки A в уравнение, где $x=1$ и $y=4$:

$2 \cdot 1 + 4 = 2 + 4 = 6$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $6 \neq 5$. Равенство неверно.

Ответ: точка A(1; 4) не принадлежит графику уравнения.

B(-2; 9)

Подставим координаты точки B в уравнение, где $x=-2$ и $y=9$:

$2 \cdot (-2) + 9 = -4 + 9 = 5$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $5 = 5$. Равенство верно.

Ответ: точка B(-2; 9) принадлежит графику уравнения.

C(4; 0)

Подставим координаты точки C в уравнение, где $x=4$ и $y=0$:

$2 \cdot 4 + 0 = 8 + 0 = 8$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $8 \neq 5$. Равенство неверно.

Ответ: точка C(4; 0) не принадлежит графику уравнения.

D(5; -5)

Подставим координаты точки D в уравнение, где $x=5$ и $y=-5$:

$2 \cdot 5 + (-5) = 10 - 5 = 5$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $5 = 5$. Равенство верно.

Ответ: точка D(5; -5) принадлежит графику уравнения.

E(1,2; 26)

Подставим координаты точки E в уравнение, где $x=1,2$ и $y=26$:

$2 \cdot 1.2 + 26 = 2.4 + 26 = 28.4$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $28,4 \neq 5$. Равенство неверно.

Ответ: точка E(1,2; 26) не принадлежит графику уравнения.

Таким образом, из предложенных точек графику уравнения $2x + y = 5$ принадлежат точки B(-2; 9) и D(5; -5).