Номер 17, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

15. Линейная функция и её график. Глава ІІ. Функции. Часть 1 - номер 17, страница 69.

Условие.

17. На рисунке изображён график функции $y = ax + b$. Постройте:

а) график функции $y = -ax + b$;

б) график функции $y = ax - 2b$.

Решение 2.

Для решения задачи сначала определим коэффициенты $a$ и $b$ для исходной функции $y = ax + b$, график которой изображён на рисунке.

1. Нахождение коэффициента $b$. Коэффициент $b$ в уравнении прямой — это ордината точки пересечения графика с осью $y$. Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, 2)$. Следовательно, $b = 2$.

2. Нахождение коэффициента $a$. Коэффициент $a$ — это угловой коэффициент, который показывает наклон прямой. Его можно вычислить по двум точкам на прямой по формуле $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Возьмём две удобные точки с целочисленными координатами, через которые проходит прямая: точка пересечения с осью $y$ — $(0, 2)$ и точка пересечения с осью $x$ — $(-4, 0)$.

Подставим координаты этих точек в формулу:

$a = \frac{2 - 0}{0 - (-4)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, уравнение исходной функции: $y = \frac{1}{2}x + 2$.

Теперь, зная значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = 2$, мы можем построить графики требуемых функций.

а) график функции $y = -ax + b$

Подставим значения $a$ и $b$ в данное уравнение:

$y = -(\frac{1}{2})x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + 2$

Для построения графика этой линейной функции найдем координаты двух точек.

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}(0) + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
• При $y = 0$, $0 = -\frac{1}{2}x + 2 \implies \frac{1}{2}x = 2 \implies x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.

График этой функции — прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$. Заметим, что по сравнению с исходным графиком $y = ax + b$, у графика $y = -ax + b$ тот же свободный член $b$, но противоположный угловой коэффициент. Это означает, что новый график является зеркальным отражением исходного относительно оси $y$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$.

б) график функции $y = ax - 2b$

Подставим значения $a$ и $b$ в данное уравнение:

$y = \frac{1}{2}x - 2(2) \implies y = \frac{1}{2}x - 4$

Для построения графика этой линейной функции также найдем координаты двух точек.

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 4 = -4$. Получаем точку $(0, -4)$.
• При $y = 0$, $0 = \frac{1}{2}x - 4 \implies \frac{1}{2}x = 4 \implies x = 8$. Получаем точку $(8, 0)$.

График этой функции — прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(8, 0)$. Заметим, что по сравнению с исходным графиком $y = ax + b$, у графика $y = ax - 2b$ тот же угловой коэффициент $a$, что означает, что новая прямая параллельна исходной. Свободный член изменился с $b$ на $-2b$, что соответствует сдвигу графика вдоль оси $y$. Величина сдвига равна $(-2b) - b = -3b = -3(2) = -6$. То есть, график смещен на 6 единиц вниз.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(8, 0)$.