Страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

10. В какой точке пересекает ось x график функции, заданной формулой:

а) $y = 0.2x - 18$;

б) $y = -\frac{1}{5}x + 4$?

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью абсцисс (осью $x$), необходимо найти такое значение $x$, при котором координата $y$ равна нулю. Это связано с тем, что любая точка, лежащая на оси $x$, имеет ординату (координату $y$), равную 0. Поэтому для нахождения точки пересечения нужно в уравнении функции подставить $y = 0$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

а)

Рассмотрим функцию, заданную формулой $y = 0,2x - 18$.

Подставим $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = 0,2x - 18$

Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем свободный член (-18) в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$18 = 0,2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 0,2:

$x = \frac{18}{0,2}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичного знака:

$x = \frac{18 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{180}{2}$

$x = 90$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Ордината, как мы установили ранее, равна 0. Следовательно, график функции пересекает ось $x$ в точке с координатами $(90; 0)$.

Ответ: $(90; 0)$.

б)

Рассмотрим функцию, заданную формулой $y = -\frac{1}{5}x + 4$.

Аналогично предыдущему пункту, подставим $y = 0$ в уравнение:

$0 = -\frac{1}{5}x + 4$

Решим полученное уравнение. Перенесем член, содержащий $x$, в левую часть, изменив его знак:

$\frac{1}{5}x = 4$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 5:

$x = 4 \cdot 5$

$x = 20$

Абсцисса точки пересечения равна 20, а ордината равна 0. Таким образом, график данной функции пересекает ось $x$ в точке с координатами $(20; 0)$.

Ответ: $(20; 0)$.

11. Из рисунков 7, а, 7, б, 7, в выберите тот, на котором изображён график линейной функции, не содержащий ни одной точки, расположенной в четвёртой координатной четверти.

a) $y$
$x$
$0$

б) $y$
$x$
$0$

в) $y$
$x$
$0$

Рис. 7

Для решения задачи необходимо проанализировать каждый из представленных графиков и определить, пересекает ли он четвёртую координатную четверть. Точки, расположенные в четвёртой координатной четверти, имеют положительную абсциссу ($x>0$) и отрицательную ординату ($y<0$).

а) График является прямой линией с отрицательным наклоном (убывающая функция), пересекающей ось $OY$ в точке $y > 0$. При движении вправо по оси $OX$, прямая пересекает её в точке с положительной абсциссой и уходит в область, где $y < 0$. Таким образом, существуют точки, где $x > 0$ и $y < 0$. Этот график проходит через IV четверть.

б) График является прямой линией с положительным наклоном (возрастающая функция), пересекающей ось $OY$ в точке $y > 0$. Уравнение этой прямой имеет вид $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k > 0$ и точка пересечения с осью ординат $b > 0$. Если абсцисса $x > 0$, то и произведение $kx > 0$. Следовательно, ордината $y = kx + b$ будет больше, чем $b$, то есть $y > b > 0$. Это означает, что для любого $x>0$ значение $y$ также будет положительным. Таким образом, график не содержит точек в IV четверти. Он проходит через I, II и III четверти.

в) График является прямой линией с положительным наклоном (возрастающая функция), пересекающей ось $OY$ в точке $y < 0$. Существует интервал значений $x$ между нулём и точкой пересечения с осью $OX$, где абсцисса $x$ положительна, а ордината $y$ — отрицательна. Следовательно, этот график проходит через IV четверть.

Сравнив все три графика, мы видим, что только график на рисунке б) не содержит ни одной точки, расположенной в четвёртой координатной четверти.
Ответ: б.

12. Из четырёх линейных функций выберите две, графики которых параллельны. Подчеркните соответствующие им формулы:

$y=-x+5$, $y=2x-5$, $y=5-2x$, $y=2-x$.

Общий вид линейной функции — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (точка пересечения с осью $y$). Графики двух линейных функций параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты $k$ равны, а свободные члены $b$ различны.

Проанализируем каждую из представленных функций, чтобы найти их угловые коэффициенты:

$y = -x + 5$
Эта функция уже записана в стандартном виде. Угловой коэффициент $k_1 = -1$.

$y = 2x - 5$
Функция в стандартном виде. Угловой коэффициент $k_2 = 2$.

$y = 5 - 2x$
Приведем к стандартному виду, поменяв слагаемые местами: $y = -2x + 5$. Угловой коэффициент $k_3 = -2$.

$y = 2 - x$
Приведем к стандартному виду: $y = -x + 2$. Угловой коэффициент $k_4 = -1$.

Сравнив угловые коэффициенты, мы видим, что у первой и четвертой функций они совпадают: $k_1 = k_4 = -1$. При этом их свободные члены различны ($5 \neq 2$). Это означает, что графики данных функций параллельны.

В соответствии с заданием, подчеркнем искомые формулы.

Ответ: $y = -x + 5$, $y = 2x - 5$, $y = 5 - 2x$, $y = 2 - x$.

13. Функция задана формулой $y=-0,5x+2$. Заполните таблицу:

$-0,5x+2=-2$; $-0,5x=-4$; $x=4:0,5=8$

Для заполнения таблицы используется формула функции $y = -0,5x + 2$. Для каждого столбца с пропуском необходимо выполнить вычисление: либо найти значение `y` по известному `x`, либо найти значение `x` по известному `y`.

Для x = -1

Подставляем известное значение $x = -1$ в формулу функции, чтобы найти `y`:

$y = -0,5 \cdot (-1) + 2 = 0,5 + 2 = 2,5$

Ответ: y = 2,5.

Для y = 2

Подставляем известное значение $y = 2$ в формулу и решаем получившееся уравнение относительно `x`:

$2 = -0,5x + 2$

$0 = -0,5x$

$x = 0$

Ответ: x = 0.

Для x = 4

Подставляем $x = 4$ в формулу функции:

$y = -0,5 \cdot 4 + 2 = -2 + 2 = 0$

Ответ: y = 0.

Для x = 6

Подставляем $x = 6$ в формулу функции:

$y = -0,5 \cdot 6 + 2 = -3 + 2 = -1$

Ответ: y = -1.

Для y = 0

Подставляем известное значение $y = 0$ в формулу и решаем уравнение:

$0 = -0,5x + 2$

$0,5x = 2$

$x = \frac{2}{0,5} = 4$

Ответ: x = 4.

Для x = 10

Подставляем $x = 10$ в формулу функции:

$y = -0,5 \cdot 10 + 2 = -5 + 2 = -3$

Ответ: y = -3.

В результате получаем следующую заполненную таблицу:

4. Представьте в виде произведения:

а) $8a^3 - 0.001 = $

б) $16a^4 - 1 = $

в) $a^6 - 64 = $

г) $a^8 - 81 = $

Данное выражение является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба: $8a^3 = (2a)^3$ и $0,001 = (0,1)^3$.

Следовательно, в нашем случае $x = 2a$ и $y = 0,1$. Подставим эти значения в формулу:

$8a^3 - 0,001 = (2a)^3 - (0,1)^3 = (2a - 0,1)((2a)^2 + 2a \cdot 0,1 + (0,1)^2) = (2a - 0,1)(4a^2 + 0,2a + 0,01)$.

Ответ: $(2a - 0,1)(4a^2 + 0,2a + 0,01)$

Это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим слагаемые в виде квадратов: $16a^4 = (4a^2)^2$ и $1 = 1^2$.

Применяя формулу, получаем: $16a^4 - 1 = (4a^2)^2 - 1^2 = (4a^2 - 1)(4a^2 + 1)$.

Заметим, что первый множитель $(4a^2 - 1)$ также является разностью квадратов, так как $4a^2 = (2a)^2$. Разложим его дальше:

$4a^2 - 1 = (2a)^2 - 1^2 = (2a - 1)(2a + 1)$.

Множитель $(4a^2 + 1)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, итоговое разложение имеет вид: $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$.

Ответ: $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$

Это выражение можно разложить как разность квадратов, используя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим слагаемые в виде квадратов: $a^6 = (a^3)^2$ и $64 = 8^2$.

Применяем формулу: $a^6 - 64 = (a^3)^2 - 8^2 = (a^3 - 8)(a^3 + 8)$.

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов $(a^3 - 8)$ и сумма кубов $(a^3 + 8)$. Разложим каждый из них.

Для разности кубов используем формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Для суммы кубов используем формулу $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Собираем все множители вместе: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4)$.

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4)$

Данное выражение является разностью квадратов. Последовательно применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

На первом шаге представим слагаемые как квадраты: $a^8 = (a^4)^2$ и $81 = 9^2$.

$a^8 - 81 = (a^4)^2 - 9^2 = (a^4 - 9)(a^4 + 9)$.

Первый множитель $(a^4 - 9)$ снова является разностью квадратов. Разложим его, представив $a^4 = (a^2)^2$ и $9 = 3^2$.

$a^4 - 9 = (a^2)^2 - 3^2 = (a^2 - 3)(a^2 + 3)$.

Подставив результат, получим: $(a^2 - 3)(a^2 + 3)(a^4 + 9)$.

Полученные множители $(a^2 - 3)$, $(a^2 + 3)$ и $(a^4 + 9)$ являются неприводимыми над полем рациональных чисел (то есть не раскладываются на множители с целыми или дробными коэффициентами). На этом разложение обычно завершают.

Ответ: $(a^2 - 3)(a^2 + 3)(a^4 + 9)$

5. Разложите на множители многочлен $a^{12} - b^{12}$, представив его сначала в виде разности квадратов, а затем в виде разности кубов:

$a^{12} - b^{12} = (a^6)^2 - (b^6)^2 = \dots$

...

...

...

$a^{12} - b^{12} = (a^4)^3 - (b^4)^3 = \dots$

...

...

...

$a^{12} - b^{12} = (a^6)^2 - (b^6)^2 =$ ...

Чтобы разложить многочлен $a^{12} - b^{12}$ на множители, представив его как разность квадратов, воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x = a^6$ и $y = b^6$.

$a^{12} - b^{12} = (a^6)^2 - (b^6)^2 = (a^6 - b^6)(a^6 + b^6)$

Теперь необходимо разложить на множители каждый из полученных двучленов: $a^6 - b^6$ и $a^6 + b^6$.

Двучлен $a^6 - b^6$ представим как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$ и далее разложим, используя формулы разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ и суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Двучлен $a^6 + b^6$ раскладывается как сумма кубов, где $x=a^2$ и $y=b^2$:

$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)( (a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2 ) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Объединим все полученные множители. Итоговое разложение будет произведением всех найденных множителей, сгруппированных для удобства:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Ответ: $(a^6 - b^6)(a^6 + b^6) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$

$a^{12} - b^{12} = (a^4)^3 - (b^4)^3 =$ ...

Теперь разложим тот же многочлен, представив его как разность кубов. Применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В этом случае $x = a^4$ и $y = b^4$.

$a^{12} - b^{12} = (a^4)^3 - (b^4)^3 = (a^4 - b^4)( (a^4)^2 + a^4b^4 + (b^4)^2 ) = (a^4 - b^4)(a^8 + a^4b^4 + b^8)$

Далее разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель $a^4 - b^4$ раскладывается как разность квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

Второй множитель $a^8 + a^4b^4 + b^8$ можно разложить методом дополнения до полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов:

$a^8 + a^4b^4 + b^8 = (a^8 + 2a^4b^4 + b^8) - a^4b^4 = (a^4 + b^4)^2 - (a^2b^2)^2 = (a^4 + b^4 - a^2b^2)(a^4 + b^4 + a^2b^2)$

Многочлен $a^4 + a^2b^2 + b^4$ из полученного произведения можно также разложить, дополнив до полного квадрата:

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = (a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab)$

Соберем все множители вместе. Итоговое разложение, как и должно быть, совпадает с результатом, полученным в первой части:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Ответ: $(a^4 - b^4)(a^8 + a^4b^4 + b^8) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$