Страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Отметьте на координатной плоскости (рис. 2) точки $A(2; 2)$; $B(0; 4)$; $C(-3; 1)$; $D(-5; 0)$; $E(-3; -3)$; $F(4; -1)$; $G(6; -4)$.

Рис. 2

Для того чтобы отметить точку с координатами $(x; y)$ на координатной плоскости, необходимо использовать ее абсциссу ($x$) и ординату ($y$). Абсцисса показывает, на сколько единиц нужно сдвинуться по горизонтальной оси $Ox$ от начала координат (точки $O(0;0)$), а ордината — на сколько единиц сдвинуться по вертикальной оси $Oy$. Положительное значение $x$ означает движение вправо, отрицательное — влево. Положительное значение $y$ означает движение вверх, отрицательное — вниз.

Точка A(2; 2): Для этой точки абсцисса $x=2$ и ордината $y=2$. Нужно от начала координат сместиться на 2 единицы вправо по оси $Ox$, а затем на 2 единицы вверх параллельно оси $Oy$.

Точка B(0; 4): Абсцисса $x=0$, ордината $y=4$. Так как абсцисса равна нулю, точка находится на оси $Oy$. Нужно от начала координат подняться на 4 единицы вверх по оси $Oy$.

Точка C(-3; 1): Абсцисса $x=-3$, ордината $y=1$. Нужно от начала координат сместиться на 3 единицы влево по оси $Ox$, а затем на 1 единицу вверх параллельно оси $Oy$.

Точка D(-5; 0): Абсцисса $x=-5$, ордината $y=0$. Так как ордината равна нулю, точка находится на оси $Ox$. Нужно от начала координат сместиться на 5 единиц влево по оси $Ox$.

Точка E(-3; -3): Абсцисса $x=-3$, ордината $y=-3$. Нужно от начала координат сместиться на 3 единицы влево по оси $Ox$, а затем на 3 единицы вниз параллельно оси $Oy$.

Точка F(4; -1): Абсцисса $x=4$, ордината $y=-1$. Нужно от начала координат сместиться на 4 единицы вправо по оси $Ox$, а затем на 1 единицу вниз параллельно оси $Oy$.

Точка G(6; -4): Абсцисса $x=6$, ордината $y=-4$. Нужно от начала координат сместиться на 6 единиц вправо по оси $Ox$, а затем на 4 единицы вниз параллельно оси $Oy$.

Ниже на рисунке показано расположение всех заданных точек на координатной плоскости.

Ответ: Точки A(2; 2), B(0; 4), C(-3; 1), D(-5; 0), E(-3; -3), F(4; -1) и G(6; -4) отмечены на координатной плоскости в соответствии с их координатами, как показано на рисунке.

2. Воспользовавшись рисунком 3, найдите координаты вершин шестиугольника ABCDEF.

Ответ: А (......; ......); В (......; ......); С (......; ......); D (......; ......); Е (......; ......); F (......; ......).

Рис. 2

Рис. 3

Для нахождения координат вершин шестиугольника $ABCDEF$, изображенного на рисунке 3, необходимо определить положение каждой вершины относительно осей координат $x$ (ось абсцисс) и $y$ (ось ординат). Масштаб координатной сетки таков, что одна клетка равна одной единице. Координаты любой точки на плоскости записываются в формате $(x; y)$, где $x$ — это смещение по горизонтали от начала координат, а $y$ — смещение по вертикали.

A(…; …): Чтобы найти координаты вершины A, определим ее смещение от начала координат (точки $O(0;0)$). Вершина A смещена на 3 единицы влево по оси $x$ и на 1 единицу вверх по оси $y$. Смещение влево соответствует отрицательному значению абсциссы ($x = -3$), а смещение вверх — положительному значению ординаты ($y = 1$).
Ответ: A(-3; 1)

B(…; …): Вершина B смещена от начала координат на 1 единицу влево по оси $x$ и на 3 единицы вверх по оси $y$. Таким образом, ее абсцисса $x = -1$, а ордината $y = 3$.
Ответ: B(-1; 3)

C(…; …): Вершина C смещена от начала координат на 2 единицы вправо по оси $x$ и на 2 единицы вверх по оси $y$. Смещение вправо соответствует положительному значению абсциссы ($x = 2$), а смещение вверх — положительному значению ординаты ($y = 2$).
Ответ: C(2; 2)

D(…; …): Вершина D лежит непосредственно на оси $x$. Она смещена на 3 единицы вправо от начала координат, поэтому ее абсцисса $x = 3$. Поскольку точка лежит на оси абсцисс, ее смещение по вертикали равно нулю, то есть ордината $y = 0$.
Ответ: D(3; 0)

E(…; …): Вершина E лежит непосредственно на оси $y$. Она смещена на 2 единицы вниз от начала координат. Смещения по горизонтали нет, поэтому ее абсцисса $x = 0$. Смещение вниз соответствует отрицательному значению ординаты, то есть $y = -2$.
Ответ: E(0; -2)

F(…; …): Вершина F смещена от начала координат на 2 единицы влево по оси $x$ и на 2 единицы вниз по оси $y$. Следовательно, ее абсцисса $x = -2$, а ее ордината $y = -2$.
Ответ: F(-2; -2)

3. На координатной плоскости отметьте точку $A(3; 2)$. Постройте:

а) точку $B$, симметричную точке $A$ относительно оси $x$;

б) точку $C$, симметричную точке $A$ относительно оси $y$;

в) точку $D$, симметричную точке $A$ относительно начала координат.

Укажите координаты точек $B, C$ и $D$.

Ответ: $B(\dots; \dots)$; $C(\dots; \dots)$;

$D(\dots; \dots)$.

Исходная точка — $A(3; 2)$.

а) точку B, симметричную точке А относительно оси x;

При симметрии точки относительно оси абсцисс (оси $x$), ее абсцисса (координата $x$) сохраняется, а ордината (координата $y$) меняет свой знак на противоположный. Для точки $A(3; 2)$ симметричной будет точка $B$, у которой $x_B = 3$, а $y_B = -2$.

Ответ: Координаты точки $B$ — $(3; -2)$.

б) точку C, симметричную точке А относительно оси y;

При симметрии точки относительно оси ординат (оси $y$), ее ордината (координата $y$) сохраняется, а абсцисса (координата $x$) меняет свой знак на противоположный. Для точки $A(3; 2)$ симметричной будет точка $C$, у которой $x_C = -3$, а $y_C = 2$.

Ответ: Координаты точки $C$ — $(-3; 2)$.

в) точку D, симметричную точке А относительно начала координат.

При симметрии точки относительно начала координат (точки $O(0; 0)$), обе ее координаты меняют свой знак на противоположный. Для точки $A(3; 2)$ симметричной будет точка $D$, у которой $x_D = -3$, а $y_D = -2$.

Ответ: Координаты точки $D$ — $(-3; -2)$.

Таким образом, итоговые координаты искомых точек:

Ответ: B(3; –2); C(–3; 2); D(–3; –2).

7. Разложите на множители:

$c^4 - 0,81d^2 = (c^2)^2 - (0,9d)^2 = (c^2 - 0,9d)(c^2 + 0,9d)$

а) $x^4 - 4 = $

б) $a^6 - 121 = $

в) $p^8 - 225m^2 = $

Для разложения на множители выражений в данном задании используется формула сокращенного умножения, а именно разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а) $x^4 - 4$

Первым шагом представим каждый член выражения в виде квадрата. Мы знаем, что $x^4 = (x^2)^2$ и $4 = 2^2$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать как разность квадратов:
$x^4 - 4 = (x^2)^2 - 2^2$.
Теперь применим формулу разности квадратов, где в качестве $a$ выступает $x^2$, а в качестве $b$ выступает $2$:
$(x^2)^2 - 2^2 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)$.
Ответ: $(x^2 - 2)(x^2 + 2)$.

б) $a^6 - 121$

Представим данное выражение в виде разности квадратов. Для этого запишем $a^6$ как $(a^3)^2$ и число $121$ как $11^2$.
Выражение принимает следующий вид:
$a^6 - 121 = (a^3)^2 - 11^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $a = a^3$ и $b = 11$:
$(a^3)^2 - 11^2 = (a^3 - 11)(a^3 + 11)$.
Ответ: $(a^3 - 11)(a^3 + 11)$.

в) $p^8 - 225m^2$

Снова используем метод разности квадратов. Представим $p^8$ как $(p^4)^2$ и $225m^2$ как $(15m)^2$, поскольку $15^2 = 225$.
Теперь выражение можно записать в виде:
$p^8 - 225m^2 = (p^4)^2 - (15m)^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $a = p^4$ и $b = 15m$:
$(p^4)^2 - (15m)^2 = (p^4 - 15m)(p^4 + 15m)$.
Ответ: $(p^4 - 15m)(p^4 + 15m)$.

8. Разложите на множители:

a) $81a^4 - 1$ =

б) $0.0001x^4 - y^4$ =

а) Для разложения на множители выражения $81a^4 - 1$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Сначала представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $81a^4 = (9a^2)^2$ и $1 = 1^2$.
$81a^4 - 1 = (9a^2)^2 - 1^2$
Применяем формулу, где $A = 9a^2$ и $B = 1$:
$(9a^2)^2 - 1^2 = (9a^2 - 1)(9a^2 + 1)$
Теперь рассмотрим множитель $(9a^2 - 1)$. Он также является разностью квадратов, поскольку $9a^2 = (3a)^2$.
$9a^2 - 1 = (3a)^2 - 1^2$
Применим формулу еще раз, где $A = 3a$ и $B = 1$:
$(3a)^2 - 1^2 = (3a - 1)(3a + 1)$
Множитель $(9a^2 + 1)$ является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$81a^4 - 1 = (3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$
Ответ: $(3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$

б) Для разложения на множители выражения $0.0001x^4 - y^4$ мы также будем использовать формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата. Заметим, что $0.0001x^4 = (0.01x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$.
$0.0001x^4 - y^4 = (0.01x^2)^2 - (y^2)^2$
Применяем формулу, где $A = 0.01x^2$ и $B = y^2$:
$(0.01x^2)^2 - (y^2)^2 = (0.01x^2 - y^2)(0.01x^2 + y^2)$
Теперь рассмотрим множитель $(0.01x^2 - y^2)$. Это тоже разность квадратов, поскольку $0.01x^2 = (0.1x)^2$.
$0.01x^2 - y^2 = (0.1x)^2 - y^2$
Применим формулу еще раз, где $A = 0.1x$ и $B = y$:
$(0.1x)^2 - y^2 = (0.1x - y)(0.1x + y)$
Множитель $(0.01x^2 + y^2)$ является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.
Следовательно, окончательное разложение выглядит так:
$0.0001x^4 - y^4 = (0.1x - y)(0.1x + y)(0.01x^2 + y^2)$
Ответ: $(0.1x - y)(0.1x + y)(0.01x^2 + y^2)$

9. Решите уравнение:

a) $(x + 12)^2 - x^2 = 336;$

б) $(16 + 2x)^2 - (5 + 2x)^2 = 121.

а) $(x+12)^2 - x^2 = 336$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном уравнении $a = x+12$ и $b = x$. Подставим эти значения в формулу:

$((x+12) - x)((x+12) + x) = 336$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(x+12-x)(x+12+x) = 336$

$(12)(2x+12) = 336$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Разделим обе части уравнения на 12:

$2x+12 = \frac{336}{12}$

$2x+12 = 28$

Перенесем число 12 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 28 - 12$

$2x = 16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{16}{2}$

$x = 8$

Ответ: $x=8$

б) $(16+2x)^2 - (5+2x)^2 = 121$

Это уравнение также удобно решать с помощью формулы разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a = 16+2x$ и $b = 5+2x$. Применим формулу:

$((16+2x) - (5+2x))((16+2x) + (5+2x)) = 121$

Раскроем скобки внутри каждой из больших скобок. Важно помнить, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее:

$(16+2x-5-2x)(16+2x+5+2x) = 121$

Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:

$(11)(21+4x) = 121$

Разделим обе части уравнения на 11:

$21+4x = \frac{121}{11}$

$21+4x = 11$

Перенесем 21 в правую часть с противоположным знаком:

$4x = 11 - 21$

$4x = -10$

Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{-10}{4}$

Сократим дробь на 2 и, при необходимости, представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x=-2.5$

10. Докажите, что при любом целом n:

а) значение выражения $(8n + 4)^2 – (2n + 1)^2$ делится на 15;

б) значение выражения $(10n + 5)^2 – (2n + 1)^2$ делится на 24;

в) значение выражения $(10n + 5)^2 – (6n + 3)^2$ делится на 16.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(8n + 4)^2 - (2n + 1)^2$ делится на 15 при любом целом $n$, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(8n + 4)^2 - (2n + 1)^2 = ((8n + 4) - (2n + 1)) \cdot ((8n + 4) + (2n + 1))$
Упростим выражение:
$(8n - 2n + 4 - 1) \cdot (8n + 2n + 4 + 1) = (6n + 3)(10n + 5)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$3(2n + 1) \cdot 5(2n + 1) = 15(2n + 1)^2$
Поскольку $n$ — целое число, то $(2n + 1)$ — целое число, и $(2n + 1)^2$ также является целым числом. Таким образом, выражение $15(2n + 1)^2$ всегда кратно 15. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Для доказательства того, что значение выражения $(10n + 5)^2 - (2n + 1)^2$ делится на 24 при любом целом $n$, воспользуемся формулой разности квадратов.
$(10n + 5)^2 - (2n + 1)^2 = ((10n + 5) - (2n + 1)) \cdot ((10n + 5) + (2n + 1))$
Упростим выражение:
$(10n - 2n + 5 - 1) \cdot (10n + 2n + 5 + 1) = (8n + 4)(12n + 6)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$4(2n + 1) \cdot 6(2n + 1) = 24(2n + 1)^2$
Так как $n$ — целое число, выражение $(2n + 1)^2$ является целым числом. Следовательно, произведение $24(2n + 1)^2$ всегда делится на 24. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в) Для доказательства того, что значение выражения $(10n + 5)^2 - (6n + 3)^2$ делится на 16 при любом целом $n$, применим формулу разности квадратов.
$(10n + 5)^2 - (6n + 3)^2 = ((10n + 5) - (6n + 3)) \cdot ((10n + 5) + (6n + 3))$
Упростим выражение:
$(10n - 6n + 5 - 3) \cdot (10n + 6n + 5 + 3) = (4n + 2)(16n + 8)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$2(2n + 1) \cdot 8(2n + 1) = 16(2n + 1)^2$
Так как $n$ — целое число, $(2n + 1)^2$ также является целым числом. Произведение $16(2n + 1)^2$ всегда делится на 16. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.