Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой:

а) $y = \frac{x}{2}$;

б) $y = x + 2$;

в) $y = -3x$;

г) $y = 4x^2$?

Ответ: а) .............. б) ..............

в) .............. г) ..............

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число (коэффициент пропорциональности). График прямой пропорциональности — это прямая, проходящая через начало координат.

Проанализируем каждую из предложенных функций:

а) Функция $y = \frac{x}{2}$.
Эту формулу можно представить в виде $y = \frac{1}{2}x$. Данный вид полностью соответствует формуле прямой пропорциональности $y = kx$, где коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
Ответ: да, является.

б) Функция $y = x + 2$.
Эта функция является линейной, но не прямой пропорциональностью, так как она задана формулой вида $y = kx + b$, где $k=1$ и $b=2$. Из-за наличия слагаемого $b=2$, график этой функции не проходит через начало координат (при $x=0$, $y=2$).
Ответ: нет, не является.

в) Функция $y = -3x$.
Эта формула соответствует виду $y = kx$, где коэффициент пропорциональности $k = -3$.
Ответ: да, является.

г) Функция $y = 4x^2$.
В данной функции переменная $x$ возведена в квадрат. Это не соответствует формуле прямой пропорциональности $y = kx$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
Ответ: нет, не является.

2. На координатной плоскости постройте график функции $y = 2,5x$. Принадлежит ли этому графику точка $M(-2; 5)$?

Ответ:

На координатной плоскости постройте график функции $y = 2,5x$.

Данная функция $y = 2,5x$ является прямой пропорциональностью, ее график — это прямая линия, проходящая через начало координат. Для построения прямой нам необходимо найти координаты еще одной точки.

Составим таблицу значений для двух точек:

Мы получили две точки: $(0; 0)$ и $(2; 5)$.
Чтобы построить график, нужно отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Точка $(0; 0)$ — это начало координат. Точка $(2; 5)$ находится, если от начала координат отступить на 2 единицы вправо по оси $x$ и на 5 единиц вверх по оси $y$.

Ответ: График функции $y = 2,5x$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(2; 5)$.

Принадлежит ли этому графику точка M(-2; 5)?

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты в уравнение функции. У точки $M$ координаты $x = -2$ и $y = 5$.

Подставляем эти значения в уравнение $y = 2,5x$:
$5 = 2,5 \cdot (-2)$
$5 = -5$

Полученное равенство $5 = -5$ является неверным. Следовательно, точка $M(-2; 5)$ не лежит на прямой $y = 2,5x$.

Ответ: Нет, точка M(-2; 5) не принадлежит графику функции.

3. На рисунке изображены графики функций $y=4x$, $y=-4x$, $y=\frac{1}{4}x$, $y=-\frac{1}{4}x$. Около каждого графика напишите соответствующую функцию.

Все представленные функции имеют вид $y=kx$. Это линейные функции, графики которых — прямые, проходящие через начало координат (0,0). Угловой коэффициент $k$ определяет наклон и направление прямой.

• Если $k > 0$, функция возрастает, и её график лежит в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, функция убывает, и её график лежит во II и IV координатных четвертях.
• Чем больше абсолютное значение коэффициента $|k|$, тем «круче» идет прямая, то есть она расположена ближе к оси Y.

Исходя из этих правил, сопоставим каждую функцию с её графиком:

$y=4x$

Коэффициент $k=4$. Так как $k>0$, график является возрастающей прямой в I и III четвертях. Так как $|k|=4$ — это наибольшее значение модуля коэффициента среди всех функций, то этот график будет самым крутым (ближайшим к оси Y). Для проверки можно взять точку: при $x=1$ получаем $y=4 \cdot 1 = 4$. График действительно проходит через точку $(1, 4)$.

Ответ: Этому уравнению соответствует самая крутая прямая, проходящая через I и III координатные четверти.

$y=-4x$

Коэффициент $k=-4$. Так как $k<0$, график является убывающей прямой во II и IV четвертях. Так как $|k|=4$, это самый крутой из убывающих графиков. Для проверки: при $x=1$ получаем $y=-4 \cdot 1 = -4$. График проходит через точку $(1, -4)$.

Ответ: Этому уравнению соответствует самая крутая прямая, проходящая через II и IV координатные четверти.

$y=\frac{1}{4}x$

Коэффициент $k=\frac{1}{4}$. Так как $k>0$, график является возрастающей прямой в I и III четвертях. Так как $|k|=\frac{1}{4}$ — это наименьшее значение модуля коэффициента, то этот график будет самым пологим (ближайшим к оси X). Для проверки: при $x=4$ получаем $y=\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. График проходит через точку $(4, 1)$.

Ответ: Этому уравнению соответствует самая пологая прямая, проходящая через I и III координатные четверти.

$y=-\frac{1}{4}x$

Коэффициент $k=-\frac{1}{4}$. Так как $k<0$, график является убывающей прямой во II и IV четвертях. Так как $|k|=\frac{1}{4}$, это самый пологий из убывающих графиков. Для проверки: при $x=4$ получаем $y=-\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$. График проходит через точку $(4, -1)$.

Ответ: Этому уравнению соответствует самая пологая прямая, проходящая через II и IV координатные четверти.

10. Укажите все натуральные числа, являющиеся делителями суммы:

а) $5^3 + 3^3 = ...

искомые числа: ...

б) $8^3 + 6^3 = ...

искомые числа: ...

в) $7^3 + 5^3 = ...

искомые числа: ...

а) Чтобы найти все натуральные делители суммы $5^3 + 3^3$, необходимо сначала вычислить значение этого выражения.
$5^3 + 3^3 = 125 + 27 = 152$.
Далее, разложим полученное число на простые множители:
$152 = 2 \cdot 76 = 2 \cdot 2 \cdot 38 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 19 = 2^3 \cdot 19^1$.
Все натуральные делители числа $152$ получаются путем всевозможных комбинаций его простых множителей. Делителями будут числа вида $2^k \cdot 19^m$, где $k$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$, а $m$ — значения $0, 1$.
Перечислим их в порядке возрастания:
$2^0 \cdot 19^0 = 1$
$2^1 \cdot 19^0 = 2$
$2^2 \cdot 19^0 = 4$
$2^3 \cdot 19^0 = 8$
$2^0 \cdot 19^1 = 19$
$2^1 \cdot 19^1 = 38$
$2^2 \cdot 19^1 = 76$
$2^3 \cdot 19^1 = 152$
Ответ: 1, 2, 4, 8, 19, 38, 76, 152.

б) Вычислим сумму $8^3 + 6^3$:
$8^3 + 6^3 = 512 + 216 = 728$.
Разложим число 728 на простые множители:
$728 = 2 \cdot 364 = 2^2 \cdot 182 = 2^3 \cdot 91 = 2^3 \cdot 7^1 \cdot 13^1$.
Натуральные делители числа 728 — это все возможные произведения его простых множителей. Чтобы найти их все, составим комбинации множителей $2, 7, 13$ в соответствующих степенях.
Делители: 1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728.
Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728.

в) Вычислим сумму $7^3 + 5^3$:
$7^3 + 5^3 = 343 + 125 = 468$.
Разложим число 468 на простые множители:
$468 = 2 \cdot 234 = 2^2 \cdot 117 = 2^2 \cdot 9 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^1$.
Делители числа $468$ являются произведениями множителей $2, 3, 13$ в степенях от нуля до указанных в разложении.
Делители, не содержащие 13 (делители числа $2^2 \cdot 3^2=36$): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Делители, содержащие 13 (получаются умножением предыдущего списка на 13): 13, 26, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468.
Объединяя и упорядочивая оба списка, получаем все натуральные делители.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 18, 26, 36, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468.

11. Докажите, что:

а) значение выражения $27^3 + 23^3$ делится на 5 и не делится на 9;

б) значение выражения $33^3 - 16^3$ делится на 17 и не делится на 11.

Сначала докажем, что значение выражения делится на 5. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=27$ и $b=23$:
$27^3 + 23^3 = (27 + 23)(27^2 - 27 \cdot 23 + 23^2)$.

Вычислим значение первого множителя в скобках:
$27 + 23 = 50$.

Поскольку один из множителей (50) делится на 5 ($50 = 5 \cdot 10$), то и всё произведение делится на 5. Первая часть утверждения доказана.

Теперь докажем, что значение выражения не делится на 9. Для этого воспользуемся теорией сравнений (арифметикой по модулю 9).

Рассмотрим каждое слагаемое по модулю 9:

1. Число 27 делится на 9 без остатка ($27 = 3 \cdot 9$), что можно записать как $27 \equiv 0 \pmod{9}$.
Следовательно, $27^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod{9}$.

2. Число 23 при делении на 9 даёт в остатке 5 ($23 = 2 \cdot 9 + 5$), что можно записать как $23 \equiv 5 \pmod{9}$.
Следовательно, $23^3 \equiv 5^3 \pmod{9}$.
$5^3 = 125$.
$125$ при делении на 9 даёт в остатке 8 ($125 = 13 \cdot 9 + 8$), поэтому $125 \equiv 8 \pmod{9}$.
Значит, $23^3 \equiv 8 \pmod{9}$.

Теперь сложим остатки:
$27^3 + 23^3 \equiv 0 + 8 \equiv 8 \pmod{9}$.

Так как остаток от деления выражения $27^3 + 23^3$ на 9 равен 8, а не 0, то это выражение не делится на 9. Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Доказано.

Сначала докажем, что значение выражения делится на 17. Для этого воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=33$ и $b=16$:
$33^3 - 16^3 = (33 - 16)(33^2 + 33 \cdot 16 + 16^2)$.

Вычислим значение первого множителя в скобках:
$33 - 16 = 17$.

Поскольку один из множителей равен 17, то и всё произведение делится на 17. Первая часть утверждения доказана.

Теперь докажем, что значение выражения не делится на 11. Для этого снова воспользуемся сравнениями по модулю, на этот раз по модулю 11.

Рассмотрим уменьшаемое и вычитаемое по модулю 11:

1. Число 33 делится на 11 без остатка ($33 = 3 \cdot 11$), что можно записать как $33 \equiv 0 \pmod{11}$.
Следовательно, $33^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod{11}$.

2. Число 16 при делении на 11 даёт в остатке 5 ($16 = 1 \cdot 11 + 5$), что можно записать как $16 \equiv 5 \pmod{11}$.
Следовательно, $16^3 \equiv 5^3 \pmod{11}$.
$5^3 = 125$.
$125$ при делении на 11 даёт в остатке 4 ($125 = 11 \cdot 11 + 4$), поэтому $125 \equiv 4 \pmod{11}$.
Значит, $16^3 \equiv 4 \pmod{11}$.

Теперь найдём остаток разности:
$33^3 - 16^3 \equiv 0 - 4 \equiv -4 \pmod{11}$.

Остаток $-4$ по модулю 11 эквивалентен остатку $7$ (так как $-4 + 11 = 7$).
Так как остаток от деления выражения $33^3 - 16^3$ на 11 равен 7, а не 0, то это выражение не делится на 11. Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Доказано.

12. Разложите на множители, используя формулы суммы или разности кубов:

а) $x^{3n} - y^{3n} =$

б) $a^{6k} + b^{6k} =$

в) $c^{3n+3} + d^{3n+3} =$

г) $x^{3k+6} + y^{3k+6} =$

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

a) $x^{3n} - y^{3n}$

Чтобы применить формулу разности кубов, представим каждый член выражения в виде куба. Используем свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$.

$x^{3n} = (x^n)^3$

$y^{3n} = (y^n)^3$

Теперь выражение имеет вид $(x^n)^3 - (y^n)^3$. Применим формулу разности кубов, где $a = x^n$ и $b = y^n$:

$(x^n)^3 - (y^n)^3 = (x^n - y^n)((x^n)^2 + x^n y^n + (y^n)^2) = (x^n - y^n)(x^{2n} + x^n y^n + y^{2n})$.

Ответ: $(x^n - y^n)(x^{2n} + x^n y^n + y^{2n})$.

б) $a^{6k} + b^{6k}$

Представим данное выражение как сумму кубов.

$a^{6k} = (a^{2k})^3$

$b^{6k} = (b^{2k})^3$

Выражение принимает вид $(a^{2k})^3 + (b^{2k})^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a = a^{2k}$ и $b = b^{2k}$:

$(a^{2k})^3 + (b^{2k})^3 = (a^{2k} + b^{2k})((a^{2k})^2 - a^{2k}b^{2k} + (b^{2k})^2) = (a^{2k} + b^{2k})(a^{4k} - a^{2k}b^{2k} + b^{4k})$.

Ответ: $(a^{2k} + b^{2k})(a^{4k} - a^{2k}b^{2k} + b^{4k})$.

в) $c^{3n+3} + d^{3n+3}$

Для представления выражения в виде суммы кубов, воспользуемся свойствами степеней $a^{m+k} = a^m a^k$ и $a^{mk} = (a^m)^k$.

$c^{3n+3} = c^{3(n+1)} = (c^{n+1})^3$

$d^{3n+3} = d^{3(n+1)} = (d^{n+1})^3$

Выражение принимает вид $(c^{n+1})^3 + (d^{n+1})^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a = c^{n+1}$ и $b = d^{n+1}$:

$(c^{n+1})^3 + (d^{n+1})^3 = (c^{n+1} + d^{n+1})((c^{n+1})^2 - c^{n+1}d^{n+1} + (d^{n+1})^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2(n+1)} - (cd)^{n+1} + d^{2(n+1)}) = (c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2n+2} - (cd)^{n+1} + d^{2n+2})$.

Ответ: $(c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2n+2} - (cd)^{n+1} + d^{2n+2})$.

г) $x^{3k+6} + y^{3k+6}$

Представим выражение как сумму кубов, вынеся общий множитель из показателя степени.

$x^{3k+6} = x^{3(k+2)} = (x^{k+2})^3$

$y^{3k+6} = y^{3(k+2)} = (y^{k+2})^3$

Выражение принимает вид $(x^{k+2})^3 + (y^{k+2})^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a = x^{k+2}$ и $b = y^{k+2}$:

$(x^{k+2})^3 + (y^{k+2})^3 = (x^{k+2} + y^{k+2})((x^{k+2})^2 - x^{k+2}y^{k+2} + (y^{k+2})^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2(k+2)} - (xy)^{k+2} + y^{2(k+2)}) = (x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2k+4} - (xy)^{k+2} + y^{2k+4})$.

Ответ: $(x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2k+4} - (xy)^{k+2} + y^{2k+4})$.