Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

10. Не вычисляя значения выражения, сравните его с нулём. Результат сравнения покажите с помощью стрелки.

$(-76)^3 + 76^3$

меньше нуля

$(-76)^5 - (-76)^2$

$(-76)^5 - 76^5$

равно нулю

$(-76)^3 + (-76)$

$(-76)^2 + 76$

больше нуля

$(-76)^{12} + (-76)^{13}$

$(-76)^3 + 76^3$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством степени: отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным. Таким образом, $(-a)^n = -a^n$, если $n$ - нечетное число. В данном выражении степень 3 является нечетной, поэтому:

$(-76)^3 = -76^3$

Подставим это в исходное выражение:

$-76^3 + 76^3 = 0$

Выражение представляет собой сумму двух противоположных чисел, которая равна нулю.

Ответ: равно нулю.

$(-76)^5 - 76^5$

Степень 5 является нечетной, поэтому, как и в предыдущем примере, $(-76)^5 = -76^5$.

Заменим $(-76)^5$ в выражении:

$-76^5 - 76^5 = -2 \cdot 76^5$

Число $76^5$ является положительным. При умножении на -2 результат будет отрицательным.

Ответ: меньше нуля.

$(-76)^2 + 76$

Воспользуемся свойством степени: отрицательное число в четной степени становится положительным. Таким образом, $(-a)^n = a^n$, если $n$ - четное число. В данном выражении степень 2 является четной, поэтому:

$(-76)^2 = 76^2$

Подставим это в исходное выражение:

$76^2 + 76$

Выражение представляет собой сумму двух положительных чисел ($76^2 > 0$ и $76 > 0$), результат которой всегда будет положительным числом.

Ответ: больше нуля.

$(-76)^5 - (-76)^2$

Оценим знаки каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $(-76)^5$. Так как степень 5 нечетная, результат будет отрицательным: $(-76)^5 = -76^5 < 0$.

Второе слагаемое: $(-76)^2$. Так как степень 2 четная, результат будет положительным: $(-76)^2 = 76^2 > 0$.

Исходное выражение можно переписать как:

$(-76^5) - (76^2)$

Мы вычитаем положительное число из отрицательного. Результат такой операции всегда будет отрицательным числом.

Ответ: меньше нуля.

$(-76)^3 + (-76)$

Рассмотрим оба слагаемых:

Первое слагаемое: $(-76)^3$. Степень 3 нечетная, поэтому результат отрицательный: $(-76)^3 < 0$.

Второе слагаемое: $(-76)$ также является отрицательным числом.

Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом.

Ответ: меньше нуля.

$(-76)^{12} + (-76)^{13}$

Оценим знаки и величину каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $(-76)^{12}$. Степень 12 четная, поэтому результат будет положительным: $(-76)^{12} = 76^{12}$.

Второе слагаемое: $(-76)^{13}$. Степень 13 нечетная, поэтому результат будет отрицательным: $(-76)^{13} = -76^{13}$.

Подставим эти значения в выражение:

$76^{12} + (-76^{13}) = 76^{12} - 76^{13}$

Теперь сравним по модулю числа $76^{12}$ и $76^{13}$.

Так как $76 > 1$, то $76^{13} = 76^{12} \cdot 76 > 76^{12}$.

Мы вычитаем из меньшего положительного числа большее положительное число. Результат будет отрицательным. Также можно вынести общий множитель за скобки:

$76^{12} \cdot (1 - 76) = 76^{12} \cdot (-75)$

Произведение положительного числа ($76^{12}$) и отрицательного числа ($-75$) является отрицательным числом.

Ответ: меньше нуля.

11. Используя калькулятор, выполните возведение в степень:

а) $13^4 = ....................

б) $27^3 = ....................

в) $(-15)^4 = ....................

г) $(-7)^5 = ....................

а) Для того чтобы возвести число $13$ в четвертую степень, необходимо умножить это число само на себя четыре раза.
$13^4 = 13 \times 13 \times 13 \times 13 = 28561$
Промежуточные вычисления:
$13 \times 13 = 169$
$169 \times 13 = 2197$
$2197 \times 13 = 28561$
Ответ: 28561.

б) Чтобы возвести число $27$ в третью степень (в куб), нужно умножить это число само на себя три раза.
$27^3 = 27 \times 27 \times 27 = 19683$
Промежуточные вычисления:
$27 \times 27 = 729$
$729 \times 27 = 19683$
Ответ: 19683.

в) При возведении отрицательного числа $(-15)$ в четную степень (в данном случае 4), результат будет положительным числом.
$(-15)^4 = (-15) \times (-15) \times (-15) \times (-15) = 15^4 = 50625$
Промежуточные вычисления:
$15 \times 15 = 225$
$225 \times 15 = 3375$
$3375 \times 15 = 50625$
Ответ: 50625.

г) При возведении отрицательного числа $(-7)$ в нечетную степень (в данном случае 5), результат будет отрицательным числом.
$(-7)^5 = (-7) \times (-7) \times (-7) \times (-7) \times (-7) = - (7^5) = -16807$
Промежуточные вычисления:
$7 \times 7 = 49$
$49 \times 7 = 343$
$343 \times 7 = 2401$
$2401 \times 7 = 16807$
Ответ: -16807.

12. Найдите с помощью калькулятора значение выражения (ответ округлите до 0,01):

а) $1,5^4 \cdot 3,2 \approx$ ..........................

б) $5,1 \cdot 4,1^3 \approx$ ..........................

в) $1,3^3 : 5,4^2 \approx$ ..........................

г) $2,6^4 \cdot 1,2^3 \approx$ ..........................

а) Для нахождения значения выражения $1,5^4 \cdot 3,2$ необходимо выполнить следующие действия:
1. Возвести число $1,5$ в четвертую степень. Это можно сделать, последовательно умножая число на себя:
$1,5^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25$
$1,5^4 = 1,5^2 \cdot 1,5^2 = 2,25 \cdot 2,25 = 5,0625$
2. Умножить полученный результат на $3,2$:
$5,0625 \cdot 3,2 = 16,2$
3. Округлить результат до сотых ($0,01$). Число $16,2$ можно записать как $16,20$.
Ответ: $16,20$.

б) Для нахождения значения выражения $5,1 \cdot 4,1^3$ необходимо выполнить следующие действия:
1. Возвести число $4,1$ в третью степень:
$4,1^2 = 4,1 \cdot 4,1 = 16,81$
$4,1^3 = 16,81 \cdot 4,1 =

13. Объём $V$ шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара, $\pi \approx 3,14$. Вычислите с помощью калькулятора объём шара, если $R=2,5$ см. Ответ округлите до 0,01.

Ответ: $V \approx$ .......................

Для вычисления объёма шара воспользуемся предоставленной формулой:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

• Радиус шара: $R = 2,5$ см
• Приближенное значение числа пи: $\pi \approx 3,14$

Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

$V \approx \frac{4}{3} \times 3,14 \times (2,5)^3$

1. Сначала вычислим значение радиуса в кубе:

$(2,5)^3 = 2,5 \times 2,5 \times 2,5 = 6,25 \times 2,5 = 15,625$

2. Теперь подставим это значение обратно в нашу формулу:

$V \approx \frac{4}{3} \times 3,14 \times 15,625$

3. Выполним умножение в числителе:

$4 \times 3,14 \times 15,625 = 12,56 \times 15,625 = 196,25$

4. Теперь разделим полученный результат на 3:

$V \approx \frac{196,25}{3} \approx 65,41666...$

5. По условию задачи, результат необходимо

14. Фигура состоит из прямоугольника, длина которого втрое больше ширины, и двух полукругов, радиус каждого из которых равен половине ширины прямоугольника. Составьте формулу для вычисления площади $S$ фигуры, если известно, что ширина прямоугольника равна $a$ см (площадь круга равна $\pi R^2$, где $R$ — радиус круга, $\pi \approx 3,14$):

Используя калькулятор, вычислите, чему равна площадь $S$ (с точностью до 0,01), если $a = 15$ см.

Ответ: $S \approx$

Составьте формулу для вычисления площади S фигуры, если известно, что ширина прямоугольника равна a см (площадь круга равна πR², где R — радиус круга, π ≈ 3,14):

Фигура состоит из двух частей: центрального прямоугольника и двух полукругов по его бокам. Общая площадь $S$ фигуры будет равна сумме площади прямоугольника ($S_{пр}$) и площади двух полукругов.

1. Найдем площадь прямоугольника.
По условию, ширина прямоугольника равна $a$ см.
Длина прямоугольника втрое больше ширины, следовательно, она равна $3a$ см.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = \text{длина} \times \text{ширина}$.
$S_{пр} = 3a \cdot a = 3a^2$ см$^2$.

2. Найдем площадь двух полукругов.
Два полукруга с одинаковым радиусом вместе образуют один целый круг.
Радиус $R$ каждого полукруга равен половине ширины прямоугольника, то есть $R = \frac{a}{2}$ см.
Площадь круга вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi R^2$.
Подставим наше значение радиуса:
$S_{кр} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4}$ см$^2$.

3. Найдем общую площадь фигуры.
Общая площадь $S$ равна сумме площади прямоугольника и площади круга:
$S = S_{пр} + S_{кр} = 3a^2 + \frac{\pi a^2}{4}$.

Ответ: $S = 3a^2 + \frac{\pi a^2}{4}$

Используя калькулятор, вычислите, чему равна площадь S (с точностью до 0,01), если a=15 см.

Воспользуемся выведенной формулой и подставим в нее известные значения: $a = 15$ см и $\pi \approx 3,14$.
$S \approx 3 \cdot (15)^2 + \frac{3,14 \cdot (15)^2}{4}$
Сначала вычислим $15^2$:
$15^2 = 225$
Теперь подставим это значение в формулу:
$S \approx 3 \cdot 225 + \frac{3,14 \cdot 225}{4}$
$S \approx 675 + \frac{706,5}{4}$
$S \approx 675 + 176,625$
$S \approx 851,625$
Округлим результат до сотых (до двух знаков после запятой). Так как третья цифра после запятой равна 5, вторую цифру увеличиваем на единицу.
$S \approx 851,63$ см$^2$.

Ответ: $S \approx 851,63$ см$^2$.

5. Из данного уравнения выразите переменную $y$ через $x$:

$2x - 3y = 6; -3y = 6 - 2x; 3y = 2x - 6; y = \frac{2}{3}x - 2$

а) $4x + y = 12:$

б) $3x + 2y = 4:$

в) $5x - 3y = 15:$

а) Дано уравнение $4x + y = 12$.
Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, необходимо изолировать $y$ в левой части уравнения. Для этого перенесем слагаемое $4x$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.
$y = 12 - 4x$
Для удобства записи, поменяем местами слагаемые в правой части, чтобы получить стандартный вид линейной функции $y = kx + b$.
$y = -4x + 12$
Ответ: $y = -4x + 12$

б) Дано уравнение $3x + 2y = 4$.
Сначала изолируем слагаемое, содержащее $y$, то есть $2y$. Перенесем $3x$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$2y = 4 - 3x$
Запишем правую часть в стандартном виде:
$2y = -3x + 4$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 2.
$y = \frac{-3x + 4}{2}$
Разделим каждый член в числителе на знаменатель:
$y = -\frac{3}{2}x + \frac{4}{2}$
Упростим выражение:
$y = -\frac{3}{2}x + 2$
Ответ: $y = -\frac{3}{2}x + 2$

в) Дано уравнение $5x - 3y = 15$.
Изолируем слагаемое $-3y$. Для этого перенесем $5x$ в правую часть уравнения, поменяв знак.
$-3y = 15 - 5x$
Чтобы избавиться от знака "минус" перед $y$, умножим обе части уравнения на -1. При этом знаки всех слагаемых изменятся на противоположные.
$3y = -15 + 5x$
Запишем правую часть в стандартном виде:
$3y = 5x - 15$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 3.
$y = \frac{5x - 15}{3}$
Разделим каждый член в числителе на знаменатель:
$y = \frac{5}{3}x - \frac{15}{3}$
Упростим выражение:
$y = \frac{5}{3}x - 5$
Ответ: $y = \frac{5}{3}x - 5$

6. Найдите значение коэффициента $c$ в уравнении $cu - 4v = 5$, если известно, что пара чисел $u = -1$, $v = 2$ служит решением этого уравнения.

По условию задачи известно, что пара чисел $u = -1$ и $v = 2$ является решением уравнения $cu - 4v = 5$. Это значит, что при подстановке данных значений $u$ и $v$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство.

Подставим значения переменных в исходное уравнение:
$c \cdot (-1) - 4 \cdot 2 = 5$

Теперь выполним вычисления и упростим полученное выражение:
$-c - 8 = 5$

Мы получили простое линейное уравнение относительно переменной $c$. Чтобы его решить, перенесем слагаемое $-8$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$-c = 5 + 8$
$-c = 13$

Чтобы найти значение $c$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$c = -13$

Таким образом, мы нашли, что коэффициент $c$ равен -13.

Ответ: -13

7. Среди решений уравнения $5x - 2y = 14$ найдите такую пару, которая состоит из противоположных чисел.

По условию задачи требуется найти решение уравнения $5x - 2y = 14$, которое состоит из пары противоположных чисел.

Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки. Это означает, что для искомой пары $(x, y)$ должно выполняться условие $y = -x$.

Подставим это условие в исходное уравнение:

$5x - 2(-x) = 14$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $x$:

$5x + 2x = 14$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7}$

$x = 2$

Зная $x$, найдем соответствующее значение $y$ из условия $y = -x$:

$y = -2$

Таким образом, искомая пара чисел, которая является решением уравнения и состоит из противоположных чисел, — это $(2, -2)$.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения в исходное уравнение:

$5(2) - 2(-2) = 10 + 4 = 14$

$14 = 14$

Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(2, -2)$.

8. Найдите все способы, которыми можно составить сумму в 45 р. из десятирублёвых и пятирублёвых монет.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество десятирублёвых монет, а $y$ — количество пятирублёвых монет. Тогда общая сумма, составленная из этих монет, может быть выражена формулой:

$10x + 5y = 45$

Поскольку количество монет не может быть отрицательным или дробным, $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами ($x \ge 0$, $y \ge 0$).

Мы можем упростить уравнение, разделив обе его части на 5:

$2x + y = 9$

Выразим $y$ через $x$:

$y = 9 - 2x$

Так как $y$ должно быть неотрицательным ($y \ge 0$), мы получаем неравенство:

$9 - 2x \ge 0$

$9 \ge 2x$

$x \le 4.5$

Учитывая, что $x$ — целое неотрицательное число, возможные значения для $x$ это: 0, 1, 2, 3, 4. Теперь найдем соответствующее значение $y$ для каждого возможного $x$.

Переберём все возможные варианты:

1. Если $x = 0$ (0 десятирублёвых монет), то $y = 9 - 2 \cdot 0 = 9$ (9 пятирублёвых монет).
Проверка: $10 \cdot 0 + 5 \cdot 9 = 0 + 45 = 45$ р.

2. Если $x = 1$ (1 десятирублёвая монета), то $y = 9 - 2 \cdot 1 = 7$ (7 пятирублёвых монет).
Проверка: $10 \cdot 1 + 5 \cdot 7 = 10 + 35 = 45$ р.

3. Если $x = 2$ (2 десятирублёвые монеты), то $y = 9 - 2 \cdot 2 = 5$ (5 пятирублёвых монет).
Проверка: $10 \cdot 2 + 5 \cdot 5 = 20 + 25 = 45$ р.

4. Если $x = 3$ (3 десятирублёвые монеты), то $y = 9 - 2 \cdot 3 = 3$ (3 пятирублёвые монеты).
Проверка: $10 \cdot 3 + 5 \cdot 3 = 30 + 15 = 45$ р.

5. Если $x = 4$ (4 десятирублёвые монеты), то $y = 9 - 2 \cdot 4 = 1$ (1 пятирублёвая монета).
Проверка: $10 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 40 + 5 = 45$ р.

Если $x$ будет равно 5 или больше, то значение $y$ станет отрицательным, что невозможно. Таким образом, мы нашли все возможные способы.

Ответ: Существует 5 способов составить сумму в 45 рублей:
1) 0 десятирублёвых монет и 9 пятирублёвых монет;
2) 1 десятирублёвая монета и 7 пятирублёвых монет;
3) 2 десятирублёвые монеты и 5 пятирублёвых монет;
4) 3 десятирублёвые монеты и 3 пятирублёвые монеты;
5) 4 десятирублёвые монеты и 1 пятирублёвая монета.