Номер 7, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

9. Среднее арифметическое, размах и мода. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 7, страница 40.

Условие.

7. Как могут измениться размах и мода ряда чисел, если дополнить его числом, равным наименьшему из чисел ряда?

Решение.

Решение 2.

Для анализа изменений рассмотрим определения размаха и моды и применим их к нашему случаю. Пусть дан некоторый ряд чисел. Обозначим его наименьшее число как $x_{min}$, а наибольшее — как $x_{max}$.

Размах
Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. Изначальный размах ряда равен $R = x_{max} - x_{min}$.
Мы дополняем ряд числом, равным его наименьшему значению, то есть добавляем еще одно число $x_{min}$.
В новом, дополненном ряду:

• Наибольшее значение не изменится, так как мы добавили не новое наибольшее число, а наименьшее. Новое наибольшее значение останется $x_{max}$.
• Наименьшее значение также не изменится, так как мы добавили число, которое уже являлось наименьшим. Новое наименьшее значение останется $x_{min}$.

Следовательно, новый размах $R_{new}$ будет равен:
$R_{new} = x_{max} - x_{min} = R$.
Таким образом, размах ряда не изменится.

Пример: Дан ряд {3, 5, 8, 10}. $x_{min} = 3, x_{max} = 10$. Размах = $10 - 3 = 7$.
Дополним ряд числом 3. Новый ряд: {3, 3, 5, 8, 10}. $x_{min} = 3, x_{max} = 10$. Размах = $10 - 3 = 7$. Размах не изменился.

Ответ: Размах ряда не изменится.

Мода
Мода ряда — это значение, которое встречается в ряду чаще всего. При добавлении в ряд числа, равного наименьшему, частота встречаемости этого наименьшего числа увеличивается на единицу. Это может по-разному повлиять на моду. Рассмотрим возможные ситуации:

1. Наименьшее число уже было единственной модой.
   В этом случае его частота увеличится, и оно останется единственной модой. Мода не изменится.
   Пример: Ряд {2, 2, 5, 7}. $x_{min}=2$, мода = 2. Добавляем 2, получаем {2, 2, 2, 5, 7}. Мода по-прежнему 2.
2. Модой было другое число (не наименьшее).
   После добавления наименьшего числа его частота может сравняться с частотой бывшей моды (тогда в ряду станет две моды) или превысить ее (тогда наименьшее число станет новой единственной модой). В обоих случаях мода изменится.
   Пример: Ряд {3, 5, 5, 8}. $x_{min}=3$, мода = 5. Добавляем 3, получаем {3, 3, 5, 5, 8}. Теперь у ряда две моды: 3 и 5.
3. В ряду не было моды (все числа встречались одинаковое количество раз).
   После добавления наименьшего числа оно станет встречаться на один раз чаще, чем все остальные, и станет единственной модой. Мода появится, то есть изменится.
   Пример: Ряд {4, 6, 8, 9}. $x_{min}=4$, моды нет. Добавляем 4, получаем {4, 4, 6, 8, 9}. Теперь мода равна 4.
4. Наименьшее число было одной из нескольких мод.
   В этом случае его частота увеличится и станет больше, чем у других мод. Оно станет единственной модой. Мода изменится.
   Пример: Ряд {1, 1, 7, 7, 10}. $x_{min}=1$, моды 1 и 7. Добавляем 1, получаем {1, 1, 1, 7, 7, 10}. Теперь единственная мода - это 1.

Ответ: Мода может не измениться (если наименьшее число уже было единственной модой), а может и измениться. Если мода изменяется, то наименьшее число ряда становится новой модой или одной из мод.