Страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

3. Выполните возведение в степень:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

$( -4 )^3 = ( -4 ) \cdot ( -4 ) \cdot ( -4 ) = -64$

а) $6^3 = \dots $

а) Чтобы возвести число 6 в третью степень, необходимо умножить это число на само себя три раза.
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6$
Выполним вычисления пошагово:
$6 \cdot 6 = 36$
$36 \cdot 6 = 216$
Таким образом, $6^3 = 216$.
Ответ: 216

б) Чтобы возвести число -5 в четвертую степень, нужно умножить его на само себя четыре раза. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае степень равна 4) результат всегда будет положительным.
$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)$
Выполним умножение пошагово:
$(-5) \cdot (-5) = 25$
$25 \cdot (-5) = -125$
$-125 \cdot (-5) = 625$
Можно также сгруппировать множители: $((-5) \cdot (-5)) \cdot ((-5) \cdot (-5)) = 25 \cdot 25 = 625$.
Ответ: 625

в) Чтобы возвести десятичную дробь 0,1 в третью степень, нужно умножить её на саму себя три раза.
$(0,1)^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1$
Выполним вычисления пошагово:
$0,1 \cdot 0,1 = 0,01$
$0,01 \cdot 0,1 = 0,001$
Количество знаков после запятой в результате равно сумме знаков после запятой у всех множителей (1 + 1 + 1 = 3).
Ответ: 0,001

г) Чтобы возвести число -1 в девятую степень, нужно умножить его на само себя девять раз. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае степень равна 9) результат всегда будет отрицательным.
$(-1)^9 = -1$
Поскольку любое произведение единиц равно единице, а количество отрицательных множителей нечетное, знак итогового произведения будет «минус».
Ответ: -1

4. Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы необходимо последовательно вычислить значение выражения $(-2)^n$ для каждого натурального числа $n$ от 1 до 8. При возведении отрицательного числа в степень знак результата зависит от четности показателя степени:

- если показатель степени $n$ — нечетное число, результат будет отрицательным;

- если показатель степени $n$ — четное число, результат будет положительным.

Вычислим значения для каждого столбца:

Для n = 1:

Возводим $(-2)$ в первую степень. Так как показатель степени 1 — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-2)^1 = -2$

Ответ: -2

Для n = 2:

Возводим $(-2)$ во вторую степень. Так как показатель степени 2 — четное число, результат будет положительным.

$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$

Ответ: 4

Для n = 3:

Возводим $(-2)$ в третью степень. Так как показатель степени 3 — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-2)^3 = (-2)^2 \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

Ответ: -8

Для n = 4:

Возводим $(-2)$ в четвертую степень. Так как показатель степени 4 — четное число, результат будет положительным.

$(-2)^4 = (-2)^3 \cdot (-2) = -8 \cdot (-2) = 16$

Ответ: 16

Для n = 5:

Значение для $n=5$ уже указано в таблице: -32. Проверим его: показатель степени 5 — нечетное число, результат должен быть отрицательным.

$(-2)^5 = (-2)^4 \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$

Ответ: -32

Для n = 6:

Возводим $(-2)$ в шестую степень. Так как показатель степени 6 — четное число, результат будет положительным.

$(-2)^6 = (-2)^5 \cdot (-2) = -32 \cdot (-2) = 64$

Ответ: 64

Для n = 7:

Возводим $(-2)$ в седьмую степень. Так как показатель степени 7 — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-2)^7 = (-2)^6 \cdot (-2) = 64 \cdot (-2) = -128$

Ответ: -128

Для n = 8:

Возводим $(-2)$ в восьмую степень. Так как показатель степени 8 — четное число, результат будет положительным.

$(-2)^8 = (-2)^7 \cdot (-2) = -128 \cdot (-2) = 256$

Ответ: 256

Таким образом, заполненная вторая строка таблицы будет содержать следующие значения по порядку: -2, 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256.

5. Найдите значение выражения:

$3^4 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot (-2) = 81 \cdot 4 = 324$

a) $-3 \cdot 2^3 = $

б) $3 \cdot (-2)^3 = $

в) $3^3 \cdot (-2) = $

а)

Для вычисления значения выражения $-3 \cdot 2^3$ необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение.

1. Вычисляем $2^3$:
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

2. Умножаем результат на -3:
$-3 \cdot 8 = -24$.

Таким образом, $-3 \cdot 2^3 = -24$.

Ответ: -24

б)

Для вычисления значения выражения $3 \cdot (-2)^3$ сначала возводим в степень число в скобках, а затем выполняем умножение.

1. Вычисляем $(-2)^3$. Поскольку степень нечетная (3), отрицательное основание останется отрицательным:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.

2. Умножаем 3 на полученный результат:
$3 \cdot (-8) = -24$.

Таким образом, $3 \cdot (-2)^3 = -24$.

Ответ: -24

в)

Для вычисления значения выражения $3^3 \cdot (-2)$ сначала возводим в степень, а затем выполняем умножение.

1. Вычисляем $3^3$:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

2. Умножаем полученный результат на -2:
$27 \cdot (-2) = -54$.

Таким образом, $3^3 \cdot (-2) = -54$.

Ответ: -54

6. Для подсчёта приближённого значения объёма стога сена (в кубических метрах) пользуются формулой $V = \frac{al^2}{72}$, где $l$ — длина окружности основания стога (в метрах), $a$ — длина «перекидки», т. е. линии $ABC$ (в метрах). Вычислите $V$, если $l=12$, $a=18$.

Для вычисления приближённого значения объёма стога сена ($V$) воспользуемся формулой, указанной в условии задачи: $V = \frac{al^2}{72}$ , где $l$ — это длина окружности основания стога (в метрах), а $a$ — длина «перекидки», то есть линии ABC (в метрах).

Согласно условию, нам даны следующие значения:

• $l = 12$ м
• $a = 18$ м

Теперь подставим эти значения в формулу для расчёта объёма $V$: $V = \frac{18 \cdot 12^2}{72}$

Выполним вычисления по порядку действий. Сначала возведём в степень значение $l$: $12^2 = 144$

После этого подставим полученный результат обратно в выражение: $V = \frac{18 \cdot 144}{72}$

Для упрощения расчётов можно сократить дробь. Заметим, что числитель 144 и знаменатель 72 связаны соотношением $144 = 2 \cdot 72$. Сократим дробь на 72: $V = 18 \cdot \frac{144}{72} = 18 \cdot 2$

Выполним последнее умножение: $V = 36$

Таким образом, объём стога сена составляет 36 кубических метров.

Ответ: 36.

13. Разложите на множители многочлен:

a) $64x^4 + 1 = 64x^4 + 1 + 16x^2 - 16x^2 = \ldots$

б) $4x^4 + 1 = \ldots$

б) $4x^4 + 1 = \ldots$

а) Для разложения многочлена $64x^4 + 1$ на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата, как предложено в условии. Этот метод заключается в добавлении и вычитании такого слагаемого, которое дополнит часть выражения до полного квадрата двучлена.

В выражении $64x^4 + 1$ мы можем представить слагаемые как квадраты: $64x^4 = (8x^2)^2$ и $1 = 1^2$. Для формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=8x^2$ и $b=1$, не хватает удвоенного произведения $2ab = 2 \cdot 8x^2 \cdot 1 = 16x^2$.

Следуя подсказке, добавим и вычтем это слагаемое:

$64x^4 + 1 = 64x^4 + 1 + 16x^2 - 16x^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, чтобы получить полный квадрат:

$(64x^4 + 16x^2 + 1) - 16x^2$

Теперь свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы:

$(8x^2 + 1)^2 - 16x^2$

Получившееся выражение представляет собой разность квадратов, так как $16x^2 = (4x)^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 8x^2+1$ и $B = 4x$:

$((8x^2 + 1) - 4x)((8x^2 + 1) + 4x)$

Раскроем внутренние скобки и запишем многочлены в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной):

$(8x^2 - 4x + 1)(8x^2 + 4x + 1)$

Ответ: $(8x^2 - 4x + 1)(8x^2 + 4x + 1)$

б) Разложим на множители многочлен $4x^4 + 1$. Будем использовать тот же метод выделения полного квадрата, что и в предыдущем пункте.

Представим слагаемые в виде квадратов: $4x^4 = (2x^2)^2$ и $1 = 1^2$.

Для получения полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=2x^2$ и $b=1$, нам необходимо слагаемое $2ab = 2 \cdot 2x^2 \cdot 1 = 4x^2$.

Добавим и вычтем $4x^2$ к исходному многочлену:

$4x^4 + 1 = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2$

Сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:

$(4x^4 + 4x^2 + 1) - 4x^2$

Свернем скобку по формуле квадрата суммы:

$(2x^2 + 1)^2 - 4x^2$

Это выражение является разностью квадратов, так как $4x^2 = (2x)^2$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 2x^2+1$ и $B=2x$:

$((2x^2 + 1) - 2x)((2x^2 + 1) + 2x)$

Приведем многочлены в скобках к стандартному виду:

$(2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)$

Ответ: $(2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)$

14. Существуют ли такие значения переменной, при которых многочлен:

а) $4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1$;

б) $1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2$

принимает отрицательные значения? Ответ поясните.

а) $4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1$

Для того чтобы определить, может ли многочлен принимать отрицательные значения, попробуем преобразовать его, выделив полные квадраты. Это позволит нам проанализировать его знак.

Представим член $2y^2$ в виде суммы $y^2 + y^2$. Тогда выражение примет вид:

$4x^2 - 4xy + y^2 + y^2 - 2y + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(4x^2 - 4xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1)$

Каждая из групп является полным квадратом:

• Первая группа: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = (2x - y)^2$
• Вторая группа: $y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y - 1)^2$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде суммы двух квадратов:

$4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1 = (2x - y)^2 + (y - 1)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно:

$(2x - y)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$.

$(y - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $y$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых также является неотрицательной величиной, то есть $(2x - y)^2 + (y - 1)^2 \ge 0$.

Это означает, что данный многочлен не может принимать отрицательные значения ни при каких значениях переменных $x$ и $y$. Его наименьшее значение равно 0 (например, при $y=1$ и $x=1/2$).

Ответ: Нет, не существуют. Многочлен можно представить в виде суммы квадратов $(2x - y)^2 + (y - 1)^2$, которая всегда неотрицательна.

б) $1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2$

Аналогично первому случаю, преобразуем данный многочлен, чтобы исследовать его знак. Переставим слагаемые для удобства и представим член $-8ab$ в виде суммы $-4ab - 4ab$.

$4a^2 + b^2 + 4a^2b^2 - 8ab + 1 = 4a^2 + b^2 + 4a^2b^2 - 4ab - 4ab + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(4a^2 - 4ab + b^2) + (4a^2b^2 - 4ab + 1)$

Как и в предыдущем пункте, каждая из групп представляет собой полный квадрат:

• Первая группа: $4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = (2a - b)^2$
• Вторая группа: $4a^2b^2 - 4ab + 1 = (2ab)^2 - 2 \cdot (2ab) \cdot 1 + 1^2 = (2ab - 1)^2$

Следовательно, исходный многочлен можно записать как сумму двух квадратов:

$1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2 = (2a - b)^2 + (2ab - 1)^2$

Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, мы имеем:

$(2a - b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

$(2ab - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

Сумма этих двух неотрицательных выражений также будет всегда неотрицательной:

$(2a - b)^2 + (2ab - 1)^2 \ge 0$

Таким образом, данный многочлен не может принимать отрицательные значения ни при каких значениях переменных $a$ и $b$.

Ответ: Нет, не существуют. Многочлен можно представить в виде суммы квадратов $(2a - b)^2 + (2ab - 1)^2$, которая всегда является неотрицательной величиной.