Номер 13, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

9. Среднее арифметическое, размах и мода. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 13, страница 42.

Условие.

13. Сведения о возрасте учащихся класса были представлены в виде числового ряда. В этот класс поступил новый ученик, который оказался моложе всех остальных учащихся. Как изменялись при этом следующие статистические характеристики ряда:

а) среднее арифметическое;

б) размах;

в) мода?

Решение.

Решение 2.

а)

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма всех чисел, деленная на их количество. Пусть в классе было $n$ учеников, а сумма их возрастов была равна $S_1$. Тогда первоначальное среднее арифметическое было $\bar{x}_1 = \frac{S_1}{n}$.

В класс пришел новый ученик, возраст которого $x_{new}$ меньше возраста любого другого ученика в классе. Следовательно, его возраст также меньше первоначального среднего арифметического, так как среднее значение всегда находится между минимальным и максимальным значениями ряда: $x_{new} < \bar{x}_1$.

Теперь в классе стало $n+1$ учеников, а новая сумма возрастов стала $S_2 = S_1 + x_{new}$. Новое среднее арифметическое равно $\bar{x}_2 = \frac{S_1 + x_{new}}{n+1}$.

Так как мы добавляем в набор число, которое меньше текущего среднего значения, то новое среднее значение обязательно уменьшится. Если бы мы добавили число, равное среднему, оно бы не изменилось. Если бы добавили число больше среднего — оно бы увеличилось.

Ответ: среднее арифметическое уменьшится.

б)

Размах числового ряда – это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. Пусть первоначально наименьший возраст в классе был $x_{min}$, а наибольший – $x_{max}$. Тогда первоначальный размах был $R_1 = x_{max} - x_{min}$.

В класс пришел новый ученик, возраст которого $x_{new}$ меньше возраста всех остальных. Это означает, что $x_{new}$ становится новым наименьшим значением в ряду. Наибольшее значение $x_{max}$ при этом не изменилось.

Новый размах ряда будет равен $R_2 = x_{max} - x_{new}$.

Поскольку $x_{new} < x_{min}$, то $R_2 > R_1$. Например, если первоначальный ряд возрастов был {12, 12, 13, 14}, то $x_{min}=12$, $x_{max}=14$, и размах $R_1 = 14-12=2$. Если пришел ученик возрастом 10 лет, новый ряд будет {10, 12, 12, 13, 14}. Новый размах $R_2 = 14-10=4$. Как видим, $4 > 2$.

Ответ: размах увеличится.

в)

Мода числового ряда – это значение, которое встречается в ряду чаще всего. Ряд может иметь одну моду, несколько мод или не иметь моды вовсе.

В класс пришел новый ученик, который моложе всех остальных. Это означает, что его возраст – это новое, уникальное значение в числовом ряду, которого раньше не было. Частота этого нового значения равна 1.

Частоты всех остальных, уже существующих в ряду возрастов, при этом не изменились.

• Если в исходном ряду была мода (или несколько мод), это означает, что ее частота была как минимум 2. Поскольку частота нового значения равна 1, оно не может стать новой модой или повлиять на уже существующую. Таким образом, мода не изменится.
• Если в исходном ряду не было моды (все ученики имели разный возраст), то после добавления еще одного ученика с уникальным возрастом моды по-прежнему не будет.

В любом случае, мода ряда не изменится.

Ответ: мода не изменится.