Страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

9. При каком значении $a$ точка $A(a; -35)$ принадлежит графику прямой пропорциональности $y = 3.5x$?

По условию задачи, точка $A(a; -35)$ принадлежит графику функции прямой пропорциональности $y = 3,5x$. Это означает, что координаты данной точки должны удовлетворять уравнению этой функции.

Для точки $A$ абсцисса (координата по оси x) равна $a$, а ордината (координата по оси y) равна $-35$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$y = 3,5x$
$-35 = 3,5 \cdot a$

Теперь необходимо решить полученное линейное уравнение, чтобы найти значение $a$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент 3,5:
$a = \frac{-35}{3,5}$

Выполнив деление, получаем:
$a = -10$

Таким образом, при значении $a = -10$ точка $A(-10; -35)$ будет лежать на графике функции $y = 3,5x$.
Ответ: -10

10. На рисунке изображены графики четырёх функций. Какой из этих графиков проходит через точку $M(-6; -12)$?

Ответ: ........................

На рисунке изображены графики четырёх линейных функций вида $y = kx$, поскольку все они являются прямыми, проходящими через начало координат — точку $O(0; 0)$.

Чтобы определить, какой из графиков проходит через точку $M(-6; -12)$, нужно найти угловой коэффициент $k$ для функции, график которой содержит эту точку. Для этого подставим координаты точки $M$ в уравнение прямой $y = kx$:

$-12 = k \cdot (-6)$

Отсюда находим $k$:

$k = \frac{-12}{-6} = 2$

Следовательно, мы ищем график функции $y = 2x$. Теперь определим, какой из представленных на рисунке графиков (A, B, C или D) соответствует этой функции. Для этого найдем угловой коэффициент для каждой из линий, выбрав на каждой из них точку с легко читаемыми координатами.

• График A: Проходит через точку с координатами $(4; 2)$. Угловой коэффициент $k_A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Функция: $y = \frac{1}{2}x$.
• График B: Проходит через точку с координатами $(2; 3)$. Угловой коэффициент $k_B = \frac{3}{2}$. Функция: $y = \frac{3}{2}x$.
• График C: Проходит через точку с координатами $(1; 2)$. Угловой коэффициент $k_C = \frac{2}{1} = 2$. Функция: $y = 2x$.
• График D: Проходит через точку с координатами $(1; 3)$. Угловой коэффициент $k_D = \frac{3}{1} = 3$. Функция: $y = 3x$.

Сравнивая найденные значения $k$, мы видим, что искомый угловой коэффициент $k=2$ соответствует графику C.

Ответ: C

11. В каких координатных четвертях расположен график функции:

а) $y = -\frac{1}{15}x;$

б) $y = 0,02x;$

в) $y = \left(\frac{1}{7}-2\right)x;$

г) $y = \left(0,8-\frac{5}{6}\right)x?

Ответ: а) ......................... б) ......................... в) ......................... г) .........................

Все представленные функции являются функциями прямой пропорциональности вида $y = kx$. График такой функции — это прямая линия, проходящая через начало координат. Расположение графика в координатных четвертях определяется знаком углового коэффициента $k$:

• Если $k > 0$ (коэффициент положительный), то график функции располагается в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$ (коэффициент отрицательный), то график функции располагается во II и IV координатных четвертях.

а) Для функции $y = -\frac{1}{15}x$ коэффициент $k = -\frac{1}{15}$. Так как коэффициент $k$ отрицательный ($k < 0$), то график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.

б) Для функции $y = 0,02x$ коэффициент $k = 0,02$. Так как коэффициент $k$ положительный ($k > 0$), то график функции расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

в) Для функции $y = (\frac{1}{7} - 2)x$ сначала определим знак коэффициента $k = \frac{1}{7} - 2$. Вычислим его значение:

$k = \frac{1}{7} - 2 = \frac{1}{7} - \frac{14}{7} = \frac{1 - 14}{7} = -\frac{13}{7}$

Поскольку $k = -\frac{13}{7}$ является отрицательным числом ($k < 0$), график расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.

г) Для функции $y = (0,8 - \frac{5}{6})x$ сначала определим знак коэффициента $k = 0,8 - \frac{5}{6}$. Для этого представим десятичную дробь в виде обыкновенной и выполним вычитание:

$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$k = \frac{4}{5} - \frac{5}{6} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{24}{30} - \frac{25}{30} = -\frac{1}{30}$

Поскольку $k = -\frac{1}{30}$ является отрицательным числом ($k < 0$), график расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.

12. Функция задана формулой $y = kx$. Определите значение коэффициента $k$ и заполните таблицу:

Определите значение коэффициента k

Функция задана формулой $y = kx$. Это функция прямой пропорциональности. Для того чтобы найти коэффициент $k$, мы можем использовать известную из таблицы пару соответственных значений $x$ и $y$.

Из таблицы мы видим, что когда $x = 6$, значение $y = -18$.

Подставим эти значения в формулу функции:
$-18 = k \cdot 6$

Теперь решим это уравнение относительно $k$, разделив обе части на 6:
$k = \frac{-18}{6}$
$k = -3$

Ответ: Значение коэффициента $k = -3$.

Заполните таблицу

Теперь, когда мы знаем, что $k = -3$, мы можем записать формулу функции как $y = -3x$. Используя эту формулу, мы можем вычислить все недостающие значения $y$ для каждого заданного $x$.

- При $x = -0,2$: $y = -3 \cdot (-0,2) = 0,6$
- При $x = 0$: $y = -3 \cdot 0 = 0$
- При $x = 8$: $y = -3 \cdot 8 = -24$
- При $x = 8,5$: $y = -3 \cdot 8,5 = -25,5$
- При $x = 10$: $y = -3 \cdot 10 = -30$
- При $x = 32$: $y = -3 \cdot 32 = -96$

Итоговая заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Пропущенные значения в строке $y$: $0,6$; $0$; $-24$; $-25,5$; $-30$; $-96$.

3. Верно ли, что при любом целом m значение выражения $(3m - 8)(7 + 3m) - (3m - 5)(3m + 4)$ кратно 12?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать результат.

Исходное выражение: $(3m - 8)(7 + 3m) - (3m - 5)(3m + 4)$.

Шаг 1: Раскроем скобки в первом произведении, предварительно поменяв слагаемые во второй скобке для удобства:

$(3m - 8)(3m + 7) = (3m) \cdot (3m) + (3m) \cdot 7 - 8 \cdot (3m) - 8 \cdot 7 = 9m^2 + 21m - 24m - 56$

Приведем подобные слагаемые:

$9m^2 + (21m - 24m) - 56 = 9m^2 - 3m - 56$

Шаг 2: Раскроем скобки во втором произведении:

$(3m - 5)(3m + 4) = (3m) \cdot (3m) + (3m) \cdot 4 - 5 \cdot (3m) - 5 \cdot 4 = 9m^2 + 12m - 15m - 20$

Приведем подобные слагаемые:

$9m^2 + (12m - 15m) - 20 = 9m^2 - 3m - 20$

Шаг 3: Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:

$(9m^2 - 3m - 56) - (9m^2 - 3m - 20)$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$9m^2 - 3m - 56 - 9m^2 + 3m + 20$

Шаг 4: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(9m^2 - 9m^2) + (-3m + 3m) + (-56 + 20) = 0 + 0 - 36 = -36$

В результате упрощения мы выяснили, что значение данного выражения не зависит от переменной $m$ и всегда равно $-36$.

Шаг 5: Проверим, кратно ли число $-36$ числу 12. Число считается кратным 12, если оно делится на 12 без остатка.

$-36 \div 12 = -3$

Так как в результате деления получилось целое число ($-3$), то число $-36$ кратно 12.

Следовательно, утверждение о том, что при любом целом $m$ значение выражения кратно 12, является верным.

Ответ: Да, верно.

4. Решите уравнение $(2 + 15x)(15x - 2) - 75x(3x - 8) = 16$ и выполните проверку.

Решение

Исходное уравнение: $(2 + 15x)(15x - 2) - 75x(3x - 8) = 16$.

Для начала упростим левую часть уравнения. Заметим, что первое произведение $(2 + 15x)(15x - 2)$ можно представить в виде $(15x + 2)(15x - 2)$. Это является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 15x$ и $b = 2$.

Применяя формулу, получаем:

$(15x)^2 - 2^2 = 225x^2 - 4$.

Далее раскроем скобки во втором члене $-75x(3x - 8)$, умножив $-75x$ на каждый член в скобках:

$-75x \cdot 3x - 75x \cdot (-8) = -225x^2 + 600x$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$(225x^2 - 4) + (-225x^2 + 600x) = 16$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$225x^2 - 4 - 225x^2 + 600x = 16$.

Члены $225x^2$ и $-225x^2$ взаимно уничтожаются.

Уравнение принимает вид:

$600x - 4 = 16$.

Перенесем $-4$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$600x = 16 + 4$.

$600x = 20$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 600:

$x = \frac{20}{600}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 20:

$x = \frac{20 \div 20}{600 \div 20} = \frac{1}{30}$.

Ответ: $x = \frac{1}{30}$.

Проверка

Подставим найденный корень $x = \frac{1}{30}$ в исходное уравнение $(2 + 15x)(15x - 2) - 75x(3x - 8) = 16$.

Сначала вычислим значения выражений, содержащих $x$:

$15x = 15 \cdot \frac{1}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.

$75x = 75 \cdot \frac{1}{30} = \frac{75}{30} = \frac{5}{2}$.

$3x = 3 \cdot \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$(2 + \frac{1}{2})(\frac{1}{2} - 2) - \frac{5}{2}(\frac{1}{10} - 8) = 16$.

Выполним действия в скобках:

$2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

$\frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2}$.

$\frac{1}{10} - 8 = \frac{1}{10} - \frac{80}{10} = -\frac{79}{10}$.

Теперь подставим вычисленные значения обратно в выражение:

$(\frac{5}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) - (\frac{5}{2}) \cdot (-\frac{79}{10}) = 16$.

Выполним умножение:

$-\frac{15}{4} - (-\frac{395}{20}) = 16$.

$-\frac{15}{4} + \frac{395}{20} = 16$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дробь $\frac{395}{20}$ можно сократить на 5: $\frac{395 \div 5}{20 \div 5} = \frac{79}{4}$.

$-\frac{15}{4} + \frac{79}{4} = 16$.

$\frac{-15 + 79}{4} = 16$.

$\frac{64}{4} = 16$.

$16 = 16$.

Равенство верное. Это означает, что корень уравнения найден правильно.

Ответ: проверка подтвердила, что корень уравнения $x = \frac{1}{30}$ найден верно.

5. Преобразуйте в многочлен выражение $(2a - 3b + 4c)^2.$

Чтобы преобразовать выражение $(2a - 3b + 4c)^2$ в многочлен, необходимо раскрыть скобки, возведя трехчлен в квадрат. Для этого используется формула квадрата суммы трех слагаемых: $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$.

В данном случае слагаемые равны: $x = 2a$, $y = -3b$ и $z = 4c$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2a - 3b + 4c)^2 = (2a)^2 + (-3b)^2 + (4c)^2 + 2(2a)(-3b) + 2(2a)(4c) + 2(-3b)(4c)$

Теперь вычислим каждый член выражения по отдельности:

1. Квадраты каждого слагаемого:

$(2a)^2 = 4a^2$

$(-3b)^2 = 9b^2$

$(4c)^2 = 16c^2$

2. Удвоенные произведения пар слагаемых:

$2(2a)(-3b) = -12ab$

$2(2a)(4c) = 16ac$

$2(-3b)(4c) = -24bc$

Соберем все полученные члены вместе, чтобы сформировать итоговый многочлен. Расположим их в стандартном порядке:

$4a^2 + 9b^2 + 16c^2 - 12ab + 16ac - 24bc$

Ответ: $4a^2 + 9b^2 + 16c^2 - 12ab + 16ac - 24bc$

6. Преобразуйте в многочлен сумму многочлена $x^4 - x^2 + 1$ и произведения многочленов $1 - x^2$ и $x^2 + 1$.

Чтобы преобразовать данное выражение в многочлен, необходимо составить математическое выражение, соответствующее условию, а затем упростить его. Условие требует сложить многочлен $x^4 - x^2 + 1$ с произведением многочленов $1 - x^2$ и $x^2 + 1$.

Запишем исходное выражение: $$(x^4 - x^2 + 1) + (1 - x^2)(x^2 + 1)$$

Первым шагом вычислим произведение $(1 - x^2)(x^2 + 1)$. Для удобства можно поменять множители местами и переставить слагаемые во втором множителе: $(1 + x^2)(1 - x^2)$. Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу, где $a=1$ и $b=x^2$: $$(1 - x^2)(1 + x^2) = 1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4$$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение: $$(x^4 - x^2 + 1) + (1 - x^4)$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Подобными являются $x^4$ и $-x^4$, а также $1$ и $1$. $$x^4 - x^2 + 1 + 1 - x^4 = (x^4 - x^4) - x^2 + (1 + 1)$$

Выполним вычисления: $$0 - x^2 + 2 = -x^2 + 2$$

Итоговый многочлен в стандартном виде (сначала слагаемые с переменной в порядке убывания степени, затем свободный член) - это $-x^2 + 2$. Его также можно записать как $2 - x^2$.

Ответ: $2 - x^2$.