Страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

7. На рисунке 4 изображены графики двух функций. При каких значениях аргумента значение первой функции равно значению второй?

Ответ: ......................

Рис. 4

Чтобы найти значения аргумента, при которых значения двух функций равны, необходимо найти абсциссы (координаты по оси $x$) точек пересечения их графиков.

На графике видно, что кривые пересекаются в двух точках. Определим их координаты.

Первая точка пересечения имеет координаты $(1; 3)$. Абсцисса этой точки равна $1$.

Вторая точка пересечения имеет координаты $(4; 1)$. Абсцисса этой точки равна $4$.

Следовательно, значения функций равны при значениях аргумента $x=1$ и $x=4$.

Ответ: $1; 4$.

8. Пользуясь графиком, изображённым на рисунке 5, заполните таблицу:

Рис. 4

Рис. 5

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из таблицы найти соответствующее ему значение $y$ по графику функции, изображенному на рисунке 5. Для этого нужно найти точку на графике с заданной абсциссой $x$ и определить ее ординату $y$.

При $x = -4$: Находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) значение -4. Поднимаемся вертикально вверх до пересечения с линией графика. Точка пересечения имеет координату $y$, равную 3.
Ответ: 3

При $x = -2$: Находим на оси абсцисс значение -2. Видим, что график функции пересекает ось $x$ в этой точке. Координата $y$ для любой точки на оси абсцисс равна 0.
Ответ: 0

При $x = 0$: Находим на оси абсцисс значение 0 (это точка пересечения осей). График пересекает ось ординат (вертикальную ось) в этой точке. Координата $y$ в точке пересечения равна 1.
Ответ: 1

При $x = 3$: Находим на оси абсцисс значение 3. График функции пересекает ось $x$ в этой точке, следовательно, координата $y$ равна 0.
Ответ: 0

При $x = 4$: Находим на оси абсцисс значение 4. Поднимаемся вертикально вверх до пересечения с линией графика. Точка пересечения имеет координату $y$, равную 3.
Ответ: 3

При $x = 5$: Находим на оси абсцисс значение 5. Поднимаемся вертикально вверх до пересечения с линией графика. Точка пересечения соответствует значению $y=8$ на оси ординат.
Ответ: 8

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

9. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой $y=3x-5$, точка: а) $A(3; 4)$; б) $B(-2; 11)$; в) $C(-1; -8)$?

Ответ:

а) ..................... б) ..................... в) .....................

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки в формулу функции. Если в результате подстановки мы получаем верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Формула функции: $y = 3x - 5$.

а) Проверим точку A(3; 4).
Координаты точки: $x = 3$, $y = 4$.
Подставляем эти значения в формулу функции:
$4 = 3 \cdot 3 - 5$
$4 = 9 - 5$
$4 = 4$
Получено верное равенство, значит, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим точку B(-2; 11).
Координаты точки: $x = -2$, $y = 11$.
Подставляем эти значения в формулу функции:
$11 = 3 \cdot (-2) - 5$
$11 = -6 - 5$
$11 = -11$
Получено неверное равенство, значит, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

в) Проверим точку C(-1; -8).
Координаты точки: $x = -1$, $y = -8$.
Подставляем эти значения в формулу функции:
$-8 = 3 \cdot (-1) - 5$
$-8 = -3 - 5$
$-8 = -8$
Получено верное равенство, значит, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

10. Вода в чайнике имеет температуру $20^\circ$. При нагревании температура воды меняется в зависимости от времени нагревания. На рисунке (см. с. 58) изображён график этой зависимости. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы:

а) какую температуру имела вода через 4 мин после начала нагревания; через 7 мин;

б) через сколько минут после начала нагревания температура воды стала равна $45^\circ\text{C}$; $80^\circ\text{C}$;

в) через сколько минут вода закипела?

Ответ: а) ................. б) ................. в) .................

$T, ^\circ\text{C}$

$t$, мин

а) Для того чтобы определить температуру воды в определенный момент времени, необходимо найти на графике точку, соответствующую этому времени, и определить ее координату по оси температур.

1. Находим на горизонтальной оси (ось времени $t$, мин) отметку "4". Мысленно проводим вертикальную линию от этой отметки до пересечения с графиком. Затем от точки пересечения проводим горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью (ось температуры $T$, °C). Эта линия указывает на значение 60. Следовательно, через 4 минуты температура воды была $60$ °C.

2. Аналогично поступаем для времени 7 минут. Находим на оси времени отметку "7", поднимаемся до графика и от точки пересечения движемся влево к оси температуры. Получаем значение $90$ °C.

Ответ: через 4 мин температура воды была 60 °C; через 7 мин — 90 °C.

б) Чтобы определить, через какое время температура воды достигла определенного значения, необходимо найти на оси температур это значение, а затем определить соответствующую ему координату по оси времени.

1. Находим на вертикальной оси температур значение $45$ °C (эта отметка находится посередине между 40 и 50). Проводим от этой отметки горизонтальную линию вправо до пересечения с графиком. От полученной точки на графике опускаем вертикальную линию вниз на ось времени. Эта линия указывает на значение 2,5. Следовательно, температура $45$ °C была достигнута через 2,5 минуты.

2. Таким же образом находим время для температуры $80$ °C. Проводим горизонтальную линию от отметки 80 на оси температур до графика, а затем опускаемся на ось времени. Получаем значение 6 минут.

Ответ: температура 45 °C была достигнута через 2,5 мин; температура 80 °C — через 6 мин.

в) Вода кипит при температуре $100$ °C (при нормальных условиях). Чтобы определить, когда вода закипела, нужно найти на графике момент времени, соответствующий температуре $100$ °C.

Находим на вертикальной оси температур отметку 100. Проводим от нее горизонтальную линию до пересечения с графиком. От точки пересечения опускаем вертикальную линию на ось времени. Получаем значение 8 минут.

Ответ: вода закипела через 8 минут.

13. На сторонах прямоугольника построены квадраты, площадь одного из которых на 39 $\text{см}^2$ больше площади другого. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 26 $\text{см}$.

Решение. ..........................

........................

Решение.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 26 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Составим первое уравнение:
$2(a+b) = 26$
$a+b = 13$

На сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_a = a^2$. Площадь квадрата со стороной $b$ равна $S_b = b^2$. По условию, площадь одного из квадратов на 39 см² больше площади другого. Предположим, что $a$ - большая сторона, тогда $S_a > S_b$. Составим второе уравнение:
$a^2 - b^2 = 39$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a+b = 13 \\ a^2 - b^2 = 39 \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для второго уравнения:
$(a-b)(a+b) = 39$
Теперь подставим в это уравнение значение $(a+b)$ из первого уравнения системы:
$(a-b) \cdot 13 = 39$
Разделим обе части уравнения на 13:
$a-b = \frac{39}{13}$
$a-b = 3$

Теперь решим новую, более простую систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} a+b = 13 \\ a-b = 3 \end{cases} $
Сложим два уравнения почленно:
$(a+b) + (a-b) = 13 + 3$
$2a = 16$
$a = 8$

Подставим найденное значение $a=8$ в первое уравнение $a+b=13$:
$8 + b = 13$
$b = 13 - 8$
$b = 5$

Итак, мы нашли стороны прямоугольника: 8 см и 5 см.
Проверим правильность решения:
1. Периметр: $P = 2(8+5) = 2 \cdot 13 = 26$ см. Это соответствует условию.
2. Площади квадратов: $S_a = 8^2 = 64$ см², $S_b = 5^2 = 25$ см².
3. Разность площадей: $S_a - S_b = 64 - 25 = 39$ см². Это также соответствует условию.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 5 см.

14. Представьте в виде произведения:

a) $16(3a + 1)^2 - 9a^2 = $

б) $64x^2 - 9(2x - 3)^2 = $

в) $4(2p - 3)^2 - 25p^2 = $

г) $49m^2 - 9(2m - 5)^2 = $

а) Исходное выражение $16(3a + 1)^2 - 9a^2$ представляет собой разность квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:
$16(3a + 1)^2 = (4 \cdot (3a + 1))^2 = (12a + 4)^2$
$9a^2 = (3a)^2$
Теперь, когда у нас есть $A = 12a + 4$ и $B = 3a$, подставим их в формулу:
$(12a + 4)^2 - (3a)^2 = ((12a + 4) - 3a)((12a + 4) + 3a)$
Упростим выражения в каждой скобке:
$(12a - 3a + 4)(12a + 3a + 4) = (9a + 4)(15a + 4)$
Ответ: $(9a + 4)(15a + 4)$

б) Выражение $64x^2 - 9(2x - 3)^2$ также является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$64x^2 = (8x)^2$
$9(2x - 3)^2 = (3 \cdot (2x - 3))^2 = (6x - 9)^2$
В данном случае $A = 8x$ и $B = 6x - 9$. Подставим их в формулу:
$(8x)^2 - (6x - 9)^2 = (8x - (6x - 9))(8x + (6x - 9))$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(8x - 6x + 9)(8x + 6x - 9) = (2x + 9)(14x - 9)$
Ответ: $(2x + 9)(14x - 9)$

в) Выражение $4(2p - 3)^2 - 25p^2$ является разностью квадратов. Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены выражения в виде квадратов:
$4(2p - 3)^2 = (2 \cdot (2p - 3))^2 = (4p - 6)^2$
$25p^2 = (5p)^2$
Здесь $A = 4p - 6$ и $B = 5p$. Подставляем в формулу:
$(4p - 6)^2 - (5p)^2 = ((4p - 6) - 5p)((4p - 6) + 5p)$
Упрощаем выражения в скобках:
$(4p - 5p - 6)(4p + 5p - 6) = (-p - 6)(9p - 6)$
Ответ: $(-p - 6)(9p - 6)$

г) Выражение $49m^2 - 9(2m - 5)^2$ — это разность квадратов. Разложим его на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$49m^2 = (7m)^2$
$9(2m - 5)^2 = (3 \cdot (2m - 5))^2 = (6m - 15)^2$
У нас $A = 7m$ и $B = 6m - 15$. Подставим в формулу разности квадратов:
$(7m)^2 - (6m - 15)^2 = (7m - (6m - 15))(7m + (6m - 15))$
Упростим, раскрыв внутренние скобки:
$(7m - 6m + 15)(7m + 6m - 15) = (m + 15)(13m - 15)$
Ответ: $(m + 15)(13m - 15)$