Страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

7. Вместимость V бочки вычисляется по формуле

$V = \frac{\pi}{4} \left(\frac{2d_1+d_2}{3}\right)^2 \cdot h,$

где $d_1$ — диаметр окружности в самом широком месте бочки, $d_2$ — диаметр каждого из днищ, $h$ — высота бочки. Найдите вместимость бочки, если $d_1=9$ дм, $d_2=6$ дм, $h=11$ дм, $\pi \approx 3,14$.

Для решения задачи необходимо найти вместимость (объем) бочки, используя заданную формулу и известные параметры.

Формула для вычисления вместимости $V$ бочки:

$V = \frac{\pi}{4} \left( \frac{2d_1 + d_2}{3} \right)^2 \cdot h$

В условии даны следующие значения:

• $d_1 = 9$ дм (диаметр окружности в самом широком месте бочки)
• $d_2 = 6$ дм (диаметр каждого из днищ)
• $h = 11$ дм (высота бочки)
• $\pi \approx 3,14$

Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления по порядку действий.

1. Сначала вычислим значение выражения в числителе дроби внутри скобок:

$2d_1 + d_2 = 2 \cdot 9 + 6 = 18 + 6 = 24$

2. Теперь вычислим значение всей дроби внутри скобок:

$\frac{2d_1 + d_2}{3} = \frac{24}{3} = 8$

3. Подставим полученный результат в основную формулу и возведем его в квадрат:

$V \approx \frac{3,14}{4} \cdot (8)^2 \cdot 11$

$V \approx \frac{3,14}{4} \cdot 64 \cdot 11$

4. Для удобства вычислений, сначала разделим 64 на 4:

$\frac{64}{4} = 16$

5. Теперь формула для вычисления объема выглядит так:

$V \approx 3,14 \cdot 16 \cdot 11$

6. Перемножим оставшиеся числа:

$16 \cdot 11 = 176$

$V \approx 3,14 \cdot 176$

$V \approx 552,64$

Объем измеряется в кубических дециметрах (дм³), так как все исходные размеры были даны в дециметрах.

Ответ: вместимость бочки составляет приблизительно 552,64 дм³.

8. Выражение $P(a)$ представили в виде произведения, каждый множитель которого равен $a$. Сколько множителей в этом произведении, если:

а) $P(a) = a \cdot a^8$;

б) $P(a) = a^{16} \cdot a^{12}$;

в) $P(a) = a^m \cdot a^n$?

Ответ: а) ................. б) ................. в) .................

а) Чтобы найти, сколько множителей, равных a, содержится в выражении $P(a) = a \cdot a^8$, необходимо использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, показатели степеней складываются. Выражение a можно представить как $a^1$.
$P(a) = a^1 \cdot a^8 = a^{1+8} = a^9$.
Степень $a^9$ по определению является произведением девяти множителей, каждый из которых равен a.
Ответ: 9

б) Рассмотрим выражение $P(a) = a^{16} \cdot a^{12}$.
Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием, сложим их показатели:
$P(a) = a^{16} \cdot a^{12} = a^{16+12} = a^{28}$.
Это означает, что выражение $P(a)$ является произведением 28 множителей, каждый из которых равен a.
Ответ: 28

в) Рассмотрим общее выражение $P(a) = a^m \cdot a^n$.
По свойству умножения степеней с одинаковым основанием:
$P(a) = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Показатель степени $m+n$ указывает на количество множителей, равных a, в произведении.
Ответ: $m+n$

9. Не вычисляя значений выражений $a^4$ и $a^5$, сравните их:

если $a=-80$, то $a^4 > a^5$, так как значение выражения $(-80)^4$ является положительным числом, а $(-80)^5$ — отрицательным числом

а) если $a=0$, то ......................, так как

б) если $a=0,4$, то ......................, так как

в) если $a=17$, то ......................, так как

а) если $a=0$, то $a^4 = a^5$, так как любое из этих выражений равно нулю ($0^4=0$ и $0^5=0$).
Ответ: $a^4 = a^5$.

б) если $a=0,4$, то $a^4 > a^5$, так как $a^5$ можно представить как произведение $a^4 \cdot a$. Поскольку $a=0,4$, что меньше 1, то при умножении положительного числа $a^4$ на $0,4$ результат будет меньше, чем $a^4$.
Ответ: $a^4 > a^5$.

в) если $a=17$, то $a^4 < a^5$, так как $a^5$ можно представить как произведение $a^4 \cdot a$. Поскольку $a=17$, что больше 1, то при умножении положительного числа $a^4$ на $17$ результат будет больше, чем $a^4$.
Ответ: $a^4 < a^5$.

1. Подчеркните те из уравнений с двумя переменными, которые являются линейными:

$2x + 5y = -10$, $4xy - 9x = 0$, $3x^2 - 2y = 4$, $\frac{x}{3} + \frac{2y}{5} = 11$.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Основные признаки линейного уравнения: переменные входят в уравнение только в первой степени, и в уравнении нет произведений переменных.

$2x + 5y = -10$

Это уравнение полностью соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax + by = c$. В данном случае коэффициенты равны $a=2$, $b=5$ и $c=-10$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. В уравнении нет произведений переменных или переменных в более высокой степени.

Ответ: уравнение является линейным.

$4xy - 9x = 0$

Это уравнение содержит член $4xy$, который представляет собой произведение переменных $x$ и $y$. В линейных уравнениях не должно быть произведений переменных. Степень этого одночлена равна $1+1=2$, что не соответствует требованиям для линейного уравнения.

Ответ: уравнение не является линейным.

$3x^2 - 2y = 4$

Это уравнение содержит член $3x^2$, в котором переменная $x$ возведена во вторую степень. В линейных уравнениях переменные могут быть только в первой степени. Следовательно, это уравнение не является линейным.

Ответ: уравнение не является линейным.

$\frac{x}{3} + \frac{2y}{5} = 11$

Это уравнение можно привести к стандартному виду линейного уравнения. Запишем его как $\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y = 11$. Здесь коэффициенты равны $a=\frac{1}{3}$, $b=\frac{2}{5}$ и $c=11$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени, и их произведений нет. Следовательно, это уравнение является линейным.

Ответ: уравнение является линейным.

Таким образом, уравнения, которые являются линейными и должны быть подчеркнуты, это:

$2x + 5y = -10$ и $\frac{x}{3} + \frac{2y}{5} = 11$.

2. В таблице приведены пары значений $x$ и $y$:

$x$: -4, -3, -2, -1, 0, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 4
$y$: -11, -8, -7, -4, -3, -2, -1, 0, 5

Выделите штриховкой те из них, которые являются решением уравнения $2x - y = 3$.

Чтобы определить, какие из пар значений (x, y), приведенных в таблице, являются решением уравнения $2x - y = 3$, необходимо подставить значения x и y из каждой пары в это уравнение. Если в результате подстановки получается верное равенство, то пара является решением.

1. Проверяем пару $(-4, -11)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot (-4) - (-11) = -8 + 11 = 3$.
Получаем $3 = 3$. Равенство верное, следовательно, эта пара является решением.

2. Проверяем пару $(-3, -8)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot (-3) - (-8) = -6 + 8 = 2$.
Получаем $2 \neq 3$. Равенство неверное, следовательно, эта пара не является решением.

3. Проверяем пару $(-2, -7)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot (-2) - (-7) = -4 + 7 = 3$.
Получаем $3 = 3$. Равенство верное, следовательно, эта пара является решением.

4. Проверяем пару $(-1, -4)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot (-1) - (-4) = -2 + 4 = 2$.
Получаем $2 \neq 3$. Равенство неверное, следовательно, эта пара не является решением.

5. Проверяем пару $(0, -3)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot 0 - (-3) = 0 + 3 = 3$.
Получаем $3 = 3$. Равенство верное, следовательно, эта пара является решением.

6. Проверяем пару $(\frac{1}{2}, -2)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot \frac{1}{2} - (-2) = 1 + 2 = 3$.
Получаем $3 = 3$. Равенство верное, следовательно, эта пара является решением.

7. Проверяем пару $(1, -1)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot 1 - (-1) = 2 + 1 = 3$.
Получаем $3 = 3$. Равенство верное, следовательно, эта пара является решением.

8. Проверяем пару $(2, 0)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot 2 - 0 = 4$.
Получаем $4 \neq 3$. Равенство неверное, следовательно, эта пара не является решением.

9. Проверяем пару $(4, 5)$.
Подставляем в уравнение: $2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$.
Получаем $3 = 3$. Равенство верное, следовательно, эта пара является решением.

Итоговый список решений:
Пары из таблицы, которые удовлетворяют уравнению $2x-y=3$ и которые следует выделить штриховкой, это: $(-4, -11)$, $(-2, -7)$, $(0, -3)$, $(\frac{1}{2}, -2)$, $(1, -1)$ и $(4, 5)$.

Ответ: Пары, являющиеся решением уравнения: $(-4, -11)$, $(-2, -7)$, $(0, -3)$, $(\frac{1}{2}, -2)$, $(1, -1)$, $(4, 5)$.

3. Подчеркните те уравнения, которые имеют решение $x=2, y=1$:

$5x - 3y = 7$, $x + 3y = 8$, $-3x + 2y = 0$, $4x + y = 9$.

Чтобы найти уравнения, которые имеют решение $x=2, y=1$, нужно подставить эти значения в каждое уравнение и проверить, получается ли верное равенство.

$5x-3y=7$,

Подставляем $x=2$ и $y=1$ в левую часть уравнения:
$5 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 10 - 3 = 7$.
Правая часть уравнения также равна 7. Так как $7=7$, равенство верное.
Ответ: Уравнение имеет решение $x=2, y=1$.

$x+3y=8$,

Подставляем $x=2$ и $y=1$ в левую часть уравнения:
$2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$.
Правая часть уравнения равна 8. Так как $5 \neq 8$, равенство неверное.
Ответ: Уравнение не имеет решения $x=2, y=1$.

$-3x+2y=0$,

Подставляем $x=2$ и $y=1$ в левую часть уравнения:
$-3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = -6 + 2 = -4$.
Правая часть уравнения равна 0. Так как $-4 \neq 0$, равенство неверное.
Ответ: Уравнение не имеет решения $x=2, y=1$.

$4x+y=9$.

Подставляем $x=2$ и $y=1$ в левую часть уравнения:
$4 \cdot 2 + 1 = 8 + 1 = 9$.
Правая часть уравнения также равна 9. Так как $9=9$, равенство верное.
Ответ: Уравнение имеет решение $x=2, y=1$.

4. Составьте какое-либо уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:

а) $x=3, y=-1:$

б) $x=2, y=8:$

а) x=3, y=-1:

Чтобы составить уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, решением которого является заданная пара чисел, необходимо найти математическое соотношение между $x$ и $y$, которое обращается в верное числовое равенство при подстановке в него значений $x=3$ и $y=-1$. Существует бесконечное множество таких уравнений. Мы приведем пример одного из самых простых.

Рассмотрим линейное уравнение. Самый простой способ его составить — это выполнить арифметическое действие с переменными и приравнять его к результату, полученному при подстановке данных значений.

1. Возьмем простое выражение, например, сумму $x+y$.
2. Подставим в него заданные значения: $3 + (-1) = 2$.
3. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв выражение к полученному результату: $x+y=2$.

Для проверки подставим пару чисел $(3; -1)$ в полученное уравнение:

$3 + (-1) = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит, уравнение составлено правильно.

Ответ: $x+y=2$

б) x=2, y=8:

Аналогично первому пункту, составим уравнение для пары чисел $x=2$ и $y=8$.

Можно заметить, что значение переменной $y$ в 4 раза больше значения переменной $x$. Запишем это наблюдение в виде уравнения.

1. Соотношение: $y$ в 4 раза больше $x$.
2. Математическая запись: $y = 4x$.

Проверим, является ли пара $(2; 8)$ решением данного уравнения. Подставим значения $x=2$ и $y=8$:

$8 = 4 \times 2$

$8 = 8$

Получено верное равенство, следовательно, уравнение $y=4x$ является подходящим.

В качестве альтернативы можно было бы взять разность переменных: $y-x=8-2=6$. Это дает нам уравнение $y-x=6$.

Ответ: $y=4x$