Страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

2. Пользуясь графиком функции $y=x^2$ (рис. 9), ответьте на вопросы.

а) Какие значения принимает переменная $x$?

б) Какие значения принимает переменная $y$?

в) При каком значении $x$ функция принимает наименьшее значение?

г) Чему равно наименьшее значение функции?

д) Принимает ли функция наибольшее значение?

е) Как расположен график относительно оси $y$?

Рис. 9

а) Какие значения принимает переменная x?
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. На графике видно, что парабола простирается бесконечно влево и вправо по оси $x$, охватывая всю числовую прямую. Это означает, что переменная $x$ может принимать абсолютно любое действительное значение.
Ответ: Переменная $x$ принимает все действительные значения, что можно записать как $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Какие значения принимает переменная y?
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$. Из графика видно, что самая нижняя точка параболы (ее вершина) находится в начале координат, где $y=0$. Все остальные точки графика лежат выше оси $x$, так как ветви параболы направлены вверх. Следовательно, значение $y$ всегда неотрицательно.
Ответ: Переменная $y$ принимает все неотрицательные значения, то есть $y \ge 0$.

в) При каком значении x функция принимает наименьшее значение?
Наименьшее значение функции соответствует ординате вершины параболы. На графике видно, что вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Абсцисса (значение $x$) этой точки равна 0.
Ответ: Функция принимает наименьшее значение при $x = 0$.

г) Чему равно наименьшее значение функции?
Наименьшее значение функции — это значение $y$ в ее точке минимума, то есть в вершине параболы. Как было установлено, вершина находится в точке $(0, 0)$. Значение функции (координата $y$) в этой точке равно 0.
Ответ: Наименьшее значение функции равно 0.

д) Принимает ли функция наибольшее значение?
Ветви параболы $y=x^2$ уходят вверх в бесконечность. Это означает, что при увеличении модуля $x$ (то есть при удалении от нуля влево или вправо) значение $y$ неограниченно возрастает. Таким образом, не существует такого числа, которое было бы самым большим значением этой функции.
Ответ: Нет, функция не принимает наибольшее значение.

е) Как расположен график относительно оси y?
График функции $y=x^2$ симметричен относительно оси ординат (оси $y$). Это свойство четных функций, к которым и относится данная функция, поскольку $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. На графике это проявляется в том, что левая и правая ветви параболы являются зеркальным отражением друг друга относительно оси $y$.
Ответ: График симметричен относительно оси $y$.

8. Не выполняя построения, определите координаты точки С пересечения графиков уравнений $y=2,5x-4$ и $y=-3x+7$.

Чтобы найти координаты точки пересечения C графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части, так как в точке пересечения координаты x и y у обоих графиков совпадают. Это равносильно решению системы уравнений.

Даны два уравнения:

1) $y = 2,5x - 4$

2) $y = -3x + 7$

Приравниваем правые части уравнений:

$2,5x - 4 = -3x + 7$

Теперь решим это линейное уравнение относительно x. Перенесем все слагаемые с переменной x в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$2,5x + 3x = 7 + 4$

Приводим подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$5,5x = 11$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 5,5:

$x = \frac{11}{5,5}$

$x = 2$

Мы нашли абсциссу (координату x) точки пересечения. Теперь найдем ординату (координату y), подставив найденное значение $x = 2$ в любое из двух исходных уравнений. Подставим в первое уравнение:

$y = 2,5 \cdot 2 - 4$

$y = 5 - 4$

$y = 1$

Для проверки можно подставить $x = 2$ и во второе уравнение:

$y = -3 \cdot 2 + 7$

$y = -6 + 7$

$y = 1$

Результаты совпали, значит, координаты найдены верно. Таким образом, точка пересечения C имеет координаты (2; 1).

Ответ: C(2; 1).

9. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 2(x-2y)-50=15x-3(y+10), \\ 4x+3(y-12)=5(2x+y)-36; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3(4x-2y+1)-2(5x-y+4)=23, \\ 2(x+6y-9)+5(2x-4y+7)=105. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2(x - 2y) - 50 = 15x - 3(y + 10) \\ 4x + 3(y - 12) = 5(2x + y) - 36 \end{cases}$

Для начала, упростим каждое уравнение системы, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Упростим первое уравнение:

$2(x - 2y) - 50 = 15x - 3(y + 10)$

$2x - 4y - 50 = 15x - 3y - 30$

Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$2x - 15x - 4y + 3y = -30 + 50$

$-13x - y = 20$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$13x + y = -20$

Теперь упростим второе уравнение:

$4x + 3(y - 12) = 5(2x + y) - 36$

$4x + 3y - 36 = 10x + 5y - 36$

Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а числовые — в правую:

$4x - 10x + 3y - 5y = -36 + 36$

$-6x - 2y = 0$

Разделим обе части уравнения на -2:

$3x + y = 0$

В результате мы получили упрощенную систему уравнений:

$\begin{cases} 13x + y = -20 \\ 3x + y = 0 \end{cases}$

Эту систему удобно решить методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(13x + y) - (3x + y) = -20 - 0$

$13x - 3x = -20$

$10x = -20$

$x = \frac{-20}{10}$

$x = -2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из упрощенных уравнений, например, во второе ($3x + y = 0$):

$3(-2) + y = 0$

$-6 + y = 0$

$y = 6$

Ответ: $(-2; 6)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3(4x - 2y + 1) - 2(5x - y + 4) = 23 \\ 2(x + 6y - 9) + 5(2x - 4y + 7) = 105 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:

$3(4x - 2y + 1) - 2(5x - y + 4) = 23$

$12x - 6y + 3 - 10x + 2y - 8 = 23$

Приведем подобные слагаемые:

$(12x - 10x) + (-6y + 2y) + (3 - 8) = 23$

$2x - 4y - 5 = 23$

$2x - 4y = 23 + 5$

$2x - 4y = 28$

Разделим обе части на 2:

$x - 2y = 14$

Второе уравнение:

$2(x + 6y - 9) + 5(2x - 4y + 7) = 105$

$2x + 12y - 18 + 10x - 20y + 35 = 105$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x + 10x) + (12y - 20y) + (-18 + 35) = 105$

$12x - 8y + 17 = 105$

$12x - 8y = 105 - 17$

$12x - 8y = 88$

Разделим обе части на 4:

$3x - 2y = 22$

В результате мы получили упрощенную систему уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 14 \\ 3x - 2y = 22 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x - 2y) - (x - 2y) = 22 - 14$

$3x - x - 2y + 2y = 8$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x$ в первое упрощенное уравнение ($x - 2y = 14$):

$4 - 2y = 14$

$-2y = 14 - 4$

$-2y = 10$

$y = \frac{10}{-2}$

$y = -5$

Ответ: $(4; -5)$.