Номер 14, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

15. Линейная функция и её график. Глава ІІ. Функции. Часть 1 - номер 14, страница 69.

Условие.

14. Один из углов треугольника равен $b^\circ$, другой угол — на $40^\circ$ больше, а третий угол равен $a^\circ$. Задайте формулой зависимость $a$ от $b$ (сумма углов треугольника равна $180^\circ$):

$a = 140 - 2b$

Является ли эта зависимость линейной функцией?

Какова область определения этой функции?

Решение.

Решение 2.

Задайте формулой зависимость a от b (сумма углов треугольника равна 180°):

Пусть углы треугольника равны $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$.
Согласно условию задачи, мы имеем следующие значения для углов:
$\angle 1 = b^\circ$
$\angle 2 = (b + 40)^\circ$ (поскольку он на $40^\circ$ больше первого)
$\angle 3 = a^\circ$
Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма всех его внутренних углов равна $180^\circ$. Запишем это в виде уравнения:
$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$
Подставим в уравнение выражения для углов:
$b + (b + 40) + a = 180$
Сложим подобные слагаемые:
$2b + 40 + a = 180$
Теперь выразим $a$ через $b$, перенеся остальные члены в правую часть уравнения:
$a = 180 - 40 - 2b$
$a = 140 - 2b$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $a = 140 - 2b$

Является ли эта зависимость линейной функцией?

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + m$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (функция), а $k$ и $m$ — некоторые числа (коэффициенты).
Полученная нами зависимость $a = 140 - 2b$ может быть записана как $a = -2b + 140$.
Если мы рассматриваем $a$ как функцию от аргумента $b$, то наша формула полностью соответствует определению линейной функции:
- зависимая переменная $y$ — это $a$
- независимая переменная $x$ — это $b$
- угловой коэффициент $k = -2$
- свободный член $m = 140$
Таким образом, эта зависимость является линейной функцией.
Ответ: Да, является.

Какова область определения этой функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента. В нашем случае аргументом является $b$.
Поскольку $a$ и $b$ связаны с углами реального треугольника, каждый угол должен быть положительным (больше $0^\circ$). Это накладывает ограничения на возможные значения $b$.
1. Угол $\angle 1 = b^\circ$ должен быть больше нуля: $b > 0$.
2. Угол $\angle 2 = (b + 40)^\circ$ должен быть больше нуля: $b + 40 > 0$, что дает $b > -40$. Это условие является менее строгим, чем $b > 0$, поэтому мы используем $b > 0$.
3. Угол $\angle 3 = a^\circ$ должен быть больше нуля: $a > 0$. Подставим выражение для $a$:
$140 - 2b > 0$
Перенесем $2b$ в правую часть:
$140 > 2b$
Разделим обе части на 2:
$70 > b$, или $b < 70$.
Мы должны одновременно выполнить два условия для $b$: $b > 0$ и $b < 70$.
Объединив их, мы получаем двойное неравенство: $0 < b < 70$.
Это и есть область определения для данной функции в контексте задачи.
Ответ: $0 < b < 70$ (или в виде интервала $b \in (0; 70)$).