Страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

18. При каких значениях коэффициента k график функции $y = kx$ располагается между прямой, изображенной на рисунке, и осью y?

Ответ: $k = \ldots$

График функции $y=kx$ представляет собой прямую, которая проходит через начало координат (точку $(0,0)$). Коэффициент $k$ в этой функции является угловым коэффициентом, который определяет угол наклона прямой относительно положительного направления оси $x$.

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения $k$, при которых прямая $y=kx$ будет расположена в области между прямой, показанной на рисунке, и осью $y$. Это означает, что угол наклона прямой $y=kx$ должен быть больше угла наклона изображенной прямой, но меньше угла наклона оси $y$ (который равен $90^\circ$).

Сначала найдем угловой коэффициент прямой, изображенной на графике. Уравнение прямой имеет вид $y = mx + b$, где $m$ — угловой коэффициент. Для его нахождения выберем две точки, через которые проходит прямая. Судя по сетке, прямая проходит через точки с координатами $(0, 1)$ и $(1, 3)$.

Угловой коэффициент $m$ вычисляется по формуле:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты выбранных точек:

$m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$

Таким образом, угловой коэффициент прямой на рисунке равен 2.

Чтобы прямая $y=kx$ располагалась "между" этой прямой и вертикальной осью $y$, она должна быть "круче", то есть иметь больший угловой коэффициент. Следовательно, угловой коэффициент $k$ должен быть больше, чем угловой коэффициент изображенной прямой.

Получаем неравенство:

$k > 2$

Это условие гарантирует, что в первой и третьей четвертях прямая $y=kx$ будет находиться в нужной области.

Ответ: $k > 2$

19. Лежат ли на одной прямой, являющейся графиком функции $y=kx$, три точки:

а) $(2; 6)$, $(-1; -3)$, $(0,5; 1,5)$;

б) $(2; -6)$, $(1; -3)$, $(5; -15)$;

в) $(2; 6)$, $(-1; 3)$, $(0,5; 1,5)$;

г) $(2; -4)$, $(-1; 2)$, $(6; -12)$?

Ответ: а) __________ б) __________ в) __________ г) __________

а) (2; 6), (-1; -3), (0,5; 1,5)

Для того чтобы три точки лежали на одной прямой, являющейся графиком функции $y=kx$, необходимо, чтобы для каждой точки $(x; y)$ с ненулевой координатой $x$ выполнялось равенство $k = \frac{y}{x}$, где $k$ — одно и то же число (коэффициент пропорциональности). Проверим это условие для каждой точки.

Для точки (2; 6): $k = \frac{6}{2} = 3$.

Для точки (-1; -3): $k = \frac{-3}{-1} = 3$.

Для точки (0,5; 1,5): $k = \frac{1,5}{0,5} = 3$.

Так как для всех трех точек коэффициент $k$ одинаков и равен 3, все они лежат на одной прямой $y=3x$.

Ответ: да.

б) (2; -6), (1; -3), (5; -15)

Проверим, одинаков ли коэффициент $k = \frac{y}{x}$ для каждой из данных точек.

Для точки (2; -6): $k = \frac{-6}{2} = -3$.

Для точки (1; -3): $k = \frac{-3}{1} = -3$.

Для точки (5; -15): $k = \frac{-15}{5} = -3$.

Коэффициент $k$ для всех точек равен -3. Следовательно, все точки лежат на одной прямой $y=-3x$.

Ответ: да.

в) (2; 6), (-1; 3), (0,5; 1,5)

Вычислим коэффициент $k = \frac{y}{x}$ для каждой точки.

Для точки (2; 6): $k = \frac{6}{2} = 3$.

Для точки (-1; 3): $k = \frac{3}{-1} = -3$.

Для точки (0,5; 1,5): $k = \frac{1,5}{0,5} = 3$.

Так как значения коэффициента $k$ получились разными (3 и -3), данные точки не лежат на одной прямой вида $y=kx$.

Ответ: нет.

г) (2; -4), (-1; 2), (6; -12)

Найдем коэффициент $k = \frac{y}{x}$ для каждой из точек.

Для точки (2; -4): $k = \frac{-4}{2} = -2$.

Для точки (-1; 2): $k = \frac{2}{-1} = -2$.

Для точки (6; -12): $k = \frac{-12}{6} = -2$.

Значение коэффициента $k$ для всех точек одинаково и равно -2. Значит, все точки лежат на одной прямой $y=-2x$.

Ответ: да.

1. Какие из приведённых формул задают линейную функцию:

а) $y = -0.3x$;

б) $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{7}x$;

в) $y = \frac{16 + x^2}{x}$;

г) $y = \frac{6x - 1}{3}$?

Для каждой линейной функции $y=kx+b$ укажите значение углового коэффициента $k$.

Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Число $k$ называется угловым коэффициентом. Проверим каждую из предложенных формул.

а) $y = -0,3x$
Данная формула соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$. В этом случае угловой коэффициент $k = -0,3$, а свободный член $b = 0$. Следовательно, функция является линейной.
Ответ: функция является линейной, угловой коэффициент $k = -0,3$.

б) $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{7}x$
Перепишем формулу в стандартном виде, поменяв слагаемые местами: $y = -\frac{1}{7}x + \frac{1}{2}$. Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -\frac{1}{7}$, а свободный член $b = \frac{1}{2}$. Следовательно, функция является линейной.
Ответ: функция является линейной, угловой коэффициент $k = -\frac{1}{7}$.

в) $y = \frac{16 + x^2}{x}$
Чтобы проанализировать эту формулу, разделим почленно числитель на знаменатель: $y = \frac{16}{x} + \frac{x^2}{x} = \frac{16}{x} + x$. В полученном выражении переменная $x$ находится в знаменателе в слагаемом $\frac{16}{x}$. Это не соответствует стандартному виду линейной функции $y = kx + b$.
Ответ: функция не является линейной.

г) $y = \frac{6x - 1}{3}$
Преобразуем данную формулу, разделив почленно числитель на знаменатель: $y = \frac{6x}{3} - \frac{1}{3}$, что равносильно $y = 2x - \frac{1}{3}$. Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 2$, а свободный член $b = -\frac{1}{3}$. Следовательно, функция является линейной.
Ответ: функция является линейной, угловой коэффициент $k = 2$.

2. Изобразите схематически на координатной плоскости графики функций:

а) $y = 2.5x + 1$;

б) $y = -3x - 2$;

в) $y = -2x$.

а)

Функция $y = 2,5x + 1$ является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.

1. Определим точку пересечения графика с осью ординат (OY). Для этого примем $x=0$ в уравнении функции:
$y = 2,5 \cdot 0 + 1 = 1$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; 1)$.

2. Найдем вторую точку, выбрав произвольное значение $x$. Для удобства построения на сетке возьмем $x=2$:
$y = 2,5 \cdot 2 + 1 = 5 + 1 = 6$.
Вторая точка имеет координаты $(2; 6)$. Если эта точка выходит за пределы сетки, можно взять $x=-2$: $y = 2,5 \cdot (-2) + 1 = -5 + 1 = -4$, что дает точку $(-2; -4)$.

Чтобы изобразить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(-2; -4)$ и провести через них прямую линию. Так как угловой коэффициент $k=2,5$ положителен, функция является возрастающей (график идет вверх слева направо).

Ответ: График функции $y = 2,5x + 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 1)$ и $(-2; -4)$.

б)

Функция $y = -3x - 2$ также является линейной, и ее график — прямая. Найдем координаты двух точек для ее построения.

1. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x=0$:
$y = -3 \cdot 0 - 2 = -2$.
Первая точка — $(0; -2)$.

2. Для нахождения второй точки возьмем $x=-1$:
$y = -3 \cdot (-1) - 2 = 3 - 2 = 1$.
Вторая точка — $(-1; 1)$.

Отмечаем на плоскости точки $(0; -2)$ и $(-1; 1)$ и соединяем их прямой. Угловой коэффициент $k=-3$ отрицателен, значит, функция убывающая (график идет вниз слева направо).

Ответ: График функции $y = -3x - 2$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; -2)$ и $(-1; 1)$.

в)

Функция $y = -2x$ — это прямая пропорциональность, частный случай линейной функции. Ее график всегда проходит через начало координат.

1. Таким образом, первая точка нам уже известна: $(0; 0)$.

2. Для нахождения второй точки выберем любое значение $x$, отличное от нуля, например, $x=1$:
$y = -2 \cdot 1 = -2$.
Вторая точка имеет координаты $(1; -2)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(1; -2)$ и проводим через них прямую. Так как угловой коэффициент $k=-2$ отрицателен, функция является убывающей.

Ответ: График функции $y = -2x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$ и точку $(1; -2)$.

10. Докажите, что значение выражения

$(8b + 13)(4b^2 + 1) - (8b - 3)(2b + 2)^2$

не зависит от $b$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной b, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения все слагаемые, содержащие переменную b, сократятся, и останется только постоянное число, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $(8b + 13)(4b^2 + 1) - (8b - 3)(2b + 2)^2$.

Упростим его по частям.

1. Раскроем скобки в первой части выражения: $(8b + 13)(4b^2 + 1)$.

Используем правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(8b + 13)(4b^2 + 1) = 8b \cdot 4b^2 + 8b \cdot 1 + 13 \cdot 4b^2 + 13 \cdot 1 = 32b^3 + 8b + 52b^2 + 13$.

Запишем результат в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней:

$32b^3 + 52b^2 + 8b + 13$.

2. Упростим вторую часть выражения: $(8b - 3)(2b + 2)^2$.

Сначала возведем в квадрат двучлен $(2b + 2)^2$, используя формулу квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$:

$(2b + 2)^2 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot 2 + 2^2 = 4b^2 + 8b + 4$.

Теперь умножим многочлен $(8b - 3)$ на полученный результат $(4b^2 + 8b + 4)$:

$(8b - 3)(4b^2 + 8b + 4) = 8b(4b^2 + 8b + 4) - 3(4b^2 + 8b + 4)$

$= (32b^3 + 64b^2 + 32b) - (12b^2 + 24b + 12)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$32b^3 + 64b^2 + 32b - 12b^2 - 24b - 12 = 32b^3 + (64-12)b^2 + (32-24)b - 12 = 32b^3 + 52b^2 + 8b - 12$.

3. Вычтем вторую упрощенную часть из первой.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(32b^3 + 52b^2 + 8b + 13) - (32b^3 + 52b^2 + 8b - 12)$.

Раскроем скобки, меняя знаки второго выражения на противоположные:

$32b^3 + 52b^2 + 8b + 13 - 32b^3 - 52b^2 - 8b + 12$.

Теперь сгруппируем и сократим подобные члены:

$(32b^3 - 32b^3) + (52b^2 - 52b^2) + (8b - 8b) + (13 + 12) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$.

В результате всех преобразований мы получили число 25, которое не зависит от значения переменной b. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно 25, оно не зависит от b.

11. Решите уравнение:

a) $7(p^2 + 10p + 23) - 4(p + 8)(p - 8) = 3(p + 5)^2 + 22;$

б) $3(m + 1)(m - 1) - 4(2 + 1,5m)(1,5m - 2) + 6m(m - 1) = 31.$

а)

Решим уравнение $7(p^2 + 10p + 23) - 4(p+8)(p-8) = 3(p+5)^2 + 22$.
Для этого сначала раскроем все скобки, применяя формулы сокращенного умножения.

Левая часть:
Выражение $(p+8)(p-8)$ является разностью квадратов: $(p+8)(p-8) = p^2 - 8^2 = p^2 - 64$.
Раскрываем скобки: $7(p^2 + 10p + 23) - 4(p^2 - 64) = 7p^2 + 70p + 161 - 4p^2 + 256$.
Приводим подобные слагаемые: $(7p^2 - 4p^2) + 70p + (161 + 256) = 3p^2 + 70p + 417$.

Правая часть:
Выражение $(p+5)^2$ является квадратом суммы: $(p+5)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 5 + 5^2 = p^2 + 10p + 25$.
Раскрываем скобки: $3(p^2 + 10p + 25) + 22 = 3p^2 + 30p + 75 + 22$.
Приводим подобные слагаемые: $3p^2 + 30p + (75 + 22) = 3p^2 + 30p + 97$.

Приравниваем упрощенные части уравнения: $3p^2 + 70p + 417 = 3p^2 + 30p + 97$.
Вычтем $3p^2$ из обеих частей уравнения: $70p + 417 = 30p + 97$.
Перенесем слагаемые с переменной $p$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $70p - 30p = 97 - 417$
$40p = -320$
$p = \frac{-320}{40}$
$p = -8$.
Ответ: $p = -8$.

б)

Решим уравнение $3(m+1)(m-1) - 4(2+1.5m)(1.5m-2) + 6m(m-1) = 31$.
Раскроем скобки в левой части.

Первое слагаемое $3(m+1)(m-1)$ преобразуем по формуле разности квадратов: $3(m^2 - 1^2) = 3m^2 - 3$.

Второе слагаемое $-4(2+1.5m)(1.5m-2)$ также содержит разность квадратов, если поменять множители в первой скобке местами: $-4(1.5m+2)(1.5m-2) = -4((1.5m)^2 - 2^2) = -4(2.25m^2 - 4) = -9m^2 + 16$.

Третье слагаемое $6m(m-1)$ раскроем путем умножения: $6m(m-1) = 6m^2 - 6m$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $(3m^2 - 3) + (-9m^2 + 16) + (6m^2 - 6m) = 31$.
Приведем подобные слагаемые в левой части: $(3m^2 - 9m^2 + 6m^2) - 6m + (-3 + 16) = 31$
$0 \cdot m^2 - 6m + 13 = 31$
$-6m + 13 = 31$.

Решим полученное линейное уравнение: $-6m = 31 - 13$
$-6m = 18$
$m = \frac{18}{-6}$
$m = -3$.
Ответ: $m = -3$.

12. Зависит ли значение выражения

$(5a - 2b)^2 - 0.5a(50a - 40b) + (3a - 2b)(2b + 3a):$

а) от значений переменной $a$;

б) от значений переменной $b$?

Чтобы ответить на поставленные вопросы, необходимо упростить данное алгебраическое выражение. Проанализируем каждый его компонент пошагово.

Исходное выражение: $(5a - 2b)^2 - 0,5a(50a - 40b) + (3a - 2b)(2b + 3a)$

1. Раскроем первый член, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(5a - 2b)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2b + (2b)^2 = 25a^2 - 20ab + 4b^2$

2. Раскроем скобки во втором члене, выполнив умножение:

$-0,5a(50a - 40b) = -0,5a \cdot 50a - 0,5a \cdot (-40b) = -25a^2 + 20ab$

3. Преобразуем третий член. Заметим, что $(2b + 3a)$ можно записать как $(3a + 2b)$. Тогда выражение принимает вид $(3a - 2b)(3a + 2b)$, что соответствует формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$(3a - 2b)(3a + 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$

4. Теперь сложим все полученные выражения, чтобы упростить исходное:

$(25a^2 - 20ab + 4b^2) + (-25a^2 + 20ab) + (9a^2 - 4b^2)$

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(25a^2 - 25a^2 + 9a^2) + (-20ab + 20ab) + (4b^2 - 4b^2) = 9a^2 + 0 + 0 = 9a^2$

После всех преобразований исходное выражение равно $9a^2$. Теперь можно ответить на вопросы.

а) от значений переменной a;

Упрощенное выражение $9a^2$ содержит переменную $a$. Значение выражения напрямую зависит от квадрата этой переменной. Например, при $a=1$ значение выражения будет $9$, а при $a=2$ оно будет равно $36$. Следовательно, значение выражения зависит от значения переменной $a$.

Ответ: да, зависит.

б) от значений переменной b?

В итоговом выражении $9a^2$ переменная $b$ отсутствует. Это означает, что какое бы значение ни принимала переменная $b$, оно никак не повлияет на результат вычисления выражения. Значение будет определяться только переменной $a$.

Ответ: нет, не зависит.