Страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Выполните возведение в степень:

$(3m^3n^2)^5 = 3^5 \cdot (m^3)^5 \cdot (n^2)^5 = 243m^{15}n^{10}$

а) $(-1,2m^2n^6)^2 = \ldots$

б) $(-0,2p^8q^2)^3 = \ldots$

а) Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень каждый его множитель. Также используется правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Выражение: $(-1,2m^2n^6)^2$

Применим правило возведения произведения в степень:

$(-1,2m^2n^6)^2 = (-1,2)^2 \cdot (m^2)^2 \cdot (n^6)^2$

Теперь выполним возведение в степень для каждого множителя:

1. Возводим в квадрат коэффициент: $(-1,2)^2 = 1,44$. Знак становится положительным, так как степень четная.

2. Возводим в степень переменную $m$: $(m^2)^2 = m^{2 \cdot 2} = m^4$.

3. Возводим в степень переменную $n$: $(n^6)^2 = n^{6 \cdot 2} = n^{12}$.

Объединяем результаты:

$1,44 \cdot m^4 \cdot n^{12} = 1,44m^4n^{12}$

Ответ: $1,44m^4n^{12}$

б) Аналогично решаем второй пример, применяя те же правила.

Выражение: $(-0,2p^8q)^3$

Применим правило возведения произведения в степень:

$(-0,2p^8q)^3 = (-0,2)^3 \cdot (p^8)^3 \cdot q^3$

Теперь выполним возведение в степень для каждого множителя:

1. Возводим в куб коэффициент: $(-0,2)^3 = -0,008$. Знак остается отрицательным, так как степень нечетная.

2. Возводим в степень переменную $p$: $(p^8)^3 = p^{8 \cdot 3} = p^{24}$.

3. Возводим в степень переменную $q$ (у которой показатель степени равен 1): $q^3$.

Объединяем результаты:

$-0,008 \cdot p^{24} \cdot q^3 = -0,008p^{24}q^3$

Ответ: $-0,008p^{24}q^3$

2. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$:

$(a^{10})^4 \cdot (a^2)^5 = a^{40} \cdot a^{10} = a^{50}$

а) $(a^4)^3 \cdot (a^8)^2 = \ldots$

а) Чтобы представить выражение $(a^4)^3 \cdot (a^8)^2$ в виде степени с основанием $a$, нужно последовательно применить два свойства степеней.

Первое свойство — возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Применим его к обоим множителям в выражении:

$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$

$(a^8)^2 = a^{8 \cdot 2} = a^{16}$

Второе свойство — умножение степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Подставив упрощенные множители, получим:

$a^{12} \cdot a^{16} = a^{12+16} = a^{28}$

Ответ: $a^{28}$.

б) Упростим выражение $(a^6)^3 \cdot (a^3)^5$, используя те же свойства степеней.

Сначала возводим степень в степень для каждого множителя по формуле $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^6)^3 = a^{6 \cdot 3} = a^{18}$

$(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$

Затем перемножаем полученные степени с одинаковым основанием, складывая их показатели по формуле $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{18} \cdot a^{15} = a^{18+15} = a^{33}$

Ответ: $a^{33}$.

в) Представим выражение $(a^7)^6 \cdot (a^3)^3$ в виде степени с основанием $a$.

Применяем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^7)^6 = a^{7 \cdot 6} = a^{42}$

$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^{9}$

Теперь применяем правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{42} \cdot a^{9} = a^{42+9} = a^{51}$

Ответ: $a^{51}$.

3. Представьте, если возможно, число $7^{12}$ в виде степени с основанием: $7^2; 7^3; 7^4; 7^5; 7^6; 7^{10}$.

$7^{12}=(7^2)^6;$

Для того чтобы представить число $7^{12}$ в виде степени с основанием $7^k$, необходимо найти такое целое число $x$, чтобы выполнялось равенство $(7^k)^x = 7^{12}$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, мы получаем уравнение $k \cdot x = 12$.

Таким образом, задача сводится к проверке, является ли показатель степени в новом основании ($k$) делителем числа 12. Если $12$ делится на $k$ нацело, то представление возможно.

7²;
Проверяем, делится ли 12 на 2. $12 \div 2 = 6$. Делится нацело.
Следовательно, $7^{12} = (7^2)^6$.
Ответ: $(7^2)^6$.

7³;
Проверяем, делится ли 12 на 3. $12 \div 3 = 4$. Делится нацело.
Следовательно, $7^{12} = (7^3)^4$.
Ответ: $(7^3)^4$.

7⁴;
Проверяем, делится ли 12 на 4. $12 \div 4 = 3$. Делится нацело.
Следовательно, $7^{12} = (7^4)^3$.
Ответ: $(7^4)^3$.

7⁵;
Проверяем, делится ли 12 на 5. $12 \div 5 = 2.4$. Результат не является целым числом.
Следовательно, представить $7^{12}$ в виде целой степени с основанием $7^5$ невозможно.
Ответ: невозможно.

7⁶;
Проверяем, делится ли 12 на 6. $12 \div 6 = 2$. Делится нацело.
Следовательно, $7^{12} = (7^6)^2$.
Ответ: $(7^6)^2$.

7¹⁰.
Проверяем, делится ли 12 на 10. $12 \div 10 = 1.2$. Результат не является целым числом.
Следовательно, представить $7^{12}$ в виде целой степени с основанием $7^{10}$ невозможно.
Ответ: невозможно.

4. Представьте выражение в виде степени с основанием x:

а) $(x^6)^2 \cdot x^m =$

б) $(x^m)^3 \cdot (x^3)^5 =$

в) $(x^{5m})^4 \cdot x^{m+2} =$

г) $x^{m+1} \cdot (x^{3m})^3 =$

а) Для того чтобы представить выражение $(x^6)^2 \cdot x^m$ в виде степени с основанием $x$, необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Воспользуемся правилом возведения степени в степень $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ для первого множителя:
$(x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}$.

2. Теперь применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$:
$x^{12} \cdot x^m = x^{12+m}$.

Ответ: $x^{12+m}$

б) Упростим выражение $(x^m)^3 \cdot (x^3)^5$, используя те же правила.

1. Применим правило возведения степени в степень $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ к каждому множителю:
$(x^m)^3 = x^{m \cdot 3} = x^{3m}$
$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$

2. Теперь перемножим полученные степени по правилу $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$:
$x^{3m} \cdot x^{15} = x^{3m+15}$.

Ответ: $x^{3m+15}$

в) Рассмотрим выражение $(x^{5m})^4 \cdot x^{m+2}$.

1. Упростим первый множитель, возведя степень в степень:
$(x^{5m})^4 = x^{5m \cdot 4} = x^{20m}$.

2. Умножим результат на второй множитель $x^{m+2}$, сложив их показатели:
$x^{20m} \cdot x^{m+2} = x^{20m + (m+2)}$.

3. Упростим показатель степени:
$20m + m + 2 = 21m + 2$.
Таким образом, итоговое выражение: $x^{21m+2}$.

Ответ: $x^{21m+2}$

г) Упростим выражение $x^{m+1} \cdot (x^{3m})^3$.

1. Сначала преобразуем второй множитель по правилу возведения степени в степень:
$(x^{3m})^3 = x^{3m \cdot 3} = x^{9m}$.

2. Теперь перемножим степени, сложив их показатели:
$x^{m+1} \cdot x^{9m} = x^{(m+1) + 9m}$.

3. Упростим показатель степени:
$m + 1 + 9m = 10m + 1$.
Таким образом, итоговое выражение: $x^{10m+1}$.

Ответ: $x^{10m+1}$

4. На прямой, являющейся графиком уравнения $32x - 7y = 90$, взята точка, абсцисса которой равна 5. Найдите ординату этой точки.

4. По условию задачи, точка с абсциссой 5 лежит на прямой, которая является графиком уравнения $32x - 7y = 90$. Это означает, что координаты этой точки $(x; y)$ должны удовлетворять данному уравнению.

Абсцисса точки — это её координата $x$. Нам дано, что $x = 5$. Чтобы найти ординату точки (координату $y$), подставим значение $x=5$ в уравнение прямой:
$32 \cdot 5 - 7y = 90$

Выполним умножение:
$160 - 7y = 90$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $y$. Для этого выразим слагаемое, содержащее $y$:
$-7y = 90 - 160$
$-7y = -70$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на -7:
$y = \frac{-70}{-7}$
$y = 10$

Следовательно, ордината точки равна 10.

Ответ: 10

5. Ордината точки, принадлежащей графику уравнения $15x + 2y = 110$, равна -5. Найдите абсциссу этой точки.

5. По условию, точка принадлежит графику уравнения $15x + 2y = 110$. Это означает, что ее координаты $(x, y)$ удовлетворяют данному уравнению.

Абсцисса точки — это ее координата $x$, а ордината — это ее координата $y$. В задаче дано, что ордината точки равна -5, то есть $y = -5$.

Чтобы найти абсциссу $x$, подставим известное значение $y = -5$ в уравнение графика:

$15x + 2 \cdot (-5) = 110$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$15x - 10 = 110$

Перенесем слагаемое -10 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$15x = 110 + 10$

$15x = 120$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 15:

$x = \frac{120}{15}$

$x = 8$

Следовательно, абсцисса искомой точки равна 8.

Ответ: 8

6. На координатной плоскости постройте графики уравнений:

а) $1,5x - 2y = 3;$

x   0   2

y    

б) $0,5y = 1;$

в) $2,5x + y = 3.$

x   0   2

y    

а) $1,5x - 2y = 3$

Это линейное уравнение, его график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Воспользуемся таблицей и подставим значения x в уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.

1. При $x = 0$:
$1,5 \cdot 0 - 2y = 3$
$0 - 2y = 3$
$-2y = 3$
$y = -1,5$
Получили точку с координатами $(0; -1,5)$.

2. При $x = 2$:
$1,5 \cdot 2 - 2y = 3$
$3 - 2y = 3$
$-2y = 0$
$y = 0$
Получили точку с координатами $(2; 0)$.

Теперь заполним таблицу:

Ответ: График уравнения $1,5x - 2y = 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -1,5)$ и $(2; 0)$. На общем графике она изображена синим цветом.

б) $0,5y = 1$

Это также линейное уравнение. Выразим y:
$y = 1 \div 0,5$
$y = 2$
Это уравнение задает прямую, у которой для любого значения x значение y всегда равно 2. Следовательно, это прямая, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0; 2)$.

Ответ: График уравнения $0,5y = 1$ — это горизонтальная прямая $y=2$, параллельная оси Ox. На общем графике она изображена зеленым цветом.

в) $2,5x + y = 3$

Это линейное уравнение, и его график — прямая. Найдем две точки для ее построения, используя значения x из таблицы.

1. При $x = 0$:
$2,5 \cdot 0 + y = 3$
$0 + y = 3$
$y = 3$
Получили точку с координатами $(0; 3)$.

2. При $x = 2$:
$2,5 \cdot 2 + y = 3$
$5 + y = 3$
$y = 3 - 5$
$y = -2$
Получили точку с координатами $(2; -2)$.

Заполним таблицу:

Ответ: График уравнения $2,5x + y = 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(2; -2)$. На общем графике она изображена красным цветом.

Построенные графики на одной координатной плоскости:

7. Не выполняя построения, определите точки пересечения графика уравнения $5x - 4y + 10 = 0$ с осями координат.

Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, нужно учесть, что в точках пересечения одна из координат равна нулю.

Нахождение точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox)

Любая точка, лежащая на оси абсцисс, имеет координату $y = 0$. Подставим это значение в данное уравнение $5x - 4y + 10 = 0$ и найдем соответствующую координату $x$.

$5x - 4 \cdot 0 + 10 = 0$

$5x + 10 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$5x = -10$

Найдем $x$:

$x = \frac{-10}{5}$

$x = -2$

Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-2; 0)$.

Ответ: $(-2; 0)$.

Нахождение точки пересечения с осью ординат (осью Oy)

Любая точка, лежащая на оси ординат, имеет координату $x = 0$. Подставим это значение в уравнение $5x - 4y + 10 = 0$ и найдем соответствующую координату $y$.

$5 \cdot 0 - 4y + 10 = 0$

$-4y + 10 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$-4y = -10$

Найдем $y$:

$y = \frac{-10}{-4}$

$y = \frac{5}{2} = 2.5$

Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 2.5)$.

Ответ: $(0; 2.5)$.